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1、2023年正弦定理和余弦定理“正弦定理和余弦定理”的教学反思 “正弦定理和余弦定理”是中学数学必修5中“解三角形”的一节内容。本节在有关三角形、三角函数和解直角三角形学问的基础上，通过对随意三角形边角关系的探讨，发觉并驾驭三角形中边角之间的数量关系。本节教学内容与前后学问联系紧密，涉及多种数学思想方法，现总结如下。一、解三角形与判定三角形全等之间的关系解三角形探讨的是三角形中的各种几何量之间的关系，如边、角、面积、外接圆半径和内切圆半径等之间的关系，而正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具。平面几何主要是从定性的角度探讨三角形，解三角形主要是从定量的角度探讨三角形中的各种几何量之间的关系，是用
2、解析的方法探讨三角形。两种探讨角度不同，可以互补，相得益彰。判定三角形全等的公理有：边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)。其中至少有一个元素是边，仅有三个角(AAA)对应相等的两个三角形相像但不全等。判定三角形全等条件的几何意义是三角形的其它变量可以用所给的一组变量表达。如，SSS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC三边的长可以唯一地确定它的三个内角，如已知ABC的三边，可用余弦定理的推论，求得三角。SAS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC的两条边的长及其夹角唯一地确定了第三边的长，进而唯一地确定了它的其余两条边长。如已知ABC的两边及其
3、夹角C，可以用余弦定理求出第三边。这时，三边已知，可用余弦定理的推论求出其余两角。这正是余弦定理可以解决的两类问题：已知三边，求三角(SSS)；已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(SAS)。角边角(ASA)公理和角角边公理(AAS)借助三角形内角和定理，可以认为是实质相同的，其几何意义是ABC的两角和任一边可以唯一确定其余的角和边，如已知ABC的两角A，B和夹边c，可以求出这是正弦定理所能解决的一类问题：已知两角和任一边，求其余的边和角(ASA，AAS)。正弦定理还能解决一类问题：已知两边和其中一边的对角，求第三边和其余两角(SSA)。从几何意义上讲，SSA不能判定三角形全等，也就不能唯一确
4、定一个三角形，表现在用正弦定理解三角形时会出现两解、一解和无解的状况。从正弦定理和余弦定理的角度看，判定三角形全等的边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)是相互等价的。由上可见，研读教材时，要从整体和全局的高度把握教材，了解教材的结构、地位作用和相互联系，使之相互诠释补充，产生新的见解。教学中，剖析透彻三角形全等的判定公理与解三角形之间的关系，可以完善学生的认知结构，将初中学问升华。二、数学思想方法数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分，有利于加深学生对数学学问的理解和驾驭，提高学生解决数学问题的实力。本节的两个主要结论是正弦定理和余弦定理
5、，教学中应重视与内容亲密相关的数学思想方法的教学，在提出问题、思索解决问题的策略等方面对学生进行详细示范、引导。在正弦定理部分，考虑到不简单干脆得出一般三角形中边和角的关系，可以先引导学生在直角三角形中，考虑与边角有关的三角函数学问来发觉这一规律，接着猜想这一规律的一般性，然后在锐角三角形和钝角三角形中进行证明，从而得出正弦定理，这一过程体现了由特别到一般和分类探讨的数学思想。在锐角三角形和钝角三角形中证明结论时，也是通过作高将其转化为直角三角形进行证明，体现了转化与化归的数学思想。在余弦定理部分，得出余弦定理后，分析余弦定理的形式并提出已知三边求角的问题，结合方程的思想得出余弦定理的推论，从
6、数量化的角度刻画了判定三角形全等的“边、边、边”结论。在证明白余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中。提出了一个思索问题：“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。如何看这两个定理之间的关系?”进而结合余弦函数的性质分析得出：余弦定理是勾股定理的推广，把勾股定理纳入到余弦定理的学问系统中，体现了从一般到特别的思想。正弦定理和余弦定理的应用，都通过两种不同类型的例题介绍。正弦定理主要介绍“角角边”和“边边角”两种类型，余弦定理主要介绍“边角边”和“边边边”两种类型，体现了分类探讨的思想。三、数学学问之间的联系正弦定理和余弦定
7、理的证明和应用中涉及诸多数学学问，如向量、三角函数、解析几何等，教学时应予以留意。正弦定理和余弦定理刻画了三角形中边角的数量化关系，与初中学过的三角形中边角的基本关系和判定三角形全等的学问有着亲密联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何学问动身，提出探究性问题“在随意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系精确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，从初中所学的三角形全等动身，定性说明已知三角形两边及夹角则该三角形完全确定，从而提出问题：已知三角形两边及夹角能否定量计算第三边呢?最终，正弦定理和余弦定理落脚于解三角形，使初中学习的判定三角形全等的公理得
8、到了理性化的说明。是定性到定量的升华，也可以说二者在这里找到了共鸣，融为一体。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的学问有了新的相识，同时使新学问建立在已有学问的坚实基础上，形成良好的学问结构。义务教化数学课程标准把“正弦定理和余弦定理”这部分内容支配在必修5，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面对量、解析几何等与本章学问联系亲密的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，例如正弦定理的证明，教材采纳的是借助直角三角形中边角的三角函数关系，事实上，还可以借助三角形外接圆和向量进行证明。余弦定理的证明，除了教材中采纳的向量法，还可以运用坐标法，借助两点间距离公式和三角学问证明。教学中，留意多种证明方法的运用，既可以巩固各部分学问，体会数学学问之间的内在联系，体现数学学问的作用和威力，如向量、三角函数，又可通过多种方法的比较，开阔思路，吸取精华，提炼最优解题方法。因此，进行正弦定理和余弦定理教学时，要留意与前后各章内容的联系，留意复习和应用已学内容，并为后续章节内容做好打算。这样，能使整套教科书成为个有机整体，提高教学效果，并有利于学生对数学学问的学习和巩固。