《2023年宁夏高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年宁夏高考文科数学压轴题总复习（附答案解析）.pdf（106页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年宁夏高考文科数学压轴题总复习设函数/(X)=。(X-1)，g(x)=(1+2/)mx2(其中，6R).(I)当。=2 时，求曲线y=/(x)在 点(3,/(3)处的切线方程；(I I)当。=1,机e g,1 时，求 函 数(x)=/(x)一 密 在 0,M 上的最大值忆第1页 共1 0 6页2.已知抛物线C：f=2 2 工(p 0),点 F 为抛物线的焦点，抛物线内部有一点E(1,1),且抛物线上任意一点P满 足 阳+陷 的 最 小 值 为 2,直线/：y=x+m与抛物线C 交于4B两点,0 4 8 的内切圆圆心恰是E(1,1).(I)求抛物线C 的方程：(II)求直线/的方程.第2
2、页 共1 0 6页3.已知函数/(x)x l nx (a+1)x2-x.(1)若a=l,求曲线y=/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程；(2)若对任意的xe.r,e 都有/(x)2-1,求实数a的取值范围.第3页 共106页4.已知函数f(x)=罂(。0).(1)当a=l时，证明：f(x)4号；(2)判断了(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.第4页 共106页x y5.设椭圆C：+2 =1 (a b 0)的左、右焦点分别为Fi (-c,0),F2(C,0),动点P(x,y)在椭圆。上运动，当尸尸1 尸 2 面积最大时，SAPF1F2=C2.(I )求椭圆C的离心率：(H )若 c=
3、l,延长尸Fi，尸乃分别交椭圆C于，B(A,8不重合)两点，设A、=A F；P,第5页 共106页2 2X v6.已知点P 为抛物线f=4y的焦点，过 F 且与x 轴平行的直线被椭圆r：/+力=14 /6 1 6 0）所截得的线段长为一二，椭圆的离心率6=亍3 乙（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点4 （点Z 在第一象限）作切线/,交椭圆于 8,C两点，/与x 轴的交点为。，8C的中点为E,8。的垂直平分线交1轴于点K,记K E D,力。的面积分别为S1,S2,其中。为坐标原点，吟=工，求点/的坐标.第6页 共106页7.已知无穷数列 斯 的首项为a i，其前八项和为S“且斯+1-a”
4、=d (6 N*),其中d为常数且d WO.(1)设。i=d=l,求数列 金 的通项公式，并求m(l-;)的值；n-o o Un(2)设 d=2,Si=-7,是否存在正整数上使得数列 中 的 项 或 成 立？若存在，求出满足条件人的所有值，若不存在，请说明理由；(3)求证：数列 ,中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数，且 加 分-1,使得第 7 页 共 1 0 6 页8.若对于数列 “中的任意两项可加a j（/；）,在 如 中 都 存 在 一 项 使 得。“尸 笑，aj则称数列 斯 为“X 数列”若对于数列 斯 中的任意一项劭（23）,在 斯 中都存在两项以，a l（%/）
5、,使得公尸里，则称数列 斯 为“丫数列al（1）若数列 斯 为首项为1 公差也为1 的等差数列，判断数列 斯 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列“”的前项和S=2 -1 （N*）,求证：数列%为“丫 数列”；（3）若数列“”为各项均为正数的递增数列，且既为“x数列”，又 为“y 数列”，求证:a,a z，4 3，。4 成等比数列.第8页 共106页9.已知函数/(x)=l n(x+1)-a x.(I )讨论/(x)的单调性；(H)当 a 0 时，求函数 g (x)=2 a2f(x -1 )-x2+2a3(x -1)在(1,e)内的零点个数.第9页 共1 0 6页10.已知函数 f(x
6、)=x Unx -a),g(x)=a x(x -1 )a 0.(I )当a取何值时，在函数g (x)的单调递增区间内函数/(x)也单调递增：(II)若函数尸(X)=/(X)-g(X)有两个极值点X I,X 2(X 1 X 2).求证：F(x i)F(X 2)b 0)的离心率为e,点(1,e)在椭圆E上，A (a,0),3B(0,b),三角形0/3 的面积为5.(1)求椭圆E的标准方程；(2)直线/交椭圆E于 M,N 两点，若直线OM 的斜率为心，直线ON 的斜率为2,且kik2=-1,证明三角形OWN 的面积是定值，并求此定值.第1 2页 共106页13.对于项数为z (?23,的有限数列%1
