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1、考点三十 数列前n项和与数列的通项知识梳理1数列an的前n项和SnSna1a2a3an2数列的通项an与前n项和Sn的关系an3已知数列的前n项和Sn，求an的方法(1)第一步，令n=1,求出a1S1；(2)第二步，当n2时，求anSnSn1；(3)第三步，检验a1是否满足n2时得出的an，如果适合，则将an用一个式子表示；若不适合，将an用分段形式写出。4已知an与Sn的关系式，求an的方法(1)第一步，令n=1,求出a1S1；(2)第二步，当n2时，根据已有an与Sn的关系式，令nn1(或nn1)，再写出一个an+1与Sn+1(或an1与Sn1)的关系式，然后两式相减，利用公式anSnSn
2、1消去Sn，得出an与an+1(或an与an1)的关系式，从而确定数列an是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。5根据an与an+1(或an与an1)的递推关系求通项公式当出现anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现anan1f(n)时，用累加法求解；当出现f(n)时，用累乘法求解典例剖析题型一 已知数列的前n项和Sn求an 例1已知下面数列an的前n项和Sn2n23n，求an的通项公式解析 a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.变式训练 已知数列an的前n项和Sn3n
3、22n1，则其通项公式为_答案an解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an解题要点 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示题型二 已知an与Sn的关系式求an例2(2013课标全国)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.当n1时，也符合an(2)n
4、1.综上，an(2)n1.变式训练 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，求an的通项公式解析当n2时，anSnSn12an12an，又由S12a2，得a2，且 an是从第2项开始的等比数列，当n2时，anan解题要点 已知an与Sn的关系式求an时，需要分析所推出的递推式是对nN+成立，还是对n2时成立。对于求出的an也需进行检验，看a1是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写题型三 利用递推式求an例3(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.(2)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通
5、项公式为an_.答案(1)1(2)23n11解析(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)方法一(待定系数法)设an13(an)，展开得an13an2，与an13an2比较可知：2，an113(an1)，即3，因为a11，所以数列an1为以a112为首项，3为公比的等比数列，所以an1123n，即an123n1(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.方法二(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)
6、23n(n1)，所以an23n11(n2)，又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.变式训练 已知数列an中，a11，若an2an11(n2)，则a5的值是_.答案31解析由题意得a22a113，a32317，a427115，a5215131.解题要点 形如an1panq(p,q为常数)这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基本策略是待定系数法，即假设an1p(an)，展开与原式an1panq比较系数后求出参数，然后再转化为等差数列或等比数列求通项。当堂练习1(2015湖南理)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_.答案3n
7、1解析由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.2已知数列满足a11，an12an3(nN*)，则a11等于_.答案 2123解析 an12an3，an132(an3)，是公比为2的等比数列，an3(a13)2n12n1，an2n13，a112123.3. 如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是_.答案 an23n4已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.答案()n1解析当n1时，S12a2，又因S1a11，所以a2，S215设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为_.答案15
8、解析a1S11，anSnSn1n2(n1)22n1(n2)a828115课后作业一、 填空题1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2，则a2等于_.答案 4解析 Sn2an2，S1a12a12.即a12，又S2a1a22a22，a24.2已知数列an中a11，anan11(n2)，则an_.答案2()n1解析设anc(an1c)，易得c2，所以an2(a12)()n1()n13数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6_.答案 344解析 an1Sn1Sn，nN*，3SnSn1Sn，则Sn14Sn，又S1a11，数列Sn是公比为4的等比数列，Sn14n14n1，从而
9、a6S6S54544344.4若数列an的前n项和为Snan3，则这个数列的通项公式an_.答案23n解析anSnSn15数列an满足a12，an，其前n项积为Tn，则T2 014_.答案 6解析 由an得an1，而a12，所以a23，a3，a4，a52，则数列是以4为周期，且a1a2a3a41，所以T2 01415032(3)66在数列an中，a11，当n2时，有an3an12，则an_.答案23n11解析设ant3(an1t)，则an3an12t.t1，于是an13(an11)an1是以a112为首项，以3为公比的等比数列an23n11.7若数列an满足a11，an12nan，则数列an的
10、通项公式an_.答案解析由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)，故an.8已知an满足a11，且an1(nN*)，则数列an的通项公式为_答案an解析由已知，可得当n1时，an1.两边取倒数，得3.即3，所以是一个首项为1，公差为3的等差数列则其通项公式为(n1)d1(n1)33n2.所以数列an的通项公式为an.9若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案 (2)n1解析 Snan，当n2时，Sn1an1.，得ananan1，即2.a1S1a1，a11.an是以1为首项，2为公比的等比数列，an(2)n1.10在数列an中，a11，an1an2
11、n1，则数列的通项an_.答案 n2解析 an1an2n1.an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(2n1)(2n3)531n2(n2)当n1时，也适用ann2.11已知数列an中，a1，an11(n2)，则a16_.答案 解析 由题意知a211，a312，a41，此数列是以3为周期的周期数列，a16a351a1.二、解答题12已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求证：数列an1是等比数列，并写出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足(an1)n，求数列bn的前n项和Sn.解析 (1)证明：an12an1，an112(an1)，又a11，a1120，an10，2，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列an12n，可得an2n1.(2)解：(an1)n，2(b1b2b3bn)2nn2，即2(b1b2b3bn)n22n，Snb1b2b3bnn2n.13设数列an的前n项和为Sn，其中an0，a1为常数，且a1，Sn，an1成等差数列求an的通项公式；解析 依题意，得2Snan1a1.当n2时，有两式相减，得an13an(n2)又因为a22S1a13a1，an0，所以数列an是首项为a1，公比为3的等比数列因此，ana13n1(nN*)