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1、考点三十一 数列的求和知识梳理1公式法求和常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2) 等比数列的前n项和公式：Sn(3)123n；(4)122232n2；(5)132333n3；(6)1352n1n2；(7)2462nn2n.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和3.倒序相加法求和适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和4.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和常用的裂项公式有：(1)；(2)；(3).(4) ；5.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公
2、式求和典例剖析题型一 错位相减法求和例1(2015山东文)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.经检验，符合题意(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.变式训练 (2015湖北文)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知
3、b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解析 (1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.解题要点 错位相减法求和是最为重要的求和方法，要熟练掌握，计算时要注意首末留下的项的符号，同时计算要准确题型二 利用裂项相消法求和例2(2015江苏)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_答案解析a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，将以上n1个式子相加得ana123n，即an，令bn，故bn
4、2，故S10b1b2b102.变式训练 (2015安徽文)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)由题设知a1a4a2a38.又a1a49.可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.解题要点 熟记常见的裂项公式是求解的关键题型三 分组求和与并项求和例3数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于_.答案 n21解析 该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)n21.变式训练 数
5、列an满足anan1(nN)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S21_.答案6解析由anan1an1an2，an2an，则a1a3a5a21，a2a4a6a20，S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.解题要点 分组和并项的目的，都是通过变形，把原式化为等差、等比或其它可求和的形式，体现了转化与划归的思想当堂练习1若数列an为等比数列，且a11，q2，则Tn的结果可化为_.答案 解析 an2n1，设bn2n1，则Tnb1b2bn32n1.2数列an的通项公式an(nN*)，若前n项和为Sn，则Sn为_.答案 (1)解析 an()，Sn(1)(1)(1). 3. 若数列
6、an的通项公式是an(1)n(2n1)，则a1a2a3a100_.答案 100解析 由题意知，a1a2a3a1001357(1)100(21001)(13)(57)(197199)250100.4已知数列an 的前n 项和Sn，nN* .(1)求数列an 的通项公式；(2)设bn2an(1)nan ，求数列bn 的前2n 项和解析 (1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(1
7、2)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.5等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的公比为，满足S315，a12b13，a24b26.(1)求数列an，bn的通项an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析 (1)设an的公差为d，所以解得a12，d3，b1，所以an3n1，bnn.(2)由(1)知Tn25283(3n4)n1(3n1)n，得Tn2253(3n4)n(3n1)n1， 得Tn23(3n1)n113(3n1)n1，整理得Tn(3n5)n5.课后作业一、 填空题1 的值为_.答案 解析 ，.2已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S5
8、5，则数列的前8项和为_.答案 解析 设数列an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1，故an的通项公式为an2n.所以，所以数列的前8项和为.3若数列an的通项为an4n1，bn，nN*，则数列bn的前n项和是_.答案 n(n2)解析 a1a2an(411)(421)(4n1)4(12n)n2n(n1)n2n2n，bn2n1，b1b2bn(211)(221)(2n1)n22nn(n2). 4设数列1，(12)，(12222n1)，的前n项和为Sn，则Sn_.答案 2n1n2解析 an12222n12n1，Sn(222232n)nn2n1n2.5设数列an的通项公式是an(1)
9、nn，则a1a2a3a100_.答案 50解析 由题意知，a1a2a3a1001234(1)200100(12)(34)(99100)50.6已知数列：，若bn，那么数列的前n项和Sn为_.答案 解析 an，bn4，Sn44.7等差数列an的通项公式an2n1，数列，其前n项和为Sn，则Sn等于_.答案 解析 an2n1，.Sn. 8数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项之和为_.答案解析bn，S10b1b2b3b10.9设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b519，a5b39，则数列anbn的前n项和Sn_.答案 (n1)2n1解析 由条
10、件易求出ann，bn2n1(nN*)Sn11221322n2n1，2Sn12222(n1)2n1n2n.由，得Sn121222n1n2n，Sn(n1)2n1. 10若数列an的通项公式为an(1)n(3n2)，则a1a2a10_.答案 15解析 a1a2a1014710(1)1028(14)(710)(2528)15.11 (1002992)(982972)(2212)_.答案5 050解析原式100999897215 050.二、解答题12 (2015天津文)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设c
11、nanbn，nN*，求数列cn的前n项和解析 (1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意q0.由已知，有消去d，整理得q42q280，又因为q0，解得q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.13(2015福建文)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解析 (1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.