7、,记该数列前i 项。1，。2，/中的最大项为为G=l,2,加)，记沏=m o x a i,。2，所，该数列后z -z项。汁 1，。汁 2,，所 中的最小项M(i=L 2,，m -)9记芹=加的 防+i,a 汁 2,，而,d i=x i-y t(z=1,2,3,，m-1).(1)对于共有四项的数列：3,4,7,1,求出相应的力、心、由；(2)设 c 为常数，且。吐r 机 M+1=C (4=1,2,3,加)，求证：Xk=a k(%=1,2,3,，w)；(3)设实数入0,数列 a“满足a i =l,%=4 即_ 1 +耳(=2,3,，加)，若数列 如对应的小满足4+i 4 对任意的正整数i=l,2,
8、3,，加-2 恒成立，求实数入的取值范围.第 1 3 页 共 106页14.若有穷数列 x ：x i、12、X”满 足 芍 汁 3 x/0 （这 里 八 W N*,23,1 4W”-1,常数00）,则称有穷数列 曲 具有性质尸（/）.1Y!_ 1（I）已知有穷数列 X 具有性质P（f）（常数/1）,且归2-x“+|x 3-X 2|+|x”-初一归2,试求t的值；（2）设 0+1=2|&+什2|-|巾-2|（R G N*,23,常数 02）,判断有穷数列 所 是否具有性质P（L 2）,并说明理由：（3）若有穷数列U ：、”、则具有性质尸（1），其各项的和为20 0 0,将巾、”、加中的最大值记为
9、4当 4 6N*时，求/+的最小值.第 1 4 页 共 1 0 6 页1 5.已知函数/(x)=r4+|x3-e x2-mx l nx.(I )当 a=c=l,b=0时，f(x)在定义域上单调递增，求 a的取值范围；(II)当 4 =C =0,6=1 时，f(X)存在两个极值点X ,X 2 求证：X|+X 2 2.第 1 5 页 共 106页16.已知函数f(x)=x2-+萼，66R).(1)若 a b 0,证明/(a)/(/)；(2)若对任意x 6(0,+8),b&(-e,0),都有/(x)-e,求实数a的取值范围.第 1 6 页 共 106页17.椭圆C：荔+台=1（a b 0）的左、右焦
10、点分别为R,F i,F1A=2 F2A,椭圆的上顶点为 8,|J S|=V 10,e=芋.（I）求椭圆C的方程；（n）若过点力的直线/与椭圆相交于M N两点，盛 前=春 求直线/的方程.第1 7页 共106页/y2_18.已知椭圆：/+记=1（a b 0）的右焦点坐标为（2,0）,且长轴长为短轴长的近倍，直线/交椭圆于不同的两点M 和 N,（1）求椭圆的方程；（2）若直线/经过点尸（0,4）,且 O M N 的面积为2 近，求直线/的方程；（3）若直线/的方程为y=A x+f （�）,点 M 关于x轴的对称点为，直线MN,M1N分别与x轴相交于P、0两点，求证：|。尸 卜|。0|为定值.第
11、 1 8 页 共 1 0 6 页1 9.已知数列 斯 为等差数列，公差为力 前项和为S”.（1）若。1=0,d=2,求 S o o 的值;（2）若 幻=-1,斯 中恰有6项在区间弓，8）内，求”的取值范围;（3）若“1=1,$2=3,集合4=斯|7 1 e N*,问能否在集合力中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列 瓦,使得此新数列 与 满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（注：数 受a+b叫作数a和数分的调和平均数）.第 1 9 页 共 1 0 6 页2 0.已知数列 斯,瓦,其 中 m=2,bn-an=l 且 点(M斯+
12、1)在函数/(x)=x(x+2)的图象上,6N*.(I)证明：数列 值儿 是等比数列，并求数列 加 的通项；1 1(I I)记 T”为数列 m 的前“项积，S”为数列 Cn 的前W项和，金=6 二+瓦 后，试比较Sn与丁与T大小.IT，n第 20页 共 1 0 6 页2 1.已知函数(x)=x3-x2+a.(I)若 a=2 x,求曲线y=/(x)的斜率为2 的切线方程；(II)若 F(x)=|/(x)|在-3,3 上的最大值不超过2 0,求 a 的取值范围.第2 1页 共106页2 2.已知函数/(x)xe-2ax+2,g(x)alnx+2.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在x=0处的切线
