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1、考点16 数列求和的常用方法知识理解一公式法1.等差数列an的前n项和Snna1.2.等比数列an的前n项和Sn二裂项相消求和1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，2.解题思路三 错位相减法1. 通项特征：一次函数*指数型函数2. 解题思路四 分组转化求和1.通项特征：或2.解题思路考向分析考向一 裂项相消求和【例1】(2020四川成都市华阳中学)已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，解得，当时，由可得，：，即，是以为首项，以为公差的等差数列，综上所述，结论是：.(2)由
2、(1)可得，综上所述，.【方法总结】裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.【举一反三】1(2021全国高三专题练习)已知，设，数列的前项和_.【答案】【解析】由，所以数列前项和为.故答案为：.2(2020上海市金山中学高三期中)已知数列满足，则数列的前n项和为_【答案】【解析】当时，由，得，两式相减，得，又，适合，所以所以所以故答案为：3(2020四川省绵阳南山中学高三月考)已知等差数列的前项和为，.(1)求数列体的通项公式：(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设数列的公差为，解得，.(2)由(
3、1)得，.考向二 错位相减求和【例2】(2021石嘴山市第三中学高三期末)设数列的前项和分别为，且，(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)由得，当时，当时，也适合，故.由得，得，当时，得，又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.综上所述：，.(2)，所以，所以，所以，所以，所以.【举一反三】1(2020黑龙江高三月考)设数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由，得，得，所以，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.(2)由(1)得，所以，得，所以.2(2020湖
4、南省平江县第一中学高三月考)已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式.(2)设，且，求的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得，故，故，即是为首项，公比为的等比数列，故；(2)由(1)知，设的前项和，作差得， ，即，化简得，故的前项和为.3(2020海口市第四中学高三期中)已知数列的前n项和为，且(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，；(2).【解析】(1)数列的前n项和为，且，当时，解得：，当时，-得：，故：(常数)，所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列.所以，(首项符合通项)，故：.(2)所以，两式相减得
5、，因此.4(2020四川宜宾市高三一模)已知递增数列满足，且是方程的两根，数列的前项和为，且.(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因为方程两根为或7，又是方程的两根，数列是递增的等差数列，设公差为，则，解得，.对于数列，当时，解得；当时，整理得，即，所以数列是等比数列，(2)，数列的前项和，.两式相减可得.，.考向三 分组求和【例3】(2020全国)已知数列是等差数列，满足，数列是公比为2的等比数列，且.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设等差数列的公差为，则，数列的通项公式为，.又，数
6、列是公比为2的等比数列，；(2)由题意得，.【举一反三】1(2020西藏拉萨市拉萨那曲第二高级中学)设是公比为正数的等比数列， ，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意设等比数列的公比为q，即，的通项公式.(2)是首项为1，公差为2的等差数列，数列的前n项和.2(2020江苏连云港市)已知等比数列中，且是和的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足求的前n项和【答案】(1)；(2).【解析】(1)设等比数列的公比为，又则由于是和的等差中项，得，即，解得所以，(2)3(2020吉林市吉林一中)在公差不为0的
7、等差数列的前10项和为65，、成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)；(2).【解析】(1)设等差数列的公差为()，因为前10项和为65，所以，因为、成等比数列，所以，即，联立，解得，故.(2)因为，所以，则，故.4(2020江苏淮安)已知数列的前项和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，得.当时，由，得，-，得，又，是等比数列， (2)由，则，则考向四 倒序相加求和【例4】(2020包头市第九中学)已知函数满足，若数列满足，则数列的前10项和为( )AB33CD34【答案】A【解析】函数满足，由可得
8、，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前10项和为.故选：A.【举一反三】1(2020内蒙古包头市高三二模)已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )A100B105C110D115【答案】D【解析】函数满足，由可得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为故选：D2(2020甘肃省会宁县第一中学)已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为( )A100B105C110D115【答案】D【解析】因为函数满足，由可得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.3(2020宁都中学高三月考)已知若等比数列满足则( )AB1010C2019D202
9、0【答案】D【解析】等比数列满足即2020故选：D强化练习一、单选题1(2020平罗中学)已知数列的通项公式：，则它的前项和是( )ABCD【答案】B【解析】，其前项和.故选：B.2(2020全国高三专题练习)已知函数，则( )A2018B2019C4036D4038【答案】A【解析】，令，则，两式相加得：，.故选：.3(2020全国高三专题练习)设函数，利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法，求得的值为( )ABCD【答案】B【解析】，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.4(2019江苏省前黄高级中学高二月考)设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_【答案】【解析
10、】，因此，所以.故答案为：.5(2020宝鸡市渭滨中学高三月考)已知为等差数列，前项和为.(1)求的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)设数列的公差为d，由，得，则，所以，；(2)由(1)得，所以.6(2020四川成都市高三其他模拟)已知数列是公差为的等差数列，且是的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)当时，求数列的前n项和.【答案】(1)当时，；当时，；(2).【解析】(1)是的等比中项，即，整理得，解得或，当时，当时，；(2)由(1)知，当时，).7(2020静宁县第一中学高三月考)已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设
11、，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)当时，当时，因为所以得，.所以数列是首项为，公比为的等比数列.由(1)得，.8(2020宁夏银川市银川一中高三月考)已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)设记数列的前n项和为.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在等差数列中，设公差为d0，由题意，得，解得.ana1+(n1)d1+2(n1)2n1；(2)由(1)知，an2n1.则，.9(2020全国高三月考)已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】(1)，；(2).【解析】(1)当时，；当时，若时，故，(2)依题意，故
