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1、2021年中考数学压轴题1.已知ABC是等边三角形，点P是平面内一点，且四边形PBCD为平行四边形，将线段8 绕点C逆时针旋转60,得到线段CF.(1)如 图1,当P为A C的中点时，求证：F C L P D；(2)如图2,当P为4BC内任一点时，连接 出，PF,A尸试判断物F的形状，并证明你的结论；(3)当B,P,F三点共线且A B=g,PB=3时，求 抬 的长.图1图2(1)证明：如 图1,ABC是等边三角形，且P为A C的中点,1 1/.Z P B C=Z A B C=1 x60=30,四边形P B C D为平行四边形，N D=NPBC=30 .*/ZFCD=60.ZFCD+ZD=90
2、,：.FCPD.(2)鬼尸是等边三角形，理由如下：如图2,延长BC,证明ABC为等边三角形，：.AB=AC,ZABC=ZACB=60,Z2=60-Z l,Z4=180-60-60-Z3=60-Z3.四边形P A C D是平行四边形，J.PB/CD,P B=C D=F C.AZ1=Z3.第1页 共7页.,.Z 2=Z 4.又 AB=AC,PB=FC,：./ABP/ACF(SAS).：.AP=AF,ZBAPZCAF.V ZBAP+ZPAC=60,：.APAC+ACAF=APAF=60,.以尸是等边三角形.（3）当 点P在线段8尸上时，如图3,过A作AE_LBF于E,由（2）可得NAP尸=60 ,设
3、 P E=x,则 AE=Vv,于是得：（x+3）2+32=19,xi=,X2=|（不合题意，故舍去）*PA=2JC=2.当 点P落在线段FB的延长线上时，如图4,过8作于E,贝U在 RtZ P8E 中，P B=3,由（2）可得NBPE=60 ,A ZPHE=30.在 Rt&BE 中，AB=V19,BE=芋.4E=J19-(等)2=夕：.PA=PE+AE=5.由于P点不可能线段3 F的延长线上，所以，综上所述，布 的长为2或5.图4第2页 共7页图2图12.【阅读】如图 1,四边形 0 A Be 中，0 A=m 0 C=8,BC=6,N A O C=N 8 C O=9 0 ,经 过 点。的直线/
4、将四边形分成两部分，直 线/与0C所成的角设为。，将 四 边 形0 A BC的直角/0CB沿 直 线/折 叠，点C落 在 点。处，我们把这个操作过程记为F Z。，.【理 解】若 点。与 点A重 合，则这个操作过程为F Z 4 5 ,8 ；【尝 试】（1）若 点D 与0A的中点重合，则这个操作过程为FZ 4 5 ,1 6 ；（2）若 点。恰 为AB的 中 点（如 图2）,求。的值；第 3 页 共 7 页【应用】经过尸Zf45,0 操作，点 B 落在点E 处，若 点 E 在四边 形 OABC的边A B上，直线/与A B相交于点F,试画出图形并解决下列问题：求 出 a 的值；若 P 为 边 0 A
5、上一动点，连 接 PE、P F,请直接写出PE+P/的最小值.(备注：等腰直角三角形的三边关系满足1：1：&或VL V2：2)图1由折叠得：Z C OP=ZDOP=45 ,ZC=ZO D P=9 0 ,：.CP=PD,：OP=OP,：.RtAOCPRtAODP(HL),.OC=OO=8,为。4 的中点，.OA=a=16,则这个操作过程为尸Z45,16；故答案为：45,16；(2)延长M、0 A,交于点N,如图2.第4页 共7页V ZAOC=ZBCO=90,A Z A O C+Z BC O=1 8 0 ,：.BC/OA,:,/B=/D A N.在 BD M和 A O N中，ZB=Z-DANBD=
6、AD,ZBDM=乙 ADN:BDMmAADN(A S A),：.DM=DN.V ZODM=ZOCM=90,根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON,.根据等腰三角形的性质可得/。=N N O D由折叠可得/M O O=N A/O C=e,：.ZCOA=3Q=90,A 0 =3 0 ；【应用】过点3作6 H J _ 0 A于点儿如图3.第5页 共7页图3,：ZCOA=90Q,ZCOF=45,A ZFOA=45 .点、B与点E关于直线/对称，：.ZOFA=ZOFB=90,：.ZOAB=45,：.ZHBA=90-45 =45 =NHAB,：.BH=AH,V CO OA,BH_LOA,CO/BH.:BC
7、HOZ 四边形BCOH是平行四边形，:BH=CO=8,OH=CB=6,：.OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14.。的值为14.过 点3作 班7，。4于点H,过点尸作OA的对称点Q,连接AQ、EQ,O B,如图4,第6页 共7页o则有N QA O=N M O=45 ,QA=FA,：.ZQAF=90.在 R 3 H A 中，AB=y/BH2+AH2=8或.在 RtZO吊 中，尸 0=90 ,/A O F=/O 4 f=4 5：.AF=OF=7 夜,：.AQ=AF=Jy2.在 RtAOCB 中，0B=yJOC2+BC2=V82+62=10.在 RtAOFB 中，BF=AB-A F=8&-7 或=V2.由折叠可得EF=BF=VL：.AE=AF-EF=12-y2=6y/2.在 RtzXQAE 中,EQ1=AE1+AQ2=(6&)2+(7A/2)2=170.根据两点之间线段最短可得:当点E、P、。三点共线时，PE+PF=PE+P。最短，最小值为线段E。长.PE+PF的最小值的是仍而.第7页 共7页