13、方程；(2)设力(x)=/(x)-g(x),若/z(x)在(0,+8)上有2个零点，求实数。的取值范围.第2 2页 共1 0 6页2 3.已知为、尸 2分别为椭圆r：1+/=1 的左、右焦点，M 为 上的一点.(1)若点A/的坐标为(1,/n)(m 0),求的面积：(2)若点A/的坐标为(0,1 ),且直线耳*e R)与 交于两不同点4、8,求证:而 诂为定值，并求出该定值；(3)如图，设点用的坐标为(s,f),过坐标原点。作圆M：(%-5)2+Cy-/)2=d(其中 r 为定值，0厂 1,且|s|#r)的两条切线，分别交于点尸、Q,直线OP、O 0 的斜率分别记为依、依，如果法2为定值，试问
14、：是否存在锐角a使得2|OP|Q 0 =5 sec。？若存在，试求出。的一个值；若不存在，请说明理由.第2 3页 共106页2 4.已知椭圆C：苴+藏=l(a b 0),F为左焦点，过产的直线/交椭圆C 于 M,N 两点,当直线/过椭圆的上顶点时,/的斜率为鱼,当直线/垂直于x轴时,40 M N的面积为 丁,其中。为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线/的斜率大于近，求直线0 M 的斜率的取值范围.第 2 4 页 共 1 0 6 页2 5.已知数列 斯、协“的各项为正，且 如=18加，瓦 是公比为3 的等比数列.再从：数歹U 4 的前项和S满足4s=2+2”；数列 斯 是公差不为0
15、的等差数列，且。|+。2+。3=1 2,，。2,。4,成等比数列.这两个条件中任选一个，解答下列问题.(1)求数列 ,列”的通项公式;(2)令 Cn=COS/7TT,设 5 的前项和为 与.若(-1)”(入+”)7 对 6N*恒成立，求实数人的取值范围.第2 5页 共106页26.设/(x)是偶函数，当时，/(x)=$讥(m)，0 x l(1)当。=2 时，方程/(x)=机有4 个不同的根，求加的取值范围；(2)若方程/G)=”有 4 个不同的根，且这4 个根成等差数列，试探求a 与机满足的条件.第2 6页 共106页2 7.已知函数/(x)ax2-Inx,aeR.(I)若/(x)2 0,求a
16、的取值范围；(II)令g(x)=岑2若y=g(x)的图象与直线y=a相切，求a的值.第2 7页 共106页2 8.已知函数/(、)=ea xc osx+a.(I )当a=l 时，讨论函数/G)的单调性；(I I )设若V x O,5，恒有a (/(x)-a)b x+f(x)成立，求 b的取值范围(注：(*)=。/).第 2 8 页 共 106页x y 7 2.2 9.已知椭圆C：+-y =1 (a b 0)的离心率是二，A,5分别为其右顶点和上顶点，a b 2 0/8的 面 积 为(。是坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)若点E(V 3,0),M,N是椭圆C上两动点(，N非顶点)，且 京
17、扇=一1,试判断直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.第2 9页 共106页/y23 0.设椭圆C i：/+言=l（a b 0）的左顶点/在抛物线C 2：/=8 x的准线上，尸是椭圆C i的右焦点，且椭圆。的焦距为2,过点F且斜率不为0的直线/与椭圆。交于。,E两 点,直线/。和N E分别与直线x=4交于点M,N.（1）求椭圆C i的方程；（2）平是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.第3 0页 共106页31.设数列 斯 的前项和S=2,e N*.(1)求数列 a“的通项公式；1 1 1 1 1(2)若存在 6 N*,使不等式-+-+-+
18、-(7 2+2 a 3 a 2 a 3 a 4 a 3 a 4a 5 anan+lan+2 4/入成立，求实数人的最大值.第 31页 共 1 0 6 页3 2.已知 斯 为公差不为0的等差数列，5是等比数列 瓦 的前项和，若2是m和4的等比中项,m=b l=6,历=。3(1 )求 4 及 S”；n(2)证明：-2 0),求方程 f (x)=g(x)的根的个数.第3 3页 共1 0 6页3 4.已知函数/(x)=2-x/x-(a-1)x+a.(1)若XI，X2是/(x)的两个极值点，求”的取值范围；(H)在(I )的条件下，若?/(x i)4/(x2)恒成立，求实数用的取值范围.第 3 4 页
