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1、第2课时：直线与椭圆的位置关系及其应用人教A版（2019）选择性必修第一册(3227)1. 已知椭圆直线：则直线与椭圆的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定知识点：直线系方程点与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数答案：B解析：由题意知：恒过点该点在椭圆内部所以直线与椭圆相交故选.2. 若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率的值是（）A.B.C.D.知识点：直线与椭圆的交点个数答案：C解析：由消去并整理， 得 因为直线与椭圆有且只有一个交点，故 解得故选.3. 过原点的直线与曲线相交，直线被曲线所截得的线段长等于，则直线的斜率的一个取值是（）A.B.C.D.知识点：一元二次方程根与系数
2、的关系直线与椭圆的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：D解析：设直线的方程为，直线与曲线交于点，联立消去得，则，所以解得故选D.4. 经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设为坐标原点，则等于（）A.B.C.或D.知识点：向量坐标与向量的数量积直线与椭圆的综合应用椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距答案：B解析：依题意，当直线经过椭圆的右焦点时，其方程为即代入椭圆方程消去并整理得解得或所以两个交点的坐标分别为同理，直线经过椭圆的左焦点时，也可得故选B.5. 已知椭圆：的右焦点为过点的直线交于两点，若的中点坐标为则的方程为（）A.B.C.D.知识点：椭圆的标准方程椭圆的顶点、长轴、短
3、轴、焦点、焦距圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：D解析：由题意知，设，则，由的中点是知联立解得故椭圆的方程为.6. 若直线与焦点在轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数的取值范围是.知识点：椭圆的标准方程点与椭圆的位置关系直线与椭圆的交点个数答案：解析：直线过定点要保证直线与椭圆有两个公共点，则定点需在椭圆内，所以解得又椭圆的焦点在轴上，所以即.7. 若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.知识点：直线系方程椭圆的标准方程直线与椭圆的综合应用点与椭圆的位置关系答案：D解析：直线恒过点所以点在椭圆内或在椭圆上，则且故且故选D.8. 已知直线：被椭圆：截得的弦长为则下列直线中被椭圆截得的
4、弦长一定为的是（）A.B.C.D.知识点：直线与椭圆的综合应用答案：A ； C ； D解析：直线与直线关于原点对称，直线与直线关于轴对称，直线与直线关于轴对称，因此选项中的直线被椭圆截得的弦长一定为而直线被椭圆截得的弦长大于.故选.9. 已知是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，是椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，则的值为（）A.B.C.D.知识点：椭圆的离心率直线与椭圆的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：C解析：设直线的方程为 ，由消去得 所以 所以点横坐标 又 所以 所以点纵坐标 所以 因此故选.10. 已知椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直
5、线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.知识点：两点间的斜率公式椭圆的标准方程点与椭圆的位置关系答案：D解析：依题意得设则从而 又， 因此所以 又所以解得.故选.11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，且则椭圆的离心率的值为（）A.B.C.D.知识点：椭圆的离心率椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距直线与椭圆的综合应用答案：A解析：由题意知则过点且倾斜角为的直线方程为由消去得，设则有，整理得又解得或(舍去)，故选.12. 已知椭圆：的左、右两个焦点分别为直线与交于两点轴，垂足为直线与的另一个交点为则下列结论正确的是（）A.四边形为平行四边形B.C.直线的斜率为D.
6、知识点：椭圆的对称性直线与椭圆的综合应用答案：A ； B ； C解析：由椭圆的对称性知，所以 四边形是平行四边形，故正确；当为椭圆的上、下顶点时，由题意知，点不可能在上、下顶点处，故 故正确；由得 结合图形，如图，不妨设令在轴上方， 则 ，故正确；设则，.因为所以，所以故故错误.故选.13. 已知圆和点是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程为；若直线与点的轨迹相交，且相交弦的中点为，则直线的方程是知识点：直线的点斜式方程椭圆的定义圆锥曲线的弦长及中点弦问题与圆有关的轨迹问题答案：； 解析：由圆的方程可知，圆心半径设点的坐标为连接 的垂直平分线交于点 .又.依据椭圆的定义可得，点的轨
7、迹是以为焦点的椭圆，且 故点的轨迹方程为. 设直线交椭圆于两点，弦的中点坐标为由得 直线的方程是即.14. 在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离之和为.(1) 求动点的轨迹的方程;(2) 若直线与曲线交于两点，求的值.知识点：椭圆的标准方程椭圆的定义直线与椭圆的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题答案：(1) 因为所以动点的轨迹为椭圆，并且长轴长因为两个焦点坐标分别为所以又因为所以所以点的轨迹的方程为.(2) 设点由消去化简得所以所以又因为所以解得满足所以.解析：(1) 略(2) 略15. 阿基米德(公元前年-公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除
8、以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆的面积为两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 过点的直线与交于不同的两点,求面积的最大值.知识点：一元二次方程根与系数的关系椭圆的标准方程椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距直线与椭圆的综合应用圆锥曲线的弦长及中点弦问题函数单调性的应用圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1) 依题意有解得所以椭圆的标准方程是.(2) 由题意直线的斜率不为设直线的方程为由得设所以所以,所以,令,则,故因为在上单调递增，所以当即时的面积取得最大值.解析：(1) 略(2) 略16. 已知椭圆为长轴的一个端点，弦过椭圆
9、的中心且则椭圆的焦距为（）A.B.C.D.以上都不对知识点：椭圆的标准方程向量坐标与向量的数量积用向量的坐标表示两个向量垂直的条件椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距答案：C解析：由题意可知且又 在中，求得或代入椭圆方程得解得 故选.17. 如图，椭圆：的右顶点为上顶点为动直线交椭圆于两点，且始终满足作交于点则的取值范围是（）A.B.C.D.知识点：椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距直线与椭圆的综合应用答案：C解析：设 设直线的方程为由 得由根与系数的关系得 因为所以 整理得. 又原点到直线的距离为则 所以点在圆：上运动.连接 记线段的中点为 则又 所以故选.18. 已知椭圆：的离心率点在该椭圆上.(1) 求椭圆的方程；(2) 若点是椭圆上关于直线对称的两点，求实数的取值范围.知识点：椭圆的离心率椭圆的标准方程直线与椭圆的综合应用点与椭圆的位置关系答案：(1) 由已知得 将的坐标代入椭圆方程，得椭圆的方程为.(2) 设的中点坐标为易知直线的斜率且恒过点则点在椭圆上化简得即.又的中点在直线上.由可得或即或则实数的取值范围是.解析：(1) 略(2) 略