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1、考点四 函数的概念与表示知识梳理1函数的基本概念(1) 函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f：AB，或yf(x)(xA) (2)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数
2、相等的依据(5)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法2. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集3. 映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射4常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域为R(4)yax(a0且a1)，ysin x，ycos
3、 x，定义域均为R(5)ytan x的定义域为x|xk，kZ5基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R(6)ysin x，ycos x的值域是1，1(7)ytan x的值域是R典例剖析题型一 函数的概念例1下列各组函数中，表示同一函数的是_.(填序号) f(x)|x|，g(x) f(x)，g(x)()2 f(x)，g(x)x1 f(x)，g(x)答案 解析 中，g(x)|x|，f(x)g(x)中，f
4、(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)，两函数的定义域不同中，f(x)(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选.变式训练 下列四个图象中，是函数图象的是_.(填序号)答案 解析由每一个自变量x对应唯一一个f(x)可知不是函数图象，是函数图象解题要点 1判断是否是同一函数关键看两点：定义域相同；2对应关系相同2.判断是否是函数图象，要看定义域和值域是否在所指定范围，同时每一个自变量应只对应一个因变量题型二 函数解析式求法例2(1)已知f(1)
5、x2，则f(x)_.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.(3) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)答案(1) f(x)x21(x1)，(2) f(x)2x7，(3) f(x)x2x1解析(1) (换元法)设1t(t1)，则t1.代入f(1)x2，得f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1) (2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7. (3) (待定系数法) f(x)是二次函
6、数， 设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，整理，得(2a2)x(ab)0，比较系数得 f(x)x2x1.变式训练 定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.答案 解析当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1)解题要点 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x
7、)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程组法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)题型三 函数的定义域例3求下列函数的定义域(1);(2)答案 (1)，(2) (1，1)(1，)解析 (1) 使函数有意义，则且，得或，所以定义域为(2)使函数有意义，则，解得：且. 所以定义域为(1，1)(1，)变式训练 函数f()=的定义域为_.答案 0，1)(1， +) 解析 由题意知，所以函数定义域为0，1)(1， +)解题要点 抓住常见函数有意义的约束条件是解题的关
8、键，需要注意的是：函数定义域应写成集合或区间的形式题型四 函数的值域例4求下列函数的值域(1) yx22x，x0，3；(2)(3) y，x3，5；(4) f(x)x.解析 (1) (配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在0，3上为增函数，0y15，即函数yx22x(x0，3)的值域为0，15(2) (换元法)设t，t0，则y(t22)t2，当t时，y有最小值，故所求函数的值域为.(3) (分离常数法)由y2，结合图象知，函数在3，5上是增函数，所以ymax，ymin，故所求函数的值域是.(4) (单调性法)f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，所以f(x)f，即函数的值域是.
9、题型五 分段函数例5(1)已知函数f(x)则f(f()_.(2) 已知函数f(x)则f_答案(1) (2) 2解析(1)f(f()f(log3)f(2)22.(2) ，ftan1，ff(1)2(1)32.变式训练 已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值等于_答案 3解析(1)由题意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.当a0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.解题要点 1.分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则2.在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论
10、当堂练习1. 函数f(x)的定义域为_答案 x|x1且x22函数y2的值域是_答案 0，2解析 x24x(x2)244，02，20，022，所以0y2.3若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是_ 答案4设函数f(x)若f4，则b等于_答案解析由题意，得f3bb.若b1，即b时，2b4，解得b.若b1，即b时，3b4，解得b(舍去)所以b.5函数f(x)log2(x22x3)的定义域是_答案(，3)(1，)解析需满足x22x30，解得x1或x3，所以f(x)的定义域为(，3)(1，)课后作业一、填空题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之
11、后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是_ 答案解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的2若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是_ 答案解析根据函数的概念，任意一个只能有唯一的值和它对应，故排除；由定义域为排除、,选.3设f(x)则f(f(2)等于_答案解析f(2)220，则f(f(2)f11.4函数ylg(2x1)的定义域是_答案 (，2)解析 x同时满足不等式2x0,2x10，解得x2，故所求函数的定义域是(，2).5设A0,1,2,4，B，则下列对
12、应关系能构成A到B的映射的是_(填序号)f：xx31 f：x(x1)2 f：x2x1 f：x2x答案 解析 对于选项，由于集合A中x0时，x311B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项不符合；同理可知、两选项均不能构成到的映射，选项符合.6函数y的值域是_答案 0，4)解析 4x0，0164x16，0y4.7若f(2x+1)=6x+3，则f(x)的解析式为f(x)= _答案3x解析令t=2x+1，则x=，所以f(t)=6+3=3t，故f(x)=3x.8已知函数f(x)若f(f(1)4a，则实数a等于_答案 2解析 f(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得a2.9函数y(x
13、1)0的定义域是_答案 x|3x2且x1解析 由，得所以3x2且x1，故所求函数的定义域为x|3x2且x110已知f(x)x2，则f(3)_.答案 11解析 f(x)(x)22，f(x)x22(xR)，f(3)32211.二、解答题11(1)已知f(x)是一次函数，且满足f(x1)2f(x1)2x3，求f(x)的解析式(2) 若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，求g(x)的解析式解析 (1)设f(x)kxb(a0)，则f(x1)2f(x1)kxkb2kx2k2bkx3kb，即kx3kb2x3不论x为何值都成立，解得f(x)2x9.(2) 设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x.12甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系试写出yf(x)的函数解析式解析 当x0,30，设yk1xb1，由已知得k1，b10，yx；当x(30,40)时，y2；当x40,60时，设yk2xb2，由已知得k2，b22，yx2.f(x)13设函数f(x)试解不等式f(x)f(1)解析f(1)3，f(x)3，当x0时，x24x60时，x63，解得x(3，)，故不等式的解集为(3，1)(3，)