19、共 1 0 6 页Y3 5.已知圆C；2 与V2=l（a b 0）的离心率为三V 3，且经过点（0,1）.（1）求椭圆C的方程；（2）直线夕=f cr+/n与椭圆C交于4,8两点.求|明（用实数左，机表示）；。为坐标原点，若O4 OB=0,且 暗=彳，求 0/8的面积.I C/1 1 乙第 3 5 页 共 1 0 6 页3 6.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为2(7 2-1),且椭圆的离心率为当.(1)求椭圆C 的方程；(2)过 点(1,0)作直线/交C 于 P、。两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点使 诂 丽 为 定 值？若存在
20、，求出这个定点”的坐标；若不存在，请说明理由.第 3 6 页 共 1 0 6 页3 7.对于实数数列 a,记?”=血士笔二士巨(1 )右 I =1,M2=2,阳3=4,?4=8,写出 Q,Q2，3，。4 的值；(II)若数列 斯 是等差数列，求证：对任意三元数组3 j，k)3 j,攵两两不相等)，总 有(，-/)恤+(j -k)nt i+Ck-z)mj=O；(III)若对任意三元数组(z,j,攵)(3 J,%两两不相等)，存在常数c,使 得G-j)mk+(j -k)力+(k-i)m j=c,求证：斯 是等差数列.第 3 7 页 共 106页3 8.设 6 N,且“2 3.对1,2,的一个排列方
21、2%，如果当st时,有 isit,则称（i s，it）是排列万2%的一个逆序，排列川2%的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列2 3 1,只有两个逆序（2,1）,（3,1）,则排列2 3 1的逆序数为2.记（k）为1,2,，的的所有排列中逆序数为的全部排列的个数.（1）求 力（2）的值；（2）判断力（2）与6+1 （2）的大小，并说明理由；（3）求 方（2）（4）的表达式（用”表示）.第3 8页 共106页3 9.设函数/(x)=a (x -1)，g (x)=(l+2 2)mx2(其中机e R).(I )当a=2时，求曲线y=/(x)在 点(3,/(3)处的切线方程；(I
22、 I )当a=l,nie(g,1 时，求函数(x)=f(x)一务第在 0,“上 的最 大 值%第3 9页 共106页4 0.设函数/(x)=(1 -a x)In(x+1)-h x,其中。是实数.(I )若b=l,证明：曲线y=/(x)恒与x轴相切于坐标原点:(I I )当a-1时，讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性;(I I I)证明：历2+竽+粤+吗 尸)得.第 4 0 页 共 1 0 6 页x4 1.已知椭圆C：万+/=1 的右焦点为尸，直线/：x=2被称作为椭圆C的一条准线，点尸在椭圆C上（异于椭圆左、右顶点），过点尸作直线机：与椭圆C相切，且与直线/相交于点。.（1）求证：P F
23、L Q F-,（2）若点P在 x轴的上方，当 P Q 斤的面积最小时，求直线机的斜率上的平方.第 4 1 页 共 1 0 6 页4 2.已知圆C：x 2+f=4,点尸为圆C上的动点，过点尸作x轴的垂线，垂足为0,设。为尸0的中点，且。的轨迹为曲线(1)求曲线E的方程；(2)不过原点的直线/与曲线E交于、N两点，已知。河，直线/,ON的斜率&i，k,心成等比数列，记以。M,ON为直径的圆的面积分别为S,S 2,试探就S i+S是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.第 4 2 页 共 1 0 6 页4 3.已知数列 斯 的前项和为%,设%=符(1)若 =2 n+1,记数列 6 的前项和为7
24、”.求证：数列他 为等差数列：若不等式7”+3对任意的 C N*都成立，求实数人的最小值；(2)若 7 0,且 S +1 2 2 a+1,是否存在正整数，使得无穷数列尿hi，b k+2,b k+3，成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列 斯 的一个通项公式；若不存在，请说明理由.第4 3页 共106页4 4.已知数列 ”是无穷数列，其前项和为S,.若对任意的正整数机22,存在正整数4,I(I W k W l)使得Sm=a k+a i,则称数列 斯 是“S数列”.(I )若=2(=1,2,)，判断数列 斯 是否是“S数列”，并说明理由;(I I)设无穷数列 金 的前”项和5n =q n(n =
25、l,2,)，且 42,证明数列“”不是“S数 列 ；(I I I)证明：对任意的无穷等差数列 念,存 在 两 个“S数列 d 和 C n ,使得Z=加-C n (=1,2，)成立.第 4 4 页 共 1 0 6 页4 5.已知函数/(x)=-a x2+a.(1)当。=2 时，求曲线y=f(x)在 x=l 处的切线方程；(2)若对任意x e l,有/)W 0恒成立，求实数。的取值范围.第 4 5 页 共 1 0 6 页4 6.已知函数/(x)mx-x2-Inx(m G R).(1)若函数/(x)的图象在点(1,/(1)处的切线与直线x=l垂直，求/(X)的极值;(2)若方程/(%)=-2?-6+
