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1、1.4.1 用空用空间向量研究距离、向量研究距离、夹角角问题（第（第2课时）人教A版（2019）选择性必修第一册学学习目目标1.能用向量法得到直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角。2.能利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角问题。3.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算一、复习导入两点间的距离向量法求距离点到直线的距离两平行线之间的距离点到平面的距离二、新课讲授1、用空间向量研究夹角的问题问题1：两条直线的夹角的定义是什么？从高维到低维0 90问题2：两条直线的夹角与它们的方向向量的夹角有什么关系？12 0，90问题3：如何用空间向量求直线与平面所成的角？=0=90=0 090 0
2、，90 0，90问题5：如何用空间向量求平面与平面所成的角？空间中，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90的二面角成为平面与平面的夹角。所以，两个平面夹角 的取值范围为：0，90追问1：二面角的平面角是如何定义的？所以，二面角的取值范围为：0，180故，两平面的夹角等于相应的二面角或其补角追问2：平面与平面所成的角如何转化为向量问题？求平面，的夹角求直线OB，OA的夹角求得平面，的夹角转化为求两平面内与交线垂直的直线的方向向方向向量的量的夹角角思路思路1追问3：两个平面的夹角与这两个平面的法向量的夹角有什么关系？0，90求平面，的夹角求得平面，的夹角转化为求两平面的法向
3、法向量的量的夹角角思路思路2一般性、适用性一般性、适用性例7 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N为线段BC，AD的中点，求直线AM和CN的夹角的余弦值.三、巩固新知分析：1、向量法：选择空间中的一个基底2、坐标法：建立空间直角坐标系基底不唯一取BD的中点O，过O作OE平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.建系不唯一解法一：向量法则直线AM与CN夹角的余弦值等于|cos|.小小结：用向量法解决：用向量法解决夹角的角的“三步曲三步曲”变式式训练：求直线CN与平面BCD所成角的正弦值.分析：需求出平面BCD的法向量1、向量法：选择
4、空间中的一个基底2、坐标法：建立空间直角坐标系解：取BD的中点O，过O作OE平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则有解法一：坐标法设直线CN与平面BCD所成角为，小小结：用向量法解决：用向量法解决夹角的角的“三步曲三步曲”例8 如图，在直三棱柱ABCABC中，AC=CB=2，AA=3，ACB=90，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA，BB上，AQ=2QA，BR=2 RB.求平面PQR与平面ABC夹角的余弦值.解：以C为原点，CA，CB，CC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为CC平面ABC，因为P(0,1,3)，Q(2,0,2)，R(0,2,1)，取z=2，则x=3，y=4设平面PQR与平面ABC的夹角为，变式式训练：求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值.小小结：用向量法解决：用向量法解决夹角的角的“三步曲三步曲”四、课堂小结1.用向量法得到线线、线面、面面的夹角.2.利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间夹角.五、作业布置课本P41：练习第2、3题线线、线面、面面夹角的定义线线、线面、面面夹角的取值范围线线、线面、面面所成角的向量求法