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1、 历年高考数学真题精选（按考点分类）专题51 坐标系与参数方程（学生版）1（2019新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值2（2019新课标）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为（1）当时，求及的极坐标方程；（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程3（2019新课标）如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标4（2018新课标）在
2、直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程5（2017新课标）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值6（2016新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标7（201
3、5新课标）在直角坐标系中，曲线为参数，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值8（2015新课标）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积9（2015陕西）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（）写出的直角坐标方程；（）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标10（2013辽宁）在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系圆，直线的极坐标方
4、程分别为，（）求与交点的极坐标；（）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为参数），求，的值11（2018新课标）在平面直角坐标系中，的参数方程为，为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程12（2018新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率13（2017新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求14（2017新课标）在直角坐
5、标系中，直线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径15（2016新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求16（2015湖南）已知直线为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的坐标方程为（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，
6、求的值17（2014新课标）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，（）求的参数方程；（）设点在半圆上，半圆在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线的倾斜角及的坐标18（2014新课标）已知曲线，直线为参数）（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程（）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值19（2012新课标）选修；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且，依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点，的直角坐标；（2）设为上
7、任意一点，求的取值范围历年高考数学真题精选（按考点分类）专题51 坐标系与参数方程（教师版）一解答题（共19小题）1（2019新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值解：（1）由为参数），得，两式平方相加，得，的直角坐标方程为，由，得即直线的直角坐标方程为得；（2）法一、设上的点，则到直线得的距离为：当时，有最小值为2（2019新课标）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为（1）当时，求及的极坐标方程；（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐
8、标方程解：（1）当时，在直线上任取一点，则有，故的极坐标方程为有；（2）设，则在中，有，在线段上，故点轨迹的极坐标方程为，3（2019新课标）如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标解：（1）由题设得，弧，所在圆的极坐标方程分别为，则的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为，（2）设，由题设及（1）知，若，由得，得，若，由得，得或，若，由得，得，综上的极坐标为，或，或，或，4（2018新课标）在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
9、（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程解：（1）曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：（2）由于曲线的方程为，则：该射线关于轴对称，且恒过定点由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点所以：必有一直线相切，一直线相交则：圆心到直线的距离等于半径2故：，或解得：或0，当时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线有两个交点故的方程为：5（2017新课标）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积
10、的最大值解：（1）曲线的直角坐标方程为：，设，则，即，即，两边开方得：，整理得：，点的轨迹的直角坐标方程：（2）点的直角坐标为，显然点在曲线上，曲线的圆心到弦的距离，的最大面积6（2016新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标解：（1）曲线的参数方程为为参数），移项后两边平方可得，即有椭圆；曲线的极坐标方程为，即有，由，可得，即有的直角坐标方程为直线；（2）由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值设与直线平行的直线方程为
11、，联立可得，由直线与椭圆相切，可得，解得，显然时，取得最小值，即有，此时，解得，即为，7（2015新课标）在直角坐标系中，曲线为参数，其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点，与相交于点，求的最大值解：由曲线，化为，同理由可得直角坐标方程：，联立，解得，与交点的直角坐标为，（2）曲线为参数，化为普通方程：，其中，；时，为其极坐标方程为：，都在上，当时，取得最大值48（2015新课标）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积解：（）由于，
12、的极坐标方程为，故的极坐标方程为：，化简可得（）把直线的极坐标方程代入圆，可得，即，求得，由于圆的半径为1，的面积为9（2015陕西）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为（）写出的直角坐标方程；（）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标解：由的极坐标方程为，化为，配方为设，又，因此当时，取得最小值此时10（2013辽宁）在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系圆，直线的极坐标方程分别为，（）求与交点的极坐标；（）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为参数），求，的值解：圆，直线的直角坐标方程分别为
13、，解得或，与交点的极坐标为，由得，与点的坐标分别为，故直线的直角坐标方程为，由参数方程可得，解得，11（2018新课标）在平面直角坐标系中，的参数方程为，为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程解：（1）的参数方程为为参数），的普通方程为，圆心为，半径，当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，倾斜角为的直线与交于，两点，圆心到直线的距离，或，或，综上的取值范围是，（2）的参数方程为，为参数，设，对应的参数分别为，则，且，满足，满足，中点的轨迹的参数方程为：，为参数，12（2018新课标）在直角坐标系中，曲线
14、的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：直线的参数方程为为参数）转换为直角坐标方程为：或（2）把直线的参数方程为参数），代入椭圆的方程得到：整理得：，则：，（由于和为、对应的参数）由于为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：，解得：，即：直线的斜率为13（2017新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求解：（1）曲线的参数方程为为参数），化为标准方程是：；时，
15、直线的参数方程化为一般方程是；联立方程，解得或，所以椭圆和直线的交点为和，（2）的参数方程为参数）化为一般方程是：，椭圆上的任一点可以表示成，所以点到直线的距离为：，满足，且的的最大值为当时，即时，解得和，符合题意当时，即时，解得和18，符合题意综上，或14（2017新课标）在直角坐标系中，直线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径解：（1）直线的参数方程为，为参数），消掉参数得：直线的普通方程为：；又直线的参数方程为，为参数），同理可得，直线的普通
16、方程为：；联立，消去得：，即的普通方程为；（2）的极坐标方程为，其普通方程为：，联立得：，与的交点的极径为15（2016新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求解：（）由，得，两式平方相加得，为以为圆心，以为半径的圆化为一般式：由，得；（），两边同时乘得，即由，其中满足，得，曲线与的公共点都在上，为圆与的公共弦所在直线方程，得：，即为，16（2015湖南）已知直线为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的坐标方
17、程为（1）将曲线的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值解：（1），故它的直角坐标方程为；（2）直线为参数），普通方程为，在直线上，过点作圆的切线，切点为，则，由切割线定理，可得17（2014新课标）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，（）求的参数方程；（）设点在半圆上，半圆在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线的倾斜角及的坐标解：（1）由半圆的极坐标方程为，即，可得的普通方程为可得的参数方程为为参数，（2）设 ， ，由（1）知是以为圆心，1为半径的上半圆，直线的斜率与直线的斜率相等，故的直
18、角坐标为，即，18（2014新课标）已知曲线，直线为参数）（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程（）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值解：（）对于曲线，可令、，故曲线的参数方程为，为参数）对于直线，由得：，代入并整理得：；（）设曲线上任意一点到直线的距离为则，其中为锐角当时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为19（2012新课标）选修；坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且，依逆时针次序排列，点的极坐标为（1）求点，的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围解：（1）点，的极坐标为点，的直角坐标为（2）设，则为参数），