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1、考点十三 导数与函数的单调性知识梳理1函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f(x)0，那么函数yf(x)为该区间上的增函数；如果f(x)0(或0能推出f(x)为该区间上的增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在R上单调递增，但f(x)3x20，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要.(2)f(x)0(或0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f(x)0不恒成立)典例剖析题型一 利用导数证明函数的单调性例1求证函数yx在1, )内为增函数解析 y1当x1时，x210，y0，函数yx在1, )内为增函数变式训练 求证函数yx
2、3x2x在R上是增函数解析y3x2+2x1=3(x)2显然对任意xR，均有y0，函数yx3x2x在R上是增函数题型二 求函数的单调区间例2已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以x(0,1)时，f(x
3、)0；x(1，)时，f(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)变式训练 (1)函数f(x)的单调递减区间是_(2) 已知函数f(x)4xx4，xR，则f(x)的单调递增区间为_答案(1) (0,1)，(1，e) (2) (，1)解析(1) f(x)，令f(x)0，得0x1或1x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0即3x230，解得x1或x0，令exa0，则exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间为ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立e2ex
4、e3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe30(或0在上有解，即x2x2a0，2ax2x，令g(x)x2x，g(x)g.即a.a的取值范围为.变式训练 已知函数f(x)2x2axln x在其定义域上不单调，求实数a的取值范围解析函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)2x2axln x，所以f(x)4xa(4x2ax1)由函数f(x)在区间(0，)上不单调可知，f(x)0有两个正解，即4x2ax10有两个正解，设为x1，x2.故有解得a4.所以实数a的取值范围为(4，)解题要点 函数在区间D上存在单调递增区间，即在区间D上f(x) 0能成立，分离变量后可求参数范围.需注意，af(x)能成
5、立，只需af(x)min，af(x)能成立，则a0得x2.2函数f(x)x22ln x的单调减区间是_答案(0,1)解析f(x)2x(x0)当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数3. 若函数ycos xax在上是增函数，则实数a的取值范围是_答案 1，)解析 ysin xa，若函数在上是增函数，则asin x在上恒成立，所以a1，即实数a的取值范围是1，)4函数f(x)1xsin x在(0，2)上的单调情况是_答案 单调递增解析 在(0，2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0，2)上单调递增5函数f(x)exx的单调递增区间是_答案 (0，)解析 f(x)exx，f(x)e
6、x1，由f(x)0，得ex10，即x0.课后作业一、 填空题1函数yx2(x3)的单调递减区间是_答案(0,2)解析y3x26x，由y0，得0x2.2函数y(3x2)ex的单调递增区间是_答案 (3,1)解析 y2xex(3x2)exex(x22x3)，由y0x22x303x0，故单调增区间是(0，)4函数f(x)=xln x，则_在(0，+)上是增加的 在(0，+)上是减少的在(0，)上是增加的 在(0，)上是减少的答案解析 因为函数f(x)=xln x，所以f(x)=ln x+1，f(x)0，解得x，则函数的单调增区间为(,+)，又f(x)0，解得0x，则函数的单调减区间为(0,)，故选.
7、5函数f(x)xln x的单调递减区间为_答案 (0,1)解析 函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)6已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件答案 充分不必要解析 f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件7若函数ya(x3x)的单调递减区间为(，)，则实数a的取值范围是_答案a0解析ya(3x21)，解3x210，得x.f(x)x3x在(，)上为减函数又ya(x3x)的单调递减区间为(，)，a0.8设函数f(x)x29lnx在区间a1，a1上单调递
8、减，则实数a的取值范围是_答案 10)，当x0时，有00，a13，解得1a2.9函数f(x)的单调递减区间是_答案 (0,1)，(1，e)解析 f(x)，令f(x)0，得0x1或1xe，故函数的单调递减区间是(0,1)和(1，e)10若函数f(x)x3ax2在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是_答案3，)解析f(x)3x2a，f(x)在区间(1，)上是增函数，则f(x)3x2a0在(1，)上恒成立，即a3x2在(1，)上恒成立a3.11已知函数yx3bx2(2b3)x2b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是_答案 b3解析 yx22bx(2b3)，要使原函数在R上单调递减，应有y0恒成
9、立，4b24(2b3)4(b22b3)0，1b3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b3.二、解答题12(2015天津文节选)已知函数f(x)4xx4，xR.求f(x)的单调区间；解析由f(x)4xx4，可得f(x)44x3.当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)13已知函数f(x)ln x，求函数f(x)的极值和单调区间解析因为f(x)，令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)