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1、 考点17 正弦定理和余弦定理一、 选择题1.(2020全国卷理科T7)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.23【命题意图】本题主要考查了利用余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力.【解析】选A.由余弦定理可知cos C=23=BC2+AC2-AB22BCAC=32+42-AB2234,可得AB=3,又由余弦定理可知:cos B=AB2+BC2-AC22ABBC=32+32-42233=19.【误区警示】由于对余弦定理公式的形式记忆不准确从而造成运算失误.2.(2020全国卷文科T11)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC
2、=3,则tan B=()A.5B.25C.45D.85【命题意图】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系,考查基本分析求解能力,属基础题.【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcos C=9+16-23423=9,所以c=3,cos B=a2+c2-b22ac=19,所以sin B=1-192=459,所以tan B=45.【误区警示】由于对余弦定理公式的形式记忆不准确从而造成运算失误.二、 填空题三、 解答题3.(2020全国卷文科T17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明
3、:ABC是直角三角形.【命题意图】本题考查诱导公式、余弦定理,意在考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力.【解析】(1)因为cos22+A+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12,又0Ac,解得b=2c,所以a=3c,故b2=a2+c2,即ABC是直角三角形.4.(2020全国卷理科T17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.【命题意图】本题考查应用正弦定理角化边、余弦定理和基本不等式,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】(1)因为s
4、in2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=ACAB,所以cos A=AC2+AB2-BC22ACAB=-12,因为A(0,),所以A=23.(2)由(1)知A=23,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=AC2+AB2+ACAB=9,即(AC+AB)2-ACAB=9.因为ACABAC+AB22(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)2-ACAB(AC+AB)2-AC+AB22=34(AC+AB)2,解得:AC+AB23(当且仅当AC=AB时取等号),所以ABC的周长=AC+AB+BC3+
5、23,所以ABC周长的最大值为3+23.5.(2020新高考全国卷)在ac=3,csin A=3,c=3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=3sin B,C=6,?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查分析问题和解决问题的能力,体现了数学运算和逻辑推理的核心素养.【解析】方案一:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是
6、3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由ac=3,解得a=3,b=c=1.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=6,A=23.由csin A=3,所以c=b=23,a=6.因此,选条件时问题中的三角形存在,此时c=23.方案三:选条件.由C=6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.由sin A=3sin B及正弦定理得a=3b.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由c=3b与b=
7、c矛盾.因此,选条件时问题中的三角形不存在.三、解答题4.(2020北京高考T17)在ABC中,a+b=11,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sin C和ABC的面积.条件:c=7,cos A=-17;条件:cos A=18,cos B=916.注:如果选择条件和条件分别解答,按第一个解答计分.【命题意图】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等变换等.【解析】方案一:选.(1)由已知及余弦定理,cos A=b2+c2-a22bc,即-17=b2+49-a214b,又a+b=11,解得a=8;(2)由(1)知,b=3,又sin2 A+cos2 A=1,0A,所以si
8、n A=437,由正弦定理得asinA=csinC,即8437=7sinC,所以sin C=32,SABC=12absin C=63.方案二:选.(1)因为cos A=18,所以A0,2,所以sin A=378,因为cos B=916,所以B0,2,所以sin B=5716,由正弦定理:asinA=bsinB,又由a+b=11,得a=6.(2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=74,因为a+b=11,所以b=5,所以SABC=12absin C=1547.5.(2020天津高考T16)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=22,b=5
9、,c=13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin2A+4的值.【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换在解三角形中的应用,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.【解题指南】(1)直接利用余弦定理运算即可;(2)由(1)及正弦定理即可得到答案;(3)先计算出sin A,cos A,进一步求出sin 2A,cos 2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.【解析】(1)在ABC中,由a=22,b=5,c=13及余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=8+25-132225=22,又因为C(0,),所以C=4.(2)在ABC中,由C=4,a=22,c=1
10、3及正弦定理,可得sin A=asinCc=222213=21313.(3)由ac知角A为锐角,由sin A=21313,可得cos A=1-sin2A=31313,进而sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513,所以sin2A+4=sin 2Acos 4+cos 2Asin 4=121322+51322=17226.6.(2020浙江高考T18)(本题满分14分)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin A=3a.()求角B;()求cos A+cos B+cos C的取值范围.【命题意图】本题主要考查正弦定理,和角公式等基础知识,同时考查运算求解能力.体现了数学运算的核心素养.【解析】()由正弦定理,得2sin Asin B=3sin Asin B=32B=3.()cos A+cos B+cos C=cos A+12+cos23-A=sinA+6+12,由于C=23-A0,2,A0,2,则A6,2A+63,23,则cos A+cos B+cos C=sinA+6+121+32,32.