26、(x -1)历 在(1,6)内有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.第4 6页 共106页/y 24 7.己知椭圆C：/+$=l（Q b O）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于遍兀，直线/与椭圆C交 于/（X I，y i）,B（X 2,然）两点，其中直线/不过原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线0 4,I,08的斜率分别为心，A,ki,其中4 0且 F=A而.求心勿8 最大值时直线/的方程.第 4 7 页 共 1 0 6 页48.我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦.已知椭圆前+台=l（a b 0）的正焦弦长为1,且点（
27、1,电）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）经过点P（T，一卷）作一直线交椭圆于2 8 两点如果点P 为线段Z 8 的中点，求直线AB的斜率；（3）若 直 线/与（2）中 的 直 线 平 行，且与椭圆交于M,N 两点，试求MCW（。为坐标原点）面积的最大值.第 4 8 页 共 1 0 6 页4 9.己知函数/(x)=l n(1+x)+a x e x.(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在 点(0,/(O)处的切线方程；(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求a的取值范围.第4 9页 共1 0 6页5 0.据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现
28、了超过50%的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值A，并分成以下5 组：50,60）,60,70）,-90,100,其统计结果及产品等级划分如表所示：质量指标值k 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100产品等级A级B级C 级D级废品频数16030()40010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布
29、表可认为，该包装胶带的质量指标值人近似地服从正态分布N（p,。2）,其中U近似为样本平均数短。近似为样本的标准差s,并已求得s lO.0 3.记 X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值左在区间（50.54,80.63之外的包装胶带个数，求 产（X=l）及 X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润 （单位：元）的关系如表所示：（士（1,4）质量指标值k 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100利润5/3/2tt-5el假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万 元（含引进生产线、兴建厂房等
30、等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量Z N(“，a2),则 尸(p-。ZW u+。)=0.6827,(p-2。ZH+2O)=0.9545,尸卬-3。VZW“+3。)=0.9973,0.818629=0.0030,/13七2.6.第5 0页 共1 0 6页2023年宁夏高考文科数学压轴题总复习参考答案与试题解析1 .设函数/(x)=a(X-1)才，g(x)=(1+2/)mx2(其中(I )当。=2时，求曲线y=f(x)在 点(3,/(3)处的切线方程；(I I )当a=l,me g,1 时，求函数(x)=/(x)-密 在 0,加
