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1、 考点17 正弦定理和余弦定理一、 选择题1.(2018全国卷II高考理科T6)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.【解析】选A.cosC=2cos2-1=2-1=-,在ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CACBcosC,所以AB2=1+25-215=32,所以AB=4.2.(2018全国卷II高考文科T7)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【命题意图】本题考查余弦定理,二倍角公式.【解析】选A.cosC=2cos2-1=2-1=-,在ABC中,由余弦定理AB2=
2、CA2+CB2-2CACBcosC,所以AB2=1+25-215=32,所以AB=4.3.(2018全国高考理科T9)同(2018全国高考文科T11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.【命题意图】本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选C.由题意SABC=absinC=,即sinC=,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C(0,),所以C=.二、填空题4.(2018全国卷I高考文科T16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c
3、,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.【解析】根据正弦定理有:sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,所以2sinBsinC=4sinAsinBsinC,因为B,C(0,),所以sinB0,sinC0,所以sinA=.因为b2+c2-a2=8,所以cosA=,所以bc=,所以S=bcsinA=.答案:5.(2018北京高考文科T14)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取值范围是.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范围,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维
4、能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,ABC的面积S=(a2+c2-b2)=2accosB,又S=acsinB,所以cosB=sinB,因为角C为钝角,所以cosB0,所以tanB=,又0B,所以B=.由正弦定理,=,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=sinA+cosA,所以=+=+,因为B=,A+B+C=,所以A+C=,A=-C,又0A,C是钝角,即C,所以0A,0tanA,=+2,即的取值范围是(2,+).答案:(2,+)6.(2018浙江高考T13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
5、若a=,b=2,A=60,则sinB=,c=.【命题意图】考查正、余弦定理的简单应用.【解析】由正弦定理=得=,得sinB=,由余弦定理得cosA=,解得c=3.答案:3三、解答题7.(本小题13分)(2018北京高考理科T15)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求A.(2)求AC边上的高.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=-,解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=,又因为0A,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则sin
6、A=,所以h=csinA=3sin=,即AC边上的高为.方法二:(1)因为cosB=-0,sinB=,由正弦定理,=,即sinA=sinB=,又因为0A,所以A=.(2)设AC边上的高为h,则h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=(-)+=,所以h=asinC=7=,即AC边上的高为.8.(本小题满分13分)(2018天津高考理科T15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.()求角B的大小;()设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角
7、差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】()在ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=acos,即sinB=cos,所以sinB=cosB+sinB,可得tanB=.又因为B(0,),可得B=.()在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos,可得sinA=.因为ac,故cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2As
8、inB=-=.9.(本小题满分13分)(2018天津高考文科T16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.()求角B的大小.()设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.【解析】()在ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=acos,即sinB=cos,所以sinB=cosB+sinB,可得tanB=.又因为B(0,),可得B=.()在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos,可得sinA=.因为ac,故cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=-=.