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1、考点规范练20正弦定理和余弦定理基础巩固组1.在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.42.(2017台州二次适应性测试)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=ab=3,则ABC的面积为()A.34B.34C.32D.323.ABC中,AB=2,AC=3,B=60,则cos C=()A.33B.63C.-63D.634.(2017浙江温州瑞安模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且ab,则B=()A.6B.3C.23D.565.设ABC的内角A
2、,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,sinBsinC=12+cosCc,则A=.7.(2017山东青岛模拟)如图所示,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sin BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.8.在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=.能力提升组9.(2017四川成都诊断)在ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为()A.
3、等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形10.(2017浙江金华十校模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30,ABC的面积为32,且sin A+sin C=2sin B,则b的值为()A.4+23B.4-23C.3-1D.3+111.在锐角ABC中,若A=2B,则ab的范围是(a,b分别为角A,B的对边长)()A.(2,3)B.(3,2)C.(0,2)D.(2,2)12.(2017浙江台州调研)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,则ABC的面积为()A.32B.34C.
4、32或34D.3或3213.(2017湖北武汉武昌区调研)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.33C.8D.6314.(2017江西九校联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3,则SABC=.15.(2017浙江杭州联考)在等腰ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当ABC的面积取得最大值时,AB的长为.16.(2017浙江温州模拟改编)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=2,2cos 2B+C2+sin
5、 A=45,(1)若满足条件的ABC有且只有一个,则b的取值范围为;(2)当ABC的周长取最大值时,则b的值为.17.(2017浙江宁波二模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知3asin C=ccos A.(1)求sin A的值;(2)若B=4,ABC的面积为9,求a的值.18.(2017浙江名校联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=3.(1)当2sin 2A+sin(2B+C)=sin C时,求ABC的面积;(2)求ABC周长的最大值.答案：1.A由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1.故选A.2.B依题意得cos C=a2+b
6、2-c22ab=12,C=60,因此ABC的面积等于12absin C=12332=34,故选B.3.D由正弦定理,得ABsinC=ACsinB,即2sinC=3sin60,解得sin C=33.因为ABAC,所以Cb,AB,即B为锐角,则B=6.故选A.5.A由正弦定理及已知条件可知sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,即sin(B+C)=sin2A.又B+C=-A,所以sin(B+C)=sin A,所以sin2A=sin A.因为0A0,所以sin A=1,即A=2.6.60由条件sinBsinC=12+cosCc得bc=12+cosCc,则b=12c+cos C=12c
7、+1+b2-c221c,即b2+c2=bc+1,1=b2+c2-2bccos A,可得cos A=12,A=60.7.3sinBAC=sin(90+BAD)=cosBAD=223,在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos BAD,BD2=18+9-2323223=3,BD=3.8.-1010依题意,AB=23BC,AC=53BC.在ABC中,由余弦定理得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=29BC2+59BC2-BC2223BC53BC=-29BC22109BC2=-1010.9.B因为cos2B2=a+c2c,所以2cos2B2-1=a+cc-1,所以cos B=ac
8、,所以a2+c2-b22ac=ac,所以c2=a2+b2.所以ABC为直角三角形.10.D由已知可得12acsin 30=32,解得ac=6,又sin A+sin C=2sin B,由正弦定理可得a+c=2b,由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,解得b2=4+23,b=1+3.故选D.11.AA=2B,根据正弦定理得ab=sinAsinB=2sinBcosBsinB=2cos B.(sin B0)A+B+C=180,3B+C=180,即C=180-3B.角C为锐角,30B60.又0A=2B90,30B45,22cos B32,即22
9、cos B3,则ab的取值范围是(2,3),故选A.12.C根据正弦定理可得2sin B-3sin C=2sin Acos C,而sin B=sin(A+C),整理为2cos Asin C=3sin C,所以cos A=32,所以A=30,asinA=csinC,解得c=3,因为sin C=32,所以C=60或C=120,当C=60时,B=90,此时ABC的面积为S=12ac=32,当C=120时,B=30,此时ABC的面积为S=12acsin B=34,故选C.13.Ca=2bsin C,sin A=2sin Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,两边同
10、除cos Bcos C,2tan Btan C=tan B+tan C,又tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C,tan B+tan C=2tanAtanA-2,tan A+tan B+tan C=tan A+2tanAtanA-2=tan A-2+4tanA-2+48,当且仅当tan A=4时取等号.14.32因为角A,B,C依次成等差数列,所以B=60.由正弦定理,得1sinA=3sin60,解得sin A=12,因为0A180,所以A=30或150(舍去),此时C=90,所以SABC=12ab=32.15.45根据题意,设AB=AC=2x,则AD=x(2x6)
11、,由余弦定理,得cos A=AB2+AD2-BD22ABAD=5x2-364x2=54-9x2,所以sin A=1-54-9x22,所以SABC=12ABACsin A=124x21-54-9x22=2-916(x2-20)2+14424,当x2=20,即x=25时等号成立,所以当ABC的面积取得最大值时,AB的长为45.16.(1)(0,2103(2)10(1)2cos2B+C2+sin A=451+cos(B+C)+sin A=45,即sin A-cos A=-15,又0A,且sin2A+cos2A=1,有sinA=35,cosA=45,若满足条件的ABC有且只有一个,则有a=bsin A
12、或ab,则b的取值范围为(0,2103;(2)设ABC的周长为l,由正弦定理得l=a+b+c=a+asinA(sin B+sin C)=2+103sin B+sin(A+B)=2+103(sin B+sin Acos B+cos Asin B)=2+2(3sin B+cos B)=2+210sin(B+),其中为锐角,且sin=1010,cos=31010,lmax=2+210,当cos B=1010,sin B=31010时取到等号,此时b=asinAsin B=10.17.解 (1)3asin C=ccos A,3sin Asin C=sin Ccos A,sin C0,tan A=13,
13、且A为锐角,sin A=1010.(2)由(1)可得cos A=1-sin2A=31010,sin C=sin(A+B)=sinA+4=255,由正弦定理可得ac=sinAsinC=24,c=22a,S=12acsin B=12a22a22=a2=9,a=3.18.解 (1)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,得4sin Acos A-sin(B-A)=sin(A+B),得2sin Acos A=sin Bcos A,当cos A=0时,A=2,B=6,a=433,b=233,当cos A0时,sin B=2sin A,由正弦定理b=2a,联立a2+b2-ab=4,b=2a,解得a=233,b=433,故三角形的面积为SABC=12absin C=233;(2)由余弦定理及已知条件可得a2+b2-ab=4,由(a+b)2=4+3ab4+3(a+b)24得a+b4,故ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到.