31、上的最大值取解：(I )当 a=2 时，f(x)=2 (x -1)，：.f(x)=2*+(2A-2)e =2x y，f(3)=6 e 3,又/(3)=4 e 3,二曲线y=/(x)在 点(3,/(3)处的切线方程为y-4 e 3=6 e 3 (x-3),即 6eix -y -14 e3=0；(I l )当 a 1 时，h(x)f(x)-=(%l)ex mx2,h1(x)=，+(x -1)-2 mx=x ex-2 mx=x(c -2 m),令 h (x)=0,得x i=0,x z=l n(2 m),令 G(z)=l n(2加)-m,贝!J G(加)=-1=0,：.G(加)在(万，1上单调递增，：
32、.G(w)WG(1)=l n2-l=l n2-l ne0,从而 In(2 m)加，则 In(2加)6 (0,加)，当 (0,In(2 m)时:h (x)0,:.W=ma x h(0),h(阳)=ma x -1,(L 1)d -m3,令(m)=(m-1)1,贝！J (?)=m(e -3”)，令 p (M =em-3 m,则c p(加)=d -3e-3 V 0,，函数 p (M 在(g,1上单调递减，1Q而(p (-)(p (1)=(V-7)(e-3)0；当加E(x o，1)时，(p (w)0,H(1)=0,1:H(加)2 0 在(5,1 上恒成立，当且仅当m=l时取等号，即(加 1)一-尸 -i
33、.综上，函数(x)=/(x)密 在 0，M 上的最大值=(/M -1)e-m3.2.已知抛物线C：(p 0),点 F 为抛物线的焦点，抛物线内部有一点E(1,1),且抛物线上任意一点P满足|P/=1+|P E|的最小值为2,直线/：y=%+?与抛物线C 交于4B 两 点,0/8 的内切圆圆心恰是 (1,1).(I )求抛物线C 的方程；(II)求直线/的方程.解：(I )由点在抛物线内部，可 得 阀+阳 1 +5=2,故p=2,所以抛物线的方程为r=4.1(II)直线/的方程为尸=可%+2,即-3 y+3?=0,设4OAB的内切圆的半径为r,直线。4,0 8的方程为=左1 次，y=k2 X,即
34、 y-ix=0,y -k2 x=0,因为直线0 4与圆E 相切，所 以 平 事=k/+l整 理(1 -r2)Ai2-2%i+l -/2=0,同理可得(1 -r2)f o2-2k 2+1 a=0,所以依，依为方程(1-r2)乒-2什1 -7=0 的不同实数根,所以rr*1=4-4(l-r2)2 02七+心=匚懑M 卜 2=1设力设1,y),B 设2,y i)f则 而=U.翁=瑞=1 即 小 2=川 2由f _ 1,y-3x+m,消去 x 得炉 _ 12八 12?=0,y2=4 x第 5 2 页 共 1 0 6 页(，二 1 4 4-4 8 m 0所以 Jy i+y2=1 2，(y/z =127
35、n所以?r，e 都有/(x)2-1,所以/(1)=-1 (a+l)-1)-1,所以-1.下 面 证 明 当 时，对任意的在-1,e 时，都有/(x)-1.易得/(x)=l nx -(a+l)x,若 a+l W-e,即 aW-e-1,当 xq/L e 时，(x)=l nx-(a+l)x 20,所以/(x)在 e l 句上递增，所以当 x E e 9 e 时,f(x)2/(e *)=(。+1)e 2-e!x -1,满足题意，故 QW-e -1 ；若-e Va+1 0,即-e -1 a&-1,设%(x)Inx -(+1)x (x G e e )则易得(x)=l nx-31)x 在(x G e-1,e
36、 递增，又 =-(a+1)20,h(e-1)=-1 -(a+1)e10,所以/z (x)=l nx -(a+1)x在 e I 1 上存在零点，设为x o,第5 3页 共1 0 6页则历%o -(a+1)x o=O,所以/(元)在 e l,x o)递减，在(x o,e 递增,11所以当 1,e 时，f(x)2/(x o)=x o历%0-,(a+1)x o 2-刈=加 工。-3,设 g(x)=c l nx -x Cx E e*,1),则 g，(x)=Inx 0).(1)当 0=1 时，证明：/(X)：(2)判断/(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由.解：(1)函数/(x)的定义域是(0,+8
37、),证明：当4=1时，/(X)=铝，欲证于(K)2 1_ _ Inx x-1即证7 F-，x+1 2BP il E 2 Inx -f+l WO.令 h(x)=2 l nx -x2+1,则/(x)=|-2x=12色泮+2当x变化时,/?(x),h(x)变化情况如下表:X(0,1)1(1,+8)K(X)+0-h(x)/极大值所以函数/?(x)的最大值为 (1)=0,故(x)W0.所以/(x)0.且g(e-i)=-0/+1+品+1-(即一1)0,从而/(x)0,所以函数/(x)在(0,憎)上单调递增；当 x 6 (m，+8)时，g(x)0,从而/(x)6 0)的左、右焦点分别为F l(-C，0),F
