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1、2021年高考数学压轴题预测1.(1)已知函数(x)=x3+a x2+x+l,“6 R,若函数/(x)在(仔，一基单调递减，求实数a的取值范围.(2)已知y=京 +以2 +的+2)X +3在区上不是单调函数，则6的取值范围.(3)已知函数/(x)=(x2+x)在 1,+8)上单调递增，则实数a的取值范围.(4)已知/(x)=a b i x+聂2(a o),若对任意两个不等的正实数不2,都有一,)/汽 一 2 2恒成立，则实数a的取值范围.【分析】(1),(2),(3)根据函数单调性与函数导数的关系，构建关于参数的不等式，使用分参法进行求解；(4)结合函数单调性的定义，构造函数进行求解.【解答】
2、解：根据函数单调性与函数导数的关系，可知，函数八x)在(-,，-1)单调递减，即得/(x)W0在(等 -1)上恒成立，:f(x)=x3+a x2+x+l=/(x)=3 x2+2 6f x+l,，3/+2 a x+l 兰品工在(/上恒成立,令 G(x)=茨，则有 G，(x)=-2 +宠=，令 G(x)=0=x=j；则有 G )0=x W(-孚，身 G(x)V 0=xE(-8,一字)i zV 3或 xG(，4-c o),3 (一|，_1)G(x)在(,一等 上单调递减，在(，当)上单调递增,：.G(x)在户一空时取得最小值，27-1-3z(xG74-J7-2-32 1可，)上有最大值为2,即得 2
3、,+8).(2)假设函数尸|x3+bx2+(b +2)x+3在R上是单调函数，则 有 户0在R上恒成第1页 共4页立，即y=x2+26x+6+2N0在 R 上恒成立，根据二次函数的性质可得，此时=4/-4 (2)W 0n-lW bW 2,故可得，若 函 数 尸 9 3 +*+的+2)%+3在口上不是单调函数，则 有 旄(-8,-1)U(2,+8)；(3)根据函数导数与函数单调性的关系，可知，若函数/(X)在 1,+8)上单调递增，则 有/(X)2 0 在 1,+8)上恒成立，即/(x)=2办+1 -(阮什1)=2ax-阮r。在 1,+)上恒成立，VxG l,+8),翌 在 1,+8)上恒成立，
4、令 G(x)=塔(xG h+8),则有 q2G(x)max,：G(x)则有 G，(x)=0=x=e,2xz.G(x)0=xG(0,e)；G1(x)xE(e,+),G(x)max=G(e)=舞=/,-X2+2X.,.a 即得 aC 潟，+).(4)根据题意，若对任意两个不等的正实数x i，m，都有八-)一 2)2恒成立,X i-x2则有/(x)2 2 在(0,+8)上恒成立，：f (x)=-+x,JX+X 2 2=4 2-x2+2x=-(X-1 )2+1 在(0,+8)上恒成立，X 4 2 1,即得正口，+8).【点评】本题主要考查恒成立问题的条件使用，同时考查学生计算能力，属于中档题.2.已知
5、函数/(x)=(-%2-ax)Inx-)c+2ax+1,xE(0+).(1)讨论函数y=/(x)的单调性；(2)若 a e,求证：f (x)e逅(Va-1)2.【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论”的范围，求出函数的单调区间即可；(2)令 g(x)f (x),得到 g(e )=仿-扁=生e送 0,设 0,根据函数的单调性得到a=xo/x o,求出/(x)的最小值，证明结论成立第2页 共4页即可.【解答】解：(1)f 3 的定义域是(0,+8),f(x)=(x-a)Inx-x+a(x-a)(Inx-1).当 a W O,令/(x)0,解得：x e,令/(x)0,解得：xe,故/(x)在(0,e
6、)递减，在(e,+8)递增，当 0 a 0,解得：xe 或 x a,令/(x)0,解得：ax e,令/(x)0,解得：或 x e,令/*(x)0.解得：exa,故/(x)在(0,e)递增，在(e,a)递减，在(a,+)递增，综上：当a W O,/(x)在(0,e)递减，在(e,+)递增，当0a e,f(x)在(0,e)递增，在(e,a)递减，在(a,+)递增；(2)证明：令g (x)=/(x),贝i g (x)=bix号,：ae,：.g(x)在(0,+8)上单调递增，g =1-0,设(p (x)-x,x 0,则(p (x)-1 0,(p(x)递增，.*.(p (V a)(p (0)=1 0,即
7、e G-V H 0,/.3 xo E (e,即),使得 g (xo)=0，GP a=xolnxo,且当 xE (0,xo)时，gr(x)V O，x6(xo，+8)时，g (x)0,：.f(x)在(0,xo)递减，在(xo,+8)递增，:f(x)加=/(xo)=(xo -a)CInxo-1)=(xo -xolnxo)(Inxo-1)=-xo(/n xo-l)2,设 h(x)=-x Unx-1)2,xE Ce,e布)，则 (x)=-Unx-1)2-2x Unx-1)一 =1 -/?2xh(e )=-e (V a -l)2,原命题成立.【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想考查第3页 共4页不等式的证明，考查转化思想，是难题.第4页 共4页