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1、第2课时 用空间向量研究夹角问题 人教A版（2019）选择性必修第一册 (3227)1. 已知则直线和直线所成角的余弦值为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究两条直线所成的角答案：A解析：则故直线和所成角的余弦值为.2. 已知平面的一个法向量为则以向量为方向向量的直线与平面所成的角的大小为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角答案：B解析：设以向量为方向向量的直线与平面所成的角为 则则故选.3. 若平面的一个法向量为直线的一个方向向量为则与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角答案：B解析：由题意设与所成的角为设向量与的夹角为平
2、面的一个法向量为直线的一个方向向量为 故选.4. 如图，在长方体中，则与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面所成的角答案：D解析：在长方体中 以为原点的方向为轴正方向的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则 所以 设平面的法向量为 则取得. 设直线与平面所成的角为 则.故选.5. 在正三棱柱中，则（）A.与底面所成角的正弦值为B.与底面所成角的正弦值为C.与侧面所成角的正弦值为D.与侧面所成角的正弦值为知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角答案：B ； C解析：如图，取的中点的中点连接则三条直线两两垂直， 分别
3、以的方向 为轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设 则平面的一个法向量为与底面所成角的正弦值为，故错误，正确. 设的中点为则的坐标为，连接易知侧面的一个法向量为与侧面所成角的正弦值为，故正确，错误.故选.6. 已知两平面的法向量分别为则两平面的夹角为.知识点：空间向量的夹角用空间向量研究两个平面所成的角答案：解析：因为所以所以两平面的夹角为.7. 在棱长为的正方体中为的中点为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.知识点：异面直线所成的角用空间向量研究两条直线所成的角答案：B解析：以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 所以所
4、以故与所成角的余弦值为.8. 已知正三棱柱的棱长均为是侧棱的中点，则平面与平面的夹角为（）A.B.C.D.知识点：用空间向量研究两个平面所成的角答案：A解析：以为原点，以垂直的直线为轴，以的方向为轴正方向，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示正三棱柱的棱长均为是侧棱的中点， . 设平面的法向量为则 即取得平面的一个法向量为 则平面与平面的夹角为，故选.9. 如图所示，在正方体中，点为棱的中点，点在棱上移动，当异面直线与所成角最小时，其余弦值为（）A.B.C.D.知识点：异面直线所成的角立体几何中的动态问题用空间向量研究两条直线所成的角答案：C解析：以为原点的方向为轴正方向的方向为轴
5、正方向的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，在正方体中， 点为棱的中点，设正方体棱长为 则，设则.设异面直线与所成的角为 则.当异面直线与所成的角最小时，最大，此时.故选.10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有（）A.与所成的角为B.与所成的角为C.与平面所成角的正弦值为D.平面与平面的夹角的正切值是知识点：立体几何中的折叠问题二面角用空间向量研究直线与平面所成的角用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究两个平面所成的角答案：B ； D解析：取的中点连接 以为原点的方向分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设则.对于选项与所成的角为选项错误；对于选项 即
6、选项正确；对于选项设平面的法向量为则即令则 设与平面所成的角为则，选项错误；对于选项D，设平面的法向量为，则即 令则 平面平面的一个法向量为 平面与平面的夹角的正切值为选项正确.故选.11. 如图，在四棱锥中平面底面为矩形，.若在直线上存在两个不同点使得直线与平面所成的角为则实数的值可以为（）A.B.C.D.知识点：直线与平面所成的角答案：A ； B ； C解析：假设在直线上只有一点使得直线与平面所成的角为连接如图， 此时在中，由可得.在直线上存在两个不同的点使得直线与平面所成的角为等价于在直线上有两个点到点的距离为由此可得.故选.12. 如图在底面边长为高为的长方体中分别为的中点，则异面直线
7、与所成角的大小为；平面与平面的夹角的余弦值为.知识点：用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究两个平面所成的角答案：； 解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则所以 设异面直线与所成角的大小为所以 又所以设平面的一个法向量为 则即令得 平面的一个法向量为设平面与平面的夹角为 则.13. 如图，在四棱锥中，棱两两垂直，且长度均为.(1) 求证：平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定定理答案：(1) 证明：因为所以为平行四边形，又垂直，且长度均为所以为正方形，所以.因为所以平面又平面所以又所以平面.(2) 以为原点的方向为轴
8、正方向的方向为轴正方向的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，.设平面的法向量为则即取得所以所以直线与平面所成角的正弦值为.解析：(1) 略(2) 略14. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为正方形，.(1) 求异面直线与所成角的大小；(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.知识点：用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究两个平面所成的角答案：(1) 因为四边形为正方形，所以平面所以平面平面在平面内作垂足为点以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.设则点的坐标为点为点的坐标为点的坐标为则设向量的夹角为则所以异面直线与所成的角为.
9、(2) 点的坐标为.设平面的法向量为则即取得.设平面的法向量为则即取得.设两个法向量的夹角为则 所以平面与平面的夹角的余弦值为.解析：(1) 略(2) 略15. 如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面是侧面内的动点，且记与平面所成的角为则的最大值为（）A.B.C.D.知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直用空间向量研究直线与平面所成的角答案：B解析：以为原点的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，则. 设则 连接则 的最大值为.故选.16. 在正三棱锥中为棱的中点，设与所成的角为与底面所成的角为平面与平面的夹角为则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.知识点：用空间向
10、量研究直线与平面所成的角用空间向量研究两条直线所成的角用空间向量研究两个平面所成的角答案：B解析：如图所示，设为的中点，连接设点在平面内的射影为点则 设正三棱锥的底面边长为高为建立空间直角坐标系则 所以所以过作交于点连接则即为与底面所成的角，所以所以所以 故不成立一定成立. 显然平面的一个法向量为设平面的法向量为则令则所以所以当时，；当时，；当时，故不一定成立.故选.17. 如图，在平行四边形中，沿将折起，使二面角的大小为设点在平面上的射影为点.(1) 当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？(2) 当时，求的大小.知识点：空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直立体几何中的折叠问题二面角棱柱、棱锥、棱台的体积二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：(1) 由题知为在平面上的射影平面平面是二面角的平面角，则.，当且仅当即时取等号.故当时，三棱锥的体积最大，最大为.(2) 过作于则为矩形，以为原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 由得可得.解析：(1) 略(2) 略