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1、 考点三十 数列前 n 项和与数列的通项 知识梳理 1数列an的前 n 项和 Sn Sna1a2a3an 2数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系 an S1 n1SnSn1 n2 3已知数列的前 n 项和 Sn，求 an的方法(1)第一步，令 n=1,求出 a1S1；(2)第二步，当 n2 时，求 anSnSn1；(3)第三步，检验 a1是否满足 n2 时得出的 an，如果适合，则将 an用一个式子表示；若不适合，将 an用分段形式写出。4已知 an与 Sn的关系式，求 an的方法(1)第一步，令 n=1,求出 a1S1；(2)第二步，当 n2 时，根据已有 an与 Sn的关系式，令 n
2、n1(或 nn1)，再写出一个an+1与 Sn+1(或 an1与 Sn1)的关系式，然后两式相减，利用公式 anSnSn1消去 Sn，得出an与 an+1(或 an与 an1)的关系式，从而确定数列an是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。5根据 an与 an+1(或 an与 an1)的递推关系求通项公式 当出现 anan1m 时，构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现anan1f(n)时，用累乘法求解 典例剖析 题型一 已知数列的前 n 项和 Sn求 an 例 1 已知下面数列an的前 n 项和 Sn2n23n，
3、求an的通项公式 解析 a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1也适合此等式，an4n5.变式训练 已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_ 答案 an 2，n1，6n5，n2 解析 当 n1 时，a1S13122112；当 n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)1 6n5，显然当 n1 时，不满足上式 故数列的通项公式为 an 2，n1，6n5，n2.解题要点 数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系是 an S1，n1，SnSn1，n2.当 n1 时，a1若适合 SnSn1，则 n1 的情
4、况可并入 n2 时的通项 an；当 n1 时，a1若不适合 SnSn1，则用分段函数的形式表示 题型二 已知 an与 Sn的关系式求 an 例 2(2013课标全国)若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_.答案(2)n1 解析 当 n1 时，a11；当 n2 时，anSnSn123an23an1，故anan12，故 an(2)n1.当 n1 时，也符合 an(2)n1.综上，an(2)n1.变式训练 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1，求an的通项公式 解析 当 n2 时，anSnSn12an12an，an1an32，又由 S12a2，得
5、a212，且a2a112 32 an是从第 2 项开始的等比数列，当 n2 时，an1232n2，n2，nN*.an1，n1，1232n2，n2，nN*.解题要点 已知 an与 Sn的关系式求 an时，需要分析所推出的递推式是对 nN+成立，还是对 n2 时成立。对于求出的 an也需进行检验，看 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写 题型三 利用递推式求 an 例 3(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项 an_.(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为 an_.答案(1)n
6、n121(2)23n11 解析(1)由题意得，当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)2n12n2nn121.又 a1211121，符合上式，因此 annn121.(2)方法一(待定系数法)设 an1 3(an)，展开得 an13an2，与 an13an2 比较可知：2，an113(an1)，即an11an13，因为 a11，所以数列an1为以 a112 为首项，3 为公比的等比数列，所以 an1123n，即 an123n1(n1)，所以 an23n11(n2)，又 a11 也满足上式，故数列an的一个通项公式为 an23n11.方法二(迭代法)an13an2，
7、即 an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以 an23n11(n2)，又 a11 也满足上式，故数列an的一个通项公式为 an23n11.变式训练 已知数列an中，a11，若 an2an11(n2)，则 a5的值是_.答案 31 解析 由题意得 a22a113，a32317，a427115，a5215131.解题要点 形如 an1panq(p,q 为常数)这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基本策略是待定系数法，即假设 an1 p(an)，展开与原式 an1panq 比较系数后求出参数，然后再转化为等差数列或等比数列求通项。当堂练习 1(201
