《考点17 正弦定理和余弦定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点17 正弦定理和余弦定理.docx（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 考点17 正弦定理和余弦定理1.(2022全国甲卷文科)(同2022全国甲卷理科T16)已知ABC中,点D在边BC上,ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.【命题意图】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用【解析】设CD=2BD=2m0,则在ABD中,AB2=BD2+AD2-2BDADcosADB=m2+4+2m,在ACD中,AC2=CD2+AD2-2CDADcosADC=4m2+4-4m,所以AC2AB2=4m2+44mm2+4+2m=4m2+4+2m-121+mm2+4+2m=4-12m+1+3m+14-122m+13m+1=4-23,当且仅当m+1=3
2、m+1即m=3-1时,等号成立,所以当ACAB取得最小值时,m=3-1.答案:3-12.(2022新高考卷T18)(12分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=23,求B;(2)求a2+b2c2的最小值.【命题意图】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【解析】(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB,即sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)
3、=-cos C=12,而0B0,所以2C,0B0,又sin B=13,则cos B=1132=223,ac=1cosB=324,则SABC=12acsin B=28;(2)由正弦定理得:bsinB=asinA=csinC,则b2sin2B=asinAcsinC=acsinAsinC=32423=94,则bsinB=32,b=32sin B=12.4.(2022全国乙卷理科T17)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cos A=2531,求ABC的周长.【命题意图】考查两角差
4、的正弦公式、余弦定理以及运算求解能力.【解析】(1)因为sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),所以sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,所以aca2+c2-b22ac-2bcb2+c2-a22bc=-aba2+b2-c22ab,即a2+c2-b22-(b2+c2-a2)=-a2+b2-c22,所以2a2=b2+c2;(2)因为a=5,cos A=2531,由(1)得b2+c2=50,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 则50-5031bc=25,所以bc=312,故(b+
5、c)2=b2+c2+2bc=50+31=81,所以b+c=9,所以ABC的周长为a+b+c=14.5.(2022全国乙卷文科T17)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A).(1)若A=2B,求C;(2)证明:2a2=b2+c2.【命题意图】考查两角差的正弦公式、余弦定理以及运算求解能力.【解析】(1)由A=2B,sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A)可得,sin Csin B=sin Bsin (C-A),而0B0,而0C,0C-A0,则sin C=45.由正弦定理知4sin A=5sin C,则sin A=55.()因为a=54C,cos C=350,所以CA,C2,则AC2.故b=acos C+ccos A=35a+255c=115a=11,则a=5,SABC=12absin C=22.【答题模版】1.看到边角混合等式,想到利用正弦、余弦定理将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式.2.看到边a,b,c的平方关系想到余弦定理的变形形式.