38、2(C,0),动点P(x,y)在椭圆。上运动，当尸尸1尸2面积最大时，S A P F 1 F 2=C2.(I )求椭圆C的离心率；(I I )若c=l,延长尸F i，P F 2分别交椭圆C于/,B(A,8不重合)两点，设 嘉1 =入&,BF2 求 入+u的最小值.解：(1)由题意当尸乃尸2面积最大时，P为椭圆短轴的端点,所以s A P F F 2=下 画 坨=庆=2所以可得6=。，所以 b1=c1=a1-c2,可得 a2=2 c2,则 a=V2 c,所以椭圆的离心率e=5=母=乌：a V2 c 2(I I)由题意得，点P不在x轴,第 5 5 页 共 1 0 6 页不妨设点尸(m,)(W0),A
39、(x i,“)，(工 2，”)，F (-1,0),F i(1,0),由4%=XF、P,得(-1 -x i,-y i)=入(zw+1,n),x i =-痴-入-1,y i =-筋，又 由（I ）及 c=l 知椭圆。的方程为：万+V=1（l m+A 4-l）2 1 八-+）2=1,2又-+2=1,联 立 可 得（3+2 加）入 2+（2/H+2）入-1,即（3+2 加）入-1 卜（1+A）=0,由题意知人0,入+1#0,所以入=13+2 m)同 理 可 得 产 凸 记（R0）,所以入+|1=2；+?=Q 4 234-zm 3zm 94mz2故当加=0,入+p 取到最小值了/v26.已知点F为抛物线
40、f=4y的焦点，过尸且与x轴平行的直线被椭圆：君+言=1（。b 0）所截得的线段长为一7 ,椭圆r的离心率e=4.3乙（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点/（点/在第一象限）作切线/,交椭圆于 8,C两点，/与 X轴的交点为。，8 C的中点为E,BC的垂直平分线交X轴于点K,记K ,Z。的面积分别为S i,S2,其中。为坐标原点，碍=|，求点/的坐标.解：（1）由抛物线的方程抛物线 2=令可得焦点尸（0,1）,x2 v2 4 /6过户且与x轴平行的直线被椭圆：葭+%=1（4 心 0）所截得的线段长为 亍，2 V6 8 1 -所 以 点（工一，1）在椭圆上，所以宏 +记=1,又因为椭圆的
41、离心率e 而 e.=4,而 a2=b2-c2(3)9第5 6页 共1 0 6页由可得：=4,必=3,工2 y2所以椭圆的标准方程：丁+=1;4 3（2）设 4 （x o，（x o O）,则 切 线/的 方 程 为 尸 第 一牛,p o令y =0,则 X D=争，则 52=2 2 2 4 1 6设 8（x i,y）,C（X 2 y i）联立可得（V-y.2y =-x v-2 2 4 ,整理可得:E+i 一 ir4（3+x o2）x2-x o3x+1 2=0,（*）3+比2X1X2=%04-4 84（3+的2），所以 X l+冷 _ 汽3 XQ/3/2所以犯_ 2 _2（3+勺）2 2 犯 4 -
42、4（3+比2），所 以 直 线 性 的 方 程 一Q+y_避2 而=一7 茅 一y盘-3司即 产 一 亲+高两令的藤百C,_ n i x i v r l _ 1 x r x 3 l x 3x2 _ 9 比3（4+沏2）S i-2K D XyE-2x 2 8（3+&2 产 4（3+近2）-64（3+勺2）2,h h-以-S-i=-9-X-O-3-（-4-+-X-O-2）-x -1-6-=-9-（-4-+-X-02-）-=-1-8-S?64（3+3 2）2&3 4（3+和2）2 4 9化简，整理可得（刈2-4）（8XO2+31）=0,所以x o=2 （x o=-2舍去），当 3=2 时，方 程（*
43、）为 7 7-8 x-8=0,此时=（-8）2 -4 X 7 X （-8）0,满足题意，所以点4的 坐 标（2,1）.7.已知无穷数列 斯 的首项为m,其前项和为S?,且即+i-即=d （W N*）,其中d为常数且d#0.（1）设 a i=d=l,求数列 斯 的通项公式，并求根（1 一 ）的值；n-o o U n（2）设 d=2,S7=-7,是否存在正整数使得数列 中的项HSkV&成立？若存在，求出满足条件A的所有值，若不存在，请说明理由；（3）求证：数列 斯 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且加-1,使得4 1=3/.解：（1 ）由处=1 得数列&是 以 1 为首项1
