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1、第五周星期一(三角)2023年_月_日1.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m(c，b)，n，mn.(1)求C；(2)求sin Asin B的取值范围.解(1)由mn，得csin Bb0.由正弦定理，得sin Csin Bsin B0.在ABC中，sin B0，故sin C.又ABC为锐角三角形，所以C.(2)由ABC，得BA，所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin.又ABC为锐角三角形，所以解得A30 000)P(X36 000)P(X48 000)0.8，设这三年中有Y年收入超过30 000元，则有YB(3，0.8)，这三年中该农户种植该农
2、作物一亩至少有两年的收入超过30 000元的概率为P(Y2)C0.820.2C0.830.896.星期四(立体几何)2023年_月_日4.在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB均是等边三角形，ACBE4，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上.(1)求证：DE平面ADC；(2)求直线BA与平面DAE所成角的正弦值.(1)证明取AC的中点O，连接BO，DO.由题意知BO为ABC的平分线，且BOAC，DOAC.设点F是点E在平面ABC上的射影，由已知得，点F在BO上，连接EF，则EF平面ABC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面AB
3、CAC，DO平面ACD，DOAC，DO平面ABC，同理可得BO平面ADC.又EF平面ABC，DOEF，BE和平面ABC所成的角为60，即EBF60，DOEF2，四边形EFOD为平行四边形.DEBO，DE平面ADC.(2)解以点O为坐标原点，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(2，0，0)，D(0，0，2)，E(0，22，2)，B(0，2，0).(2，0，2)，(0，22，0)，(2，2，0)，设平面ADE的法向量为n(x，y，z)，则取z1，得n(，0，1).设直线BA与平面ADE所成的线面角为，则sin |cosn，|，直线BA与平面
4、DAE所成角的正弦值为.星期五(解析几何)2023年_月_日5.如图，椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，离心率为，长轴长为4，椭圆C和抛物线F：y22px(p0)有相同的焦点，直线l：xym0与椭圆交于M，N两点，与抛物线交于P，Q两点.(1)求抛物线F的方程；(2)若点D，E满足，求的取值范围.解(1)因为椭圆C的离心率为，长轴长为4，则所以a2，c1.因为椭圆C和抛物线F有相同的焦点，所以1，即p2，所以抛物线F的方程为y24x.(2)由(1)知椭圆C：1.联立得7x28mx4m2120，由164m247(4m212)0，得m27，即m0，得m1.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则x
5、3x442m，所以 y3y4(x3x4)2m4，所以(x3x44，y3y4)(82m，4)，所以(82m，4)(82m)4m2m32，m1时，f(x)xexx21；(2)若函数g(x)f(x)(4a)x1在定义域上无极值，求正整数a的最大值.(1)证明由f(x)xexbxln xx2可得f(x)(x1)exb(ln x1)x.因为函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线斜率为2e3，所以f(1)2eb12e3，解得b2，当x1时，f(x)xexx21等价于x22xln x10，即x2ln x0.令F(x)x2ln x，则F(x)10在(1，)上恒成立，所以函数F(x)在区间(1，)上单调递
6、增，所以当x1时，F(x)F(1)12ln 10，所以当x1时，f(x)xexx21.(2)解由题意得g(x)xex2xln xx2(4a)x1，若g(x)f(x)(4a)x1无极值，则g(x)0恒成立或g(x)0恒成立.当g(x)0恒成立时，g(x)(x1)ex2(1ln x)x4a0，即a2(x1)ex2ln xx恒成立，所以a2(x1)ex2ln xxmin，令h(x)(x1)ex2ln xx，所以h(x)(x2)ex1(x2)ex(x2)(x0)，令(x)ex，则(x)ex0，所以(x)在(0，)上单调递增，因为20，所以存在x0，使得(x0)ex00，当x(0，x0)时，(x)0，即
7、h(x)0，即h(x)0，所以函数h(x)在区间(0，x0)上单调递减，函数h(x)在区间(x0，)上单调递增，所以函数h(x)的最小值为h(x0)(x01)ex02ln x0x0.因为ex0，即x0ln x0，所以h(x0)(x01)2ln x0x012x0x01x0.因为x0，所以h(x0)1x0，所以a23，可得a5，所以正整数a的最大值是5.当g(x)0恒成立时，g(x)(x1)ex2(1ln x)x4a0，即a2(x1)ex2ln xx恒成立，所以a2(x1)ex2ln xxmax，又由知，函数h(x)在区间(x0，)上单调递增，所以函数h(x)不存在最大值.综上所述，正整数a的最大
8、值是5.星期日(选考部分)2023年_月_日在下面两个题目中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分.1.选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)设P，Q分别是直线l和曲线C上的动点，求|PQ|的最小值.解(1)因为ycos 22cos21，xcos ，所以曲线C的普通方程为y2x21(1x1)，由得y2x5，所以直线l的普通方程为y2x5.(2)作直线l：y2xb与曲线C相切，则|PQ|的最小值为直线l与直线l的距离.将l与C的方程联立，消去y，得2x22x(b1)0.则88(b1)0，解得b2，故直线l：y2x2，从而直线l与直线l的距离为1，故|PQ|的最小值为1(当且仅当切点Q的横坐标为时取到最小值).8.选修45：不等式选讲已知f(x)|2x1|x1|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)a|x|恒成立，求a的取值范围.解(1)f(x)|2x1|x1|2，当x时，x.当x1时，0x1.当x1时，x1.综上所述，f(x)2的解集为0，).(2)由题意知|2x1|x1|a|x|恒成立，当x0时，2a0恒成立，得aR.当x0时，a恒成立，因为3，所以a3.综上所述，符合条件的实数a的取值范围是(，3.