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1、2022年中考数学压轴题1.如图，边长为5 的正方形。/8 C 的顶点。在坐标原点处，点/、C分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E是。/边上的点(不与点/重合)，EFLCE,且与正方形外角平分线/G交于点P.(1)求证：CE=EP；(2)若点E的坐标为(3,0),在夕轴上是否存在点“，使 得 四 边 形 是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.(1)证明：在O C 上截取O K=O E.连接E K,图1；O C=O 4 NC O/=/B/0=9 0 ,NOEK=NOKE=45,：AP为正方形OCBA的外角平分线,：.ZBAP=45,:.NEKC=/PAE=135,：.CK=E
2、A,：ECLEP,：.NCEF=NCOE=90,：.ZCEO+ZKCE=90,ZCEO+ZPEA=90Q,:.NKCE=/CEA,在 C K E 和E ZP 中第1页 共1 0页ZKCE=LPEACK=EA/CKE=LEAP:./XCKE 空!EAP,：.EC=EP；(2)解：y轴 上 存 在 点M,使 得 四 边 形B ME尸 是 平 行 四 边 形.如 图，过 点B作3尸交y轴 于 点“，连 接B P,EM,则NC0 8=NCE P=9 O,所以 NOCE=NC3 0,2cBM =/.OCE 在 8 CN和COE 中，BC=OCZBCM=乙 COE:A B C M q/COE,:.BM=C
3、E,：CE=EP,:BM=EP.:BM EF,，四边 形BMEP是平 行 四 边 形，VA CM ACOE,:CM=0E=3,：.OM=CO-CM=2.故 点M的坐 标 为（0,2）.第 2 页 共 1 0 页2.如 图1,是。的直径，点4、C是直径O E上方半圆上的两点，且4 O L C O.连接A E,。相交于点尸，点8是直径OE下方半圆上的任意一点，连接N 8交C O于点G,连接C 8交4 E于点从图1图2(1)NAB C=4 5 :(2)证明：C FHsXC BG；(3)若弧OB为半圆的三分之一，把/Z O C绕着点0旋转，使点C、。、8在一直线上FH时，如图2,求S T；的值.DU解
4、：V Z A O C=9 0 ,/.ZABC=45,故答案为4 5 1(2)如图 1,N C F H=NC DE+N A E D=勺(1 8 0 -ZAOC)=4 5 =NABC,N F C H=Z G C B,C FHs C BG；(3)设乙4 O D 为Nl,NC OE 为N2,NOEA=N O A E=a,圆的半径为 R,图2AO11C O,则 Nl+/2 =9 0 ,/l=2 a,弧0 8为半圆的三分之一，则NO 4 =NO/IE=30 第 3 页 共 1 0 页则 N2=60 ,a=30 ,在O 7/中，/2=60 ,a=1 5 ,OE=R,在 O E 上取一点 K,使 H K=E
5、K,则/K O=2 a=30 ,设 HU 则 x+e=R.贝 lj x=J 3V3+2 OH=xtanNHK O=（2-V3）R,贝IC =C O-O =（V3-1）R,在 （?中，ZDC B=30,NHFC=45,CH=（V 3-1）R,同理可得：FC=R,C FHsC BG,FH FC R 1BG BC 2R 23.如图，在Rt ZX/B C中，ZAC B=9 0Q,以斜边4 5上的中线C Z)为直径作。，与8 c交于点/，与4 8的另一个交点为,过/作M L L/8,垂足为M(1)求证：MN是 的 切 线：(2)若。的直径为5,s i n8=|,求皮)的长.：OC=OM,：.Z O C
6、M=NOMC,在VX/XABC中，C D是 斜 边 上 的 中 线,第4页 共1 0页:.CD=%B=BD,：.ZD CB=ZD BC,：.40M C=NDBC,：.OM/BD,:MNLBD,J.OMLMN,过 O,是。的切线;C D 是OO的直径，：.ZCED=90Q,NDMC=90,即。M _ L 8 C,CE1AB,由(l)知：BD=CD=5,为 5c的中点，3V s i n=耳,.c o sDn=耳4,在 Rt ZXB M D 中，BM=BDcosB=4,:.BC=2BM=8,在 Rt ZXC E B 中，BE=BCcosB=背，：ED=BE-BD=学32-5=g74.已知N M尸 N
