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1、2021年高考数学压轴题预测1.已知函数f (x)=e2 x,g(x)m(2x+1)(加 0)(e 为自然对数的底数)，h(x)=f(x)-g(x).(I)若 m=e,求函数(x)的单调区间；(II)若 (x)21-m 恒成立，求实数m 的值；(III)若直线y=g(x)是曲线f (x)=e2 r的一条切线.求证：对任意实数。儿 都有【考点】利用导数研究函数的最值.【分析】(I)代入?的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(I I)问题转化为 72xWe2“-1,通过讨论x 的范围，分类参数加,结合函数的单调性求出m 的值即可；(III)求出力(x)的解析式，问题
2、转化为证6 1式2 令-6 0,即证1 2 2 3，0,令 平(力=e2 r-1-2/(r 0),求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.【解答】解：(I)%=e 时，g(x)=e(2x+l),xGR,由题意得：h(x)=f(x)-g(x)=e2x-e(2x+l),xGR,:.h(x)=2e2x-2e=2e(e2x 1-1),1 1：.h(X)的 递 减 区 间 是(-8,-)，递增区间是(一，+8)；2 2(II)若(x)2 1 -机恒成立，则 加ZxWe2-1,x=0 时，显然成立，x 0 时，问 题 转 化 为 2 M在(0,+8)恒成立，令 k(r)=午(/0),则/=t r令，(x
3、)=0,解得：x=x,h(x),h(x)的变化如下：X1(-8,一)2121(-,+8)2hr(x)-04-h(x)递减极小值递增第1页 共4页令 P=(r-1)d+1,则 p(r)=rd0,在(0,+)递增,故(r)p(0)=0,故/(f)0,k(/)在(0,+8)递增，pt_i而zn =limet=1,故 mW 1,t-o t t-oQ2X_IxVO 时，问 题 转 化 为 次 在(-8,0)恒成立,同理可得6 21,综上：7/7=1；(I I I)证明：直线y=g(x)是曲线/(x)的一条切线，设切点是(x o,川),/(x)=2e2x9.(2e2x=2m*le2x=m(2x0+1)解得
4、：言 二:故 h(x)=ex-2x-1,一 九(a)一 九(匕)?h要 证 一 2e2b-2,a-b即证,0一2。一】一(四一2-1)咨也2,a-be2a_e2b即证-2eu,ab,a-b即证_ 2 Ca-b),令 f=a-b 0,即证 e?-1223 f0,令 年(/)=e2/-1 -2t(f 0),0,故(P (f)在(0,+8)单调递增，.(p(0)=0,即 e2-1 -2f0,即证得M a)2e2b-2.a-b2.已知函数/(x)=(2/-3x)/,g(x)=a ln x,其中We.(1)求曲线y=f(x)在 点(1,/(1)处的切线方程；(2)求/(x)的最小值；(3)记/(x)为f
5、 (x)的导函数，设函数做 乃=白 善一 g(x)的图象与x 轴有且仅有一个公共点，求 a 的取值范围.【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数，计算/(I),/(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小第2页 共4页值即可；(3)求 出 h(x)的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求 出 h(x)的最小值，从而确定的取值范围.【解答】解：(1)易知函数f G)的定义域为R,且/(x)=(2x+3)(x-1)F,所以/(1)=0,因为/(1)-e,所 以 曲 线(x
6、)在 点(1,/(1)处的切线方程为)，=-e.(2)由(1)得1(%)=2(x+)(%l)e ,令f (x)=0,得x=所以，当#6(8,时，/(X)0,函数/(x)单调递增，当 G (-1 ,1)时，f (x)0,函数/(X)单调递增，所以X=1是/(X)的极小值点；3-2尸又当 XV0 时，f (x)0,当0 3 时，f (x)0,所以/(x)只能在(0,方)内取得最小值，因为X=1是f (x)在(0,|)内的极小值点，也是最小值点，所以 f(X)m in=f(1)=-e.(3)由(1)及题意，得 h(x)(x-1)-alnx,x0,因为/?(1)=0 且曲线y=/z(x)与 x 轴有且
7、仅有一个公共点，所以函数(x)有且仅有1 个零点，且这个零点为1,口 i，/、x a x2 _ an.h(x)=xex-=-；当aWO时，h(x)0,函数/z(x)在(0,+)上 单 调 递 增，且 人(1)=0,所以符合函数/?(x)有且仅有1个零点，且这个零点为1；当 0a0),m(x)2xex+x1e)c(S+2x)d 0,所 以 在(0,+8)上，函数 i(x)单调递增，因为(0)=-a0,所以IroC(0,1),使得，*(xo)=0,即就6*。=a,所 以 在(0,xo)w (x)0,即(x)0,第3页 共4页因为0 “0,所以在(刈，+8)上 加(x)0,即(x)0,所以万(x)单调递增，所以=%(0)=(x0-l)ex -xlex lnx0-就。(仇犯+3一；)，x0 01 1令t(x)=Inx+2 -(0 x r(1)=0,1 1所以+不 而 0,即(x o)0,所以h(%)=x e*(=-令(x)-e,(x 0),所以(x)=2xex+x2,ex=(/+2 x)/0,所 以 在(0,+8)上，n(x)单调递增，因为(1)=e-e=0,故 在(0,1)上(x)0,即 K(%)0,即h(x)0,所以在区间(1,+8)上 (%)单调递增，所以。(X)min=h(1)=0,符合题意，故所求a的取值范围是。|0 U e .第 4 页 共 4 页