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1、考点17 正弦定理和余弦定理1. (2021全国甲卷T8)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,则BC=()A.1B.2C.5D.3【命题意图】本题主要考查应用正、余弦定理解三角形的方法,考查学生的数学运算求解能力. 【解析】选D.设BC=x,在ABC中,由余弦定理知:19=22+x2-22xcos120,解上式得:x=3.2. (2021全国甲卷T8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足A
2、CB=45,ABC=60由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100;由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(31.732)()A.346B.373C.446D.473【命题意图】本题主要考查应用正、余弦定理解三角形的方法,考查学生的数学运算求解能力. 【解析】选B.作CMBB,BNAA,CQAA,其中M,N,Q为相应的垂足,由题意得,BM=100,BCM=15,ABN=45,即CM=100tan15=BC,所以BN=BA=100tan15sin45sin75=100cos15sin45sin15sin75=502sin15=1003+100273,
3、所以AN=BN=273,AQ=AA-CC=AN+QN=AN+(BB-CC)=273+100=373.3.(2021全国乙卷文科T15)同(2021全国乙卷理科T15)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b=.【命题意图】本题考查三角形的面积公式,利用余弦定理求解三角形的边长.【解析】SABC=12acsin B=34ac=3,所以ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-ac=3ac-ac=2ac=8,所以b=22.答案:224.(2021浙江高考T14)在ABC中,B=60,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=;cosMAC=.
4、【命题意图】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.突出考查数学运算的核心素养.【解析】由题意作出图形,如图所示:因为B=60,所以cosB=12,因为AB=2,AM=23,在ABM中,由余弦定理可得:AB2+BM2-AM22ABBM=12.即22+BM2-(23)222BM=12,解得BM=4,因为M是BC的中点,所以BC=2BM=8.在ABC中,由余弦定理可得:AB2+BC2-AC22ABBC=12,即22+82-AC2228=12,解得AC=213,所以cosMAC=AM2+AC2-CM22AMAC=(23)2+(213)2-42223213=23913.【答案】213239135.(20
5、21北京新高考T16)(12分)已知在ABC中,c=2bcos B,C=23.()求B的大小;()在下列三个条件中选择一个作为已知,使ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.c=2b;周长为4+23;面积为SABC=334.【命题意图】本题考查正弦定理和余弦定理,三角恒等变换等等,意在考查考生的转化思想,数学运算、逻辑推理素养.【解析】()由已知及正弦定理,sinC=2sin Bcos B=sin 2B,所以C=2B(舍去)或C+2B=,所以B=6;()由()及已知,c=3b,所以不能选.选,设BC=AC=2x,则AB=23x,故周长为(4+23)x=4+23,解得x=1,即BC=A
6、C=2,AB=23,设BC中点为D,则在ABD中,由余弦定理,cosB=AB2+BD2-AD22ABBD=12+1-AD243=32,解得AD=7.选,设BC=AC=2x,则AB=23x,故SABC=12(2x)(2x)sin120o=3x2=334,解得x=32,即BC=AC=3,AB=3,设BC中点为D,则在ABD中,由余弦定理,cosB=AB2+BD2-AD22ABBD=9+322-AD233=32,解得AD=212.6.(2021新高考I卷T19)(12分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asinC. (1)证明:BD=
7、b;(2)若AD=2DC,求cosABC.【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理解三角形问题,旨在考查运算求解能力.【解析】(1)在ABC中,ACsinABC=ABsinC,因为BDsinABC=asinC,所以BDsinC=asinABC,联立得ABBD=ACa,即ac=bBD,因为b2=ac,所以BD=b.(2) 若AD=2DC,ABC中,cosC=a2+b2-c22ab,BCD中,cosC=a2+b32-b22ab3,因为=,所以(a2+b2-c2)=3a2+b32-b2,整理得a2+b2-c2=3a2+b23-3b2,所以2a2-113b2+c2=0,因为b2=ac,所以6a2-11a
8、c+3c2=0,即a=c3或a=32c,若a=c3,b2=ac=c23,则cosABC=a2+c2-b22ac=c29+c2-c2323c2=79c223c2=76(舍),若a=32c,b2=ac=32c2,则cosABC=a2+c2-b22ac=94c2+c2-32c23c2=74c23c2=712.综上,cosABC=712.【反思总结】解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=及asinA=bsinB=csinC,可先求出角C及b,再求出c.(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,
9、c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一边b的对角B,由C=-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c,而通过asinA=bsinB求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.7.(2021新高考II卷T18)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sin C=3sin A,求ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得ABC为钝角三角形?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.【命题意图】本题考查利用正、余弦定理解三角形,意在考查数学运算及逻辑推理等核心素养.【解
10、析】(1)因为2sin C=3sin A,则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,cos C=a2+b2-c22ab=18,所以角C为锐角,则sin C=1-cos2C=378,因此,SABC=12absinC=1245378=1574;(2)显然cba,若ABC为钝角三角形,则角C为钝角,由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)=a2-2a-32a(a+1)0,解得0aa+2,可得a1,因为aZ,故a=2.【规律方法】(1)由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出a的值,进一步可求得b,c的值,利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B,再利用三角形的面积公式可求得结果;(2)分析可知,角C为钝角,由cos C0结合三角形三边关系可求得整数a的值.