7、 的两边分别与OO相切于点/,B,OO的半径为八(1)如 图 1,点。在点力，8之间的优弧上，/M PN=80,求N ACB的度数；(2)如图2,点。在圆上运动，当尸。最大时，要使四边形/IP B C 为菱形，N 4PB的度第 5 页 共 1 0 页数应为多少？请说明理由；（3）若 PC交。于点。，求 第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含，的式子表示）.【解答】解：（1）如 图 1,连接0 4,0B,图1,：P A,尸 8为。的切线，Z P A O=ZPBO=9 0 ,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB36 0 ,./P 8+/O 8=1 8 0 ,；N/P B=8 0 ,A ZAO
8、B=lOO ,：.ZAC B50；(2)如图2,当乙4 P 8=60 时，四边形/P 8 C 是菱形,连接0 4,OB,由(1)可知，NZO 8+NNP B=1 8 0 ,V Z A P B=6 0,第6页 共1 0页A ZAOB=20,A ZACB=60Q=NAPB,.点C运动到PC距离最大，；.PC经过圆心，,：P A,尸8为。的切线，:.PA=PB,/APC=/BPC=30,又,：PC=PC,:.AP gXB PC (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,.N4PC=/4CP=30,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,.四边形/P8C是菱形；(3)丫 。的半径为，.
9、0/1r,0P2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=90-Z APO=60,.而的长度=r,，阴影部分的周长=弘+/7。+筋=g f+$=（V3+1+J）r.5.如图，玄 为。的切线，P8C为。的割线，4。，。产于点。，4DC的外接圆与5c的另一个交点为.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接。N,OB,OC,BD.：OA1.AP,AD LOP,第7页 共1 0页 由 射 影 定 理 可 得：PA2=PD*PO,AN=PDOD.（5分）又 由 切 割 线 定 理 可 得Pm=PBPC,:PBPC=PD/PO,:.D、B、C、。四 点 共 圆，（1 0分）A ZPDB=ZPCO=
10、ZOBC=AODC,/P B D=/C O D,.,.P S D A C O P,PD BD 八:.=,（1 5 分）CD OD:BDCD=PD，OD=AN,.BD AD布-C D,又 NBDA=/BDP+90。=NO O C+9 0 =ZADC,:.A B D A s 4ADC,：.NBAD=NACD,:A B是 ZQC的 外 接 圆 的 切 线，：.ZBAE=ZACB.6.如 图，点/为y轴 正 半 轴 上 一 点,4 8两 点 关 于x轴 对 称，过 点/任 作 直 线 交 抛 物 线y =|/于P,。两 点.(1)求 证：ZABP=ZABQ；(2)若 点”的 坐 标 为(0,1),且/
11、尸8。=60 ,试 求 所 有 满 足 条 件 的 直 线P。的函数解 析 式.第8页 共1 0页【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点”的坐标为（），），则点B的坐标为（0,-t）.设直线P。的函数解析式为了=履丑，并设尸，。的坐标分别为（X P,yP）,（XQ,yS）.由y=kx+ty=jx22 7得Q%，kx t=0,3 2于是久p%Q=2tf 即亡=-JXPXQ.BC yp+t|%p 2 +t|%p 2一|%p%Q|%p（Xp-XQ）X p于 是 右=2；-=2 7-2-=2 ：-7 =-HD YQ+C-%QZ+t 2XQZX p XQ XQ（XQ
12、-Xp）XQe I PC Xp“BC PC又因为一,所以一=,QD xQ BD QD因为N B C P=NBDQ=9 0 ,所以 4 3 0 0 6i Z A B P=Z A B Q；（2）解：设D Q=b,不妨设a 2 b 0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30 ,BC=V3a,B D=V3b,所以 Z C=百Q-2,AD=2-y3b.因为 P C Q。，所以 Z C P s/。.于 是 晟=务 即 圻所以 a +b =V3a 6.力 a 22-回 由（1）中%p%Q=,3 即一 a b =9，所以a b =，a +b =于是可求得Q=2b=6.第9页 共1 0页将 力=*代 入 y=/,得到点0的 坐 标（,二）.乙。2 2.再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y=-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y=-苧 x+1或y=x +l.第i o页 共i o页