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1、 考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.(2019全国卷文科T11)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-14=cos A=b2+c2-a22bc,所以c2-4c22bc=-14,所以3c2b=14,所以bc=324=6,故选A.二、填空题2.(2019全国卷理科T1
2、5)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.【解析】因为cos B=a2+c2-b22ac,又因为b=6,a=2c,B=3,可得c2=12,解得c=23,a=43,则ABC的面积S=12432332=63.答案:633.(2019全国卷文科T15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.【解析】已知bsin A+acos B=0,由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0,
3、即sin B=-cos B,又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=22,cos B=-22,故B=34.答案:344.(2019浙江高考T14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若BDC=45,则BD=,cosABD=.【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.【解析】在ABD中,由正弦定理有:ABsinADB=BDsinBAC,而AB=4,ADB=34,AC=AB2+BC2=5,sinBAC=BCAC=35,cosBAC=ABAC=45,所以BD=1225.cosABD=cos(BDC-BAC)=co
4、s4cosBAC+sin4sinBAC=7210.答案:12257210三、解答题5.(2019全国卷理科T17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A.(2)若2a+b=2c,求sin C.【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A(0,)可求得结果;(2)利用正
5、弦定理可得2sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)方法一:由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(
6、C+60)=22,故sin C=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos 60-cos(C+60)sin 60=6+24.方法二:因为2a+b=2c,由正弦定理得:2sin A+sin B=2sin C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A=3,所以232+32cos C+12sin C=2sin C,整理可得:3sin C-6=3cos C,即3sin C-3cos C=23sinC-6=6,所以sinC-6=22,所以C=512或1112,因为A=3且A+C,所以C=512,所以sin C=sin512=sin6+4=sin6cos4+c
7、os6sin4=6+24.6.(2019全国卷理科T18同2019全国卷文科T18)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+C2=bsin A.(1)求B.(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理、面积公式,意在考查考生综合应用三角知识运算求解能力.【解析】(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此
8、B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90,由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是38,32.7.(2019北京高考理科T15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值.(2)求sin(B-C)的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数
9、学素养.【解析】(1)由已知及余弦定理,cos B=c2+a2-b22ca=9+(c+b)(c-b)6c=9-2(c+b)6c=-12,即9-2b+c=0,又b-c=2,所以b=7,c=5.(2)由(1)及余弦定理,cos C=a2+b2-c22ab=32+72-52237=1114,又sin2C+cos2C=1,0C,所以sin C=5314,同理sin B=32,所以sin(B-C)=sin Bcos C-sin Ccos B=321114-5314-12=437.【方法技巧】解三角形的问题,已知边角和所求边角放一起,两边两角用正弦定理,三边一角用余弦定理,常用结论:sin(A+B)=si
10、n(-C)=sin C,sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.8.(2019北京高考文科T15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值.(2)求sin(B+C)的值.【命题意图】考查运用正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角恒等变换,意在考查灵活运用公式与基本运算能力,培养学生的逻辑思维能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】(1)由已知及余弦定理,cos B=c2+a2-b22ca=9+(c+b)(c-b)6c=9-2(c+b)6c=-12,即9-2b+c=0,又b-c=2,所以b=7,c=5.(2)由(1)及余弦定理,cos C=a2+b2-c22ab=32+72-52237=1114,又sin2C+cos2C=1,0C0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=255.