8、5 湖南理)设 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 a11，且 3S1，2S2，S3成等差数列，则 an_.答案 3n1 解析 由 3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得 a33a2，公比 q3，故等比数列通项 ana1qn13n1.2已知数列 an满足 a11，an12an3(nN*)，则 a11等于_.答案 2123 解析 an12an3，an132(an3)，an3是公比为 2 的等比数列，an3(a13)2n12n1，an2n13，a112123.3.如果数列an的前 n 项和 Sn32an3，那么这个数列的通项公式是_.答案 an23n 4已知数列an的前 n 项
9、和为 Sn，a11，Sn2an1，则 Sn_.答案(32)n1 解析 当 n1 时，S12a2，又因 S1a11，所以 a212，S211232 5设数列an的前 n 项和 Snn2，则 a8的值为_.答案 15 解析 a1S11，anSnSn1n2(n1)22n1(n2)a828115 课后作业 一、填空题 1已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an2，则 a2等于_.答案 4 解析 Sn2an2，S1a12a12.即 a12，又 S2a1a22a22，a24.2已知数列an中 a11，an12an11(n2)，则 an_.答案 2(12)n1 解析 设 anc12(an1c)，易
10、得 c2，所以 an2(a12)(12)n1(12)n1 3数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an13Sn(n1)，则 a6_.答案 344 解析 an1Sn1Sn，nN*，3SnSn1Sn，则 Sn14Sn，又 S1a11，数列Sn是公比为 4 的等比数列，Sn14n14n1，从而 a6S6S54544344.4若数列an的前 n 项和为 Sn32an3，则这个数列的通项公式 an_.答案 23n 解析 anSnSn1 5数列an满足 a12，anan11an11，其前 n 项积为 Tn，则 T2 014_.答案 6 解析 由 anan11an11得 an11an1an，而 a12
11、，所以 a23，a312，a413，a52，则数列是以 4 为周期，且 a1a2a3a41，所以 T2 01415032(3)6 6在数列an中，a11，当 n2 时，有 an3an12，则 an_.答案 23n11 解析 设 ant3(an1t)，则 an3an12t.t1，于是 an13(an11)an1是以 a112 为首项，以 3 为公比的等比数列 an23n11.7若数列an满足 a11，an12nan，则数列an的通项公式 an_.答案(1)22n n 解析 由于an1an2n，故a2a121，a3a222，anan12n1，将这 n1 个等式叠乘，得 ana1212(n1)(1)
12、22n n，故 an(1)22n n.8已知an满足 a11，且 an1an3an1(nN*)，则数列an的通项公式为_ 答案 an13n2 解析 由已知，可得当 n1 时，an1an3an1.两边取倒数，得1an13an1an1an3.即1an11an3，所以1an是一个首项为1a11，公差为 3 的等差数列 则其通项公式为1an1a1(n1)d1(n1)33n2.所以数列an的通项公式为 an13n2.9若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_.答案 (2)n1 解析 Sn23an13，当 n2 时，Sn123an113.，得 an23an23an1，即ana
13、n12.a1S123a113，a11.an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，an(2)n1.10在数列an中，a11，an1an2n1，则数列的通项 an_.答案 n2 解析 an1an2n1.an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(2n1)(2n3)531n2(n2)当 n1 时，也适用 ann2.11已知数列an中，a112，an111an(n2)，则 a16_.答案 12 解析 由题意知 a211a11，a311a22，a411a312，此数列是以 3 为周期的周期数列，a16a351a112.二、解答题 12已知数列an满足 a11，an12an1(nN*
14、)(1)求证：数列an1是等比数列，并写出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足114b 214b 314b 14nb(an1)n，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析 (1)证明：an12an1，an112(an1)，又 a11，a1120，an10，an11an12，数列an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列 an12n，可得 an2n1.(2)解：114b 214b 314b 14nb(an1)n，2123(.)42nbbbbnn，2(b1b2b3bn)2nn2，即 2(b1b2b3bn)n22n，Snb1b2b3bn12n2n.13设数列an的前 n 项和为 Sn，其中 an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列求an的通项公式；解析 依题意，得 2Snan1a1.当 n2 时，有 2Snan1a1，2Sn1ana1.两式相减，得 an13an(n2)又因为 a22S1a13a1，an0，所以数列an是首项为 a1，公比为 3 的等比数列 因此，ana13n1(nN*)