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1、 2.6指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用知识梳理1根式(1)如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(3)()na.当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a|2分数指数幂正数的正分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂，(a0，m，nN*，n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(
2、ab)rarbr(a0，b0，r，sR)4指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0yd1ab0，即在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)4.()(2)2a2b2ab.()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若am0，且a1)，则m0且a1)的图象恒过定点_答案(1,3)3已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_答案cb0，即ab1，又c01
3、，cb0，b0)_.答案解析原式.(2)若3(x0)，则_.答案解析由3，两边平方，得xx17，再平方得x2x247，x2x2245.(x1x1)3(71)18.教师备选(2022杭州模拟)化简(a0，b0)的结果是()A. B. C. D.答案B解析ab1.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加运算的先后顺序(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数跟踪训练1(1)已知a0，则化为()A BC D答案B解析原式.(2)计算：0_.答案8解析原式1|3|2341388.题型二指数函数
4、的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 021a2 022b，下列等式可以成立的是()Aab0 Bab0C0ab D0ba答案ABD解析如图，观察易知，ab0或0ba或ab0，故选ABD.(2)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示当0b1，故A错误，B正确C，D选项中，指数函数yx在R上单调递减，故0b)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()答案A解析由图象可知，b1,0a1，所以函数g(x)axb是减函数，g(0)1b0，所以选项A符合(2)(2022哈尔滨模拟)若
5、存在正数x使ex(xa)0使xa0时有y1ex(0,1)，而yxa(a，)，当a0，使得ex(xa)bc BcbaCbca Dacb答案B解析函数y0.3x在R上是减函数，00.30.70.30.30.301，又幂函数yx0.3在(0，)上单调递增，030.7，00.30.30.70.3，0ab1.201，cba.(2)(2020全国)若2x2y0 Bln(yx1)0 Dln|xy|0答案A解析设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增原式等价于2x3x2y3y，即f(x)f(y)，所以x0，所以A正确，B不正确因为|xy|与1的大小关系不能确定
6、，所以C，D不正确命题点2解简单的指数方程或不等式例4(1)(2022长岭模拟)已知y4x32x3的值域为1,7，则x的取值范围是()A2,4 B(，0)C(0,1)2,4 D(，01,2答案D解析y4x32x3的值域为1,7，14x32x37.12x1或22x4.x0或1x2.(2)当0x0且a1)有解，则实数a的取值范围是_答案(4，)解析依题意，当x时，yax与y有交点，作出y的图象，如图，所以解得a4.命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_答案(，4解析令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递
7、增，在区间上单调递减而y2t是增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4教师备选1(多选)下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73 B.C1.70.30.93.1 D.答案BCD解析y1.7x为增函数，1.72.51，而0.93.1(0,1)，1.70.30.93.1，故C正确；yx为减函数，又y在(0，)上单调递增，故D正确2(2022泸州模拟)已知函数f(x)ex，若f(a2)f(a2)0，则实数a的取值范围是_答案2,1解析因为f(x)ex，定义域为R，f(x)exexf(x)，所以f(x)ex为奇函数又因为f(x)ex
8、在R上为增函数，所以f(a2)f(a2)0f(a2)f(a2)f(a2)f(a2)，即a2a2，a2a20，解得2a1.思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练3(1)设m，nR，则“m1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析mn1，即mn0，mn0，mn.故“m1”的充要条件(2)已知函数f(x)，若f(x)有最大值3，则a的值为_答案1解析令g
9、(x)ax24x3，则f(x)g(x)，f(x)有最大值3，g(x)有最小值1，则解得a1.课时精练1(2022佛山模拟)已知a，b，c，则()Acba BabcCbac Dcab，因为b，c，则bc.综上所述，abc.2若函数f(x)axb的图象如图所示，则()Aa1，b1 Ba1,0b1C0a1 D0a1,0b0，a1)在区间1,2上的最大值是最小值的2倍，则a的值是()A.或 B.或2C. D2答案B解析当a1时，函数单调递增，f(x)max2f(x)min，f(2)2f(1)，a22a，a2；当0a0且a1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()答案ABD解析由
10、图可得a12，即a2，yaxx单调递减，且过点(1,2)，故A正确；yxax2为偶函数，在(0，)上单调递减，在(，0)上单调递增，故B正确；ya|x|2|x|为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y|logax|log2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确6(多选)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A. B2C3 D.答案AC解析令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去)当0a0，b0，则 _.答案 1解析1.8已知函
11、数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是_答案3,0)解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，所以8,1，即81，即3a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过点A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则当x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx在(，1上均单调递减，所以yxx在(，1上也单调递减，所以当x1时，yxx有最小值，所以m，即m的取值范围
12、是.10已知定义域为R的函数f(x)ax(k1)ax(a0且a1)是奇函数(1)求实数k的值；(2)若f(1)0，求实数m的取值范围解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)a0(k1)a01(k1)0，k2，经检验k2符合题意，所以k2.(2)f(x)axax(a0且a1)，f(1)0，a0，且a1，0a0可化为f(m22)f(m)，m22m，即m2m20，解得2m1，实数m的取值范围是(2,1)11已知0ab(1a)bB(1a)bC(1a)a(1b)bD(1a)a(1b)b答案D解析因为0a1，所以01a1，所以y(1a)x是减函数，又0bb，b，所以(1a)b，(1a)b，所以A，B
13、均错误；又11a1b，所以(1a)a(1b)a(1b)b，所以C错误；因为01b1a(1a)b(1b)b，所以D正确12(多选)(2022南京模拟)若直线y2a与函数y|ax1|(a0，且a1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是()A. B. C. D2答案AB解析当a1时，由图象得02a1，0a1，此种情况不存在；当0a1时，由图象得02a1，0a，0a1，0a0，ex11，02，20，f(x)，f(x)为2或1或0.14(2022宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(x0)f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”设f(x)3xm1(mR，m0)是定义在1,1上的“
14、倒戈函数”，则实数m的取值范围是_答案解析f(x)3xm1是定义在1,1上的“倒戈函数”，存在x01,1满足f(x0)f(x0)，m1m1，2m2，构造函数y2，x01,1，令t，t，yt22在上单调递增，在(1,3上单调递减，t1取得最大值0，t或t3取得最小值，y，2m0，m0.15(2022重庆南开中学月考)定义在R上的函数f(x)单调递增，且对xR，有f(f(x)2x)3，则f(log43)_.答案1解析根据题意，对xR，有f(f(x)2x)3，又f(x)是定义在R上的增函数，在R上存在常数a使得f(a)3，f(x)2xa，f(a)2aa3，解得a1，f(x)2x1，f(log43)1
15、1.16(2022上海模拟)已知函数f(x)2xa2x(a为常数，aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)kf(x)3在x0,1上有实根，求实数k的取值范围解(1)函数f(x)2xa2x的定义域为xR，又f(x)2xa2x，当f(x)f(x)，即2xa2x2xa2x时，可得a1，即当a1时，函数f(x)为偶函数；当f(x)f(x)，即2xa2x(2xa2x)2xa2x时，可得a1，即当a1时，函数f(x)为奇函数(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a1，即f(x)2x2x，f(2x)22x22x(2x2x)22，由题可得，(2x2x)22k(2x2x)3(2x2x)2k(2x2x)50，令t2x2x，则有t2kt50，x0,1，2x1,2，根据对勾函数的性质可知，2x2x，即t，方程t2kt50在t上有实数根，则kt，令(t)t，(t)在上单调递增，且(2)，k，实数k的取值范围是.