12、10(2020江苏南通市高三期中)已知等差数列的首项为，公差为，前n项的和为 ，且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项的和为Tn，求Tn.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意,等差数列中，因为，可得，因为，可得，所以数列的通项公式为.(2)由(1)可得，所以.11(2020云南昆明市昆明一中高三月考)已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得：， 因为，当时，而，所以数列的通项公式.(2)因为，所以，所以，.12(2020全国高三月考)已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)求数
13、列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)依题意，解得，故，而，故，故，联立两式，解得，故，；(2)依题意，故.13(2020江苏镇江市高三期中)已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：设等差数列首项为，公差为，得：，解得：，；(2)，.14(2020湖南衡阳市一中高三期中)设数列的前n项和为，从条件，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，_.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n和.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】选条件时，(1)时，整理得，所
14、以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以 ， ，得：，故，所以.选条件时，(1)由于，所以，当时，得：，整理得，所以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以 ， ，得：，故，所以.选条件时，由于， 时，整理得(常数)，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.(2)由(1)得：，设，其前项和为，所以，得：，故，所以.15(2020商河县第二中学高三期中)已知数列前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题知，即，即，数列是首项为3，公比为3的等比数列，；(2)由(1)知， ， 得，.16(2020山西高三月考)已知数列中，
15、(1)证明：数列是等比数列(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析 ；(2) .【解析】(1)证明：由，知又，是以为首项，3为公比的等比数列(2)解：由(1)知，两式相减得17(2020黑龙江鹤岗市鹤岗一中)记是正项数列的前n项和，是6和的等比中项，且.(1)求的通项公式；(2)若等比数列的公比为，且成等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为是6和的等比中项，所以， 当时，由得，化简得，即或者(舍去)，故，数列为等差数列. 因为，解得或(舍去)，所以数列是首项为1、公差为3的等差数列，所以.(2)由成等差数列，可得，可得， 又，所以，所以. 由(
16、1)得，所以，两式相减得，所以.18(2020深州长江中学高三期中)在各项均为正数的等比数列中，()求数列的通项公式；()记，求数列的前n项和【答案】()；().【解析】()设等比数列的首项为，公比为q()，由己知得，则解得，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，即.()由()得所以(1)(2)由(1)(2)，得19(2020广东肇庆市高三月考)已知数列的前n项和为，(1)求；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)； (2).【解析】(1)由题意，数列满足，当时，可得，两式相减，可得，整理得，即，当时，可得，解得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以.(2)由(1)知，则设
17、，数列的前项和分别为，则，两式相减得，所以，又由，所以数列的前n项和.20(2020沙坪坝区重庆一中高三月考)已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列.(1)证明数列等比数列；(2)已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅选择一个条件作为已知条件来求数列前n和.【答案】(1)证明见解析；(2)答案不唯一，具体见解析.【解析】(1)由条件可知，即，且是以为首项，为公比的等比数列，(2)条件：，利用错位相减法:化简得条件：利用错位相减法: 化简得21(2020河北衡水市衡水中学高三月考)已知等差数列满足，数列是以1为首项，公差为1的等差数列.(1)求和；(2)若，求数列的前项和.【答案
18、】(1)，；(2).【解析】(1)因为，所以，因为等差数列，所以，即，解得，所以，因为数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以，(2)由(1)得，所以，-得，所以22(2020广东深圳市福田外国语高中)已知数列的前n项和为，点在直线，上(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)；(2)【解析】(1)点在直线上， 当时，则， 当时， 两式相减，得，所以 所以是以首项为2，公比为2等比数列， 所以 (2)， ， 所以23(2020稷山县稷山中学高三月考(文)已知等差数列，为其前项和，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)设数列的
19、首项为，公差为，则根据题意得：由，解得，所以.(2)，则.24(2020江苏无锡市)在等差数列中，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若_，求数列的前项和在，这两个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解【答案】(1)；(2)答案不唯一，见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意得，解得；(2)选条件：，；选条件：，当为正偶数时，；当为正奇数时，为偶数，.25(2020全国高三专题练习)在等差数列中，已知，.在；这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.(1)求数列的通项公式；(2)若_，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)
20、答案见解析.【解析】(1)设等差数列的公差为，则，即，解得，故.(2)选，由得，.选，.当为偶数时，；当为奇数时，.故选，由得，-得，故.26(2020江苏扬州市)在等差数列中，再从条件条件设数列的前项和为，这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；(1)；(2).【解析】(1)若选设数列公差为，由，则即，.若选设数列公差为，因为，则，所以，则，.所以.(2)由题得数列是以3为首项，1为公差的等差数列，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.27(2020长春市第五中学高三期中)已知数列的前项和，数列是等差数列，且，(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)； (2)【解析】(1)当时，得当时， 由 得，即所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列,所以 所以，则等差数列的公差为 所以(2)28(2020稷山县稷山中学高三月考)已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，当时，当时，因为也满足，综上.(2)，.