44、 为公差的等差数列,第5 7页 共106页1故斯=，6N*,/im(l-)=Z im(l )=1；n-*c o CL n n-o o M(2)因为%?是等差数列，S7=7d 4=-7,解得4=-1，又因为 d=2,所以 a i=-7,故 S n-n2+(at-)n -n2-8 n,所以,=n3-8 n2,N*,则料 k=k3-8 k2=k2(k-8)V 2,当 k=l,2,3,4,5,6,7,8 时，kS k 0 j),在%中都存在一项a,“，使得a,”=竽，aJ则称数列%为“X数列”若对于数列 斯 中的任意一项“(3),在 斯 中都存在两项 a*,a i(*/),使 得 即=竽，则称数列 斯
45、 为“丫数列”.(1)若数列“为首项为1 公差也为1 的等差数列，判断数列 “是否为“X数列”，并说明理由；(2)若数列 ”的前项和S“=2 -1 (N*),求证：数列 斯 为“丫数列”；(3)若数列“”为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又 为“丫 数列”，求证:a f 4 2，3，。4 成等比数列.第 5 8 页 共 106页解：(1)数列 ”的通项公式为：a,n,。2=2,。3=3,a?2 9 .工=7；不是整数，故不是数列 利 的项，0-2 2故数列 板 不 是 X 数列”；(2)数列 外 的前项和 S“=2 -1 (6N*),故 a=2 r,当 N23 时，取 l=m-2,则
46、 尤=2 2 Z/r=2 r=a,“故数列伍“是“丫数列”，四(3)证明：记 g=，而数列 斯 为各项均为正数的递增数列，al故夕1且当人/时，1,四若 kl9 an=4-=Xa ka ka h 则”k1,al al2 .数列 a“为 X 数列”，故存在且。3=等，aj由知：故 i=2,J=l,n2即的=言=N 2,即 Ql，Q2，。3 成等比数列，2 数列 利 是“X数列”，存在正整数匕/(%/),使得4 4=受，al2由得：4 k l,故 3 2%/,从而4=4-=1 产 1 1,记4=2 攵-/-1 6N*,al 数列 a.是“丫 数列”，存在正整数，使得。尸 字=qX a 3 =a i
47、/,a2由夕1,得若 a 4=a qn4 V a i/,再由 3=1 2。1 q3 =即,则 4 3 V 4?0 时，求函数 g(x)=2 a2f(x-1)-x2+2 a3(x -1)在(1,e)内的零点个数.解：(I)由题可知函数的定义域为(-1,+8),/(x)=击 一。，所以当aWO时，f(x)0恒成立，函数/(x)在(-1,+8)上单调递增；第5 9页 共1 0 6页当a 0时，令，(x)0得x V工一1,函数/(x)在(-1,-1)上单调递增；aai _ 1令，(x)V0得4 工一1,函数/(%)在(,一1，+8)上单调递减.(I I )由题意得 g(x)=2 a1l nx -x2,
48、贝U g (x)=竽2 x=2(a+?(a r)(x0(”(),所以当 OVXVQ 时，g (x)0；当 时，g (x)遥时，g (1)0,g (e)=2 a2-2,若g (e)2 0,即竽e,g(x)在(1,e)内只有1个零点；若g (e)0.(I )当取何值时，在函数g (x)的单调递增区间内函数/(x)也单调递增；(I I )若函数 F (x)=/(x)-g(X)有两个极值点 X”X 2(X 1 X 2).求证：F(X I)F(X2)0时，函数g (x)的图象开口向上，对称轴为x=51故此时函数g(X)的单调递增区间为(5,+8),由题意得，(x)=l nx -a+x-=l nx -a+
49、(x 0),令/(x)0,得 Inx a -1,即 x /r,所以函数/(x)的单调递增区间为(炭一1,+8),第6 0页 共1 0 6页1 1要使题意成立，则必有e 2,所以的取值范围为(0,1 -历2 .(II)因为 F(x)=f(x)-g(x)=x Unx-a)-a x (x -1)=xlnx-ax2(x 0),_ 1所以尸(x)=lnx+x*2ax=lnx+-lax,x由题意知，x,X 2 是方程历x+1 -2 a x=0,即 2 a=包手已的两个根，令p (x)=(x 0),则p (x)当xl时，p (x)0,函数p (x)单调递增，又因为p (一)=0,所以当(0,一)时，p (x
50、)0,e又因为 p (1)=1,所以 0 L因为尸(制)=xlnx-ax=x Unx-ax)=x(a x i -1),且易知 a x i V a V l,所以 x i (a x i -1)0,即 F(x i)0,则(x)=,当x l,时，hf(x)0,所以函数力(x)单调递增，故 h(X2)=$2(Inxi-1)h(1)=去B P F(X2)=X2(lnX2-1)p -(X2)V4,所以尸(XI)-F(X2)b 0）的离心率为e,点（1,e）在椭圆E上，A（a,0）,3B（0,b）,三角形。/8的面积为5.（1）求椭圆E的标准方程；（2）直线/交椭圆E于 M,N 两点，若直线。河 的斜率为1,