2012年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一.pdf

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1、2012年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1.（1 2 分）已知抛物线、椭 圆 和 双 曲 线 都 经 过 点 2）,它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（I ）求这三条曲线的方程；（I I）已知动直线/过点尸（3,0）,交 抛 物 线 于 两 点，是否存在垂直于x 轴的直线/被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）设抛物线方程为V=2 p x（p 0）,将 M（L 2）代入方程得p =2抛物线方程为：y2=4 x（1 分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-l,0、，E（l,0）,c=l.（2

2、分）对于椭圆，2a=MF,+MF2=5/(1 +1/+22+4=2 +2 7 2a =l +2a2=+V2 j=3 +2/2b2=a2-c2=2+2y/2（4分）椭圆方程为:3 +2 行+2 +20对于双曲线，2 优=阿|一|引=2 忘-2a=5/2 1才=3-20b2=c 2-a2=2 4 2-2（6分）双曲线方程为:3-2 收 2 7 2-2（H）设AP的中点为C,/的方程为：x=a,以AP为直径的圆交/于。,E两点，D E 中点、为H令力C(型,5).(7 分)-1 冈=%尸|=*(%-3)，城”|=如 一 2 )+3|。，=|DC _|明2 =；（x/3）2 +犬 卜;（x/2 a）+

3、3=（-2）X j-a2+3a当。=2时加二 4+6=2为定值；.（12分）|。同=2|OH|=2陵为定值此时/的方程为：x=22.（14分）已知正项数列 6 中，q=6,点A“（a”,向J在抛物线y=x +l上；数列出 中，点四,（也）在过点（0），以方向向量为（1,2）的直线上.（J）求数列 6,a 的通项公式;(I I)若“，?)=1（III）对任意正整数 ，不等式7、/、/4 0成立,求正数。的取值范围.，+可1+1）+1 -2 +qI b j b2）b）解：（I）将 点（a“向）代入y?=x+1中得a”+i=M+l 生 川-a“=d=lan=a,+(n-1)-1 =n+5.(4 分)

4、直线:y=2x+l,bn=2n+(II)/(n)=-n+5,2+1,（n为奇数）（n为偶数）.（5分）当改为偶数时，k+27为 奇 数,/（%+27）=4/&+27+5=4（2k+l）,k=4当k为奇数时，k+27为偶数，.（8分）2（%+27）+1 =4（%+5）,忆=奇（舍去）综上，存在唯一的&=4符合条件。n+1n(III)由 7、(、/,/(n),即/()递增,”)=1)斗立好 m m,1 加 3 15八 /加0 a 0),3 6 2由y=-x (x 0)x2+4y2=4解得Vx _空3二点E的坐标为（迪，）,76 3 3y=+3OE=20N.综上，OE=20N的充要条件是I ABI=

5、3.(12 分)4.（本小题满分14分）已知函数f（x）=一（xwR）.4X+2（1）试证函数f（x）的图象关于点（；，；）对称；(2)若数列 aj的通项公式为a 0=f(一)(m c N+，n=l,2,m),求数列 a 0 的前m项和S/m设数列 b j满足：3=b z=b：+b 0.设工，=占+占+白，3b,+1 b2+l bn+1若(2)中的S”满足对任意不小于2 的正整数n,Sn -所以，点 P的坐标为P(l x0,-y0).(2分)由点P o(x0,y0)在函数f(x)的图象上，得 y o n-14 0+24xo+2-4 +2 4。-2(4 +2)1/-y4X2 4*。+2 2(4X

6、0 +2).点P(l x0,g y。)在函数f(x)的图象上.函数f(x)的图象关于点(g,；)对称.(4分)1 1I k k 1由可知，f(x)+f(l-x)=一,所以f()+f(l )=-(l k 0.由、，得一b111 1n+1bn(b,.+D bn bn+l，即11 1bn n+1 bnn bnn+1,.ET =(,-1-1-)、+(,-1 -1)、+(,-1 -1-)、=-1 -1-=3c b,b2 b2 b3 bn bn+l b,bn+1 b1(1 0 分)n+lV b e -b0 =b：0,bn+1 bn,二数列 bn 是单调递增数列.!；关于 n 递增.当 n N 2,且 n

7、e N.时，T 1,T2.+i)，,b T+i)=竺1 3 1 2 3 3 9 3 9 9 8 116.（1 4分）已知数列 4中，4=2,当“N 2时，其前项和S,满 足 为=上 一32S“一 1（2）求S“的表达式及l i m驾 的值;（3）求数列%的通项公式;1 7 5/.Tn T2=3-=.(1 2 分)2 b,5 275|75 OTQ ASm 0)t an ZEPF =t an(NEPM-N F P M)3 /2 夜、八3近乂近、2万 2灰=(-)+(1 +-)=-=-r NEPF=3 0 3(4)设=-1 =,=,求证：当 G N 且 2 2 时，a 2)所以m是等差数列.则s.i

8、2n+1rh m anr =vl i m-2-=-2-=一20.f8 S；T 0 2Sn-1 2 l i m Sn-1n f oo(2)当 2 2 时,=3 Ft12n+1 _ -22一1 -4 2一1综上,an =杷=1)高(3)令 a =1 一,b /,当 22 时，有 0 b-,12/1-1 2/7 +1 J(2+l)3当 2 2 时，0 0,则x）在（0,专 递增.又0 1J2n+1J2 1 一 V 3所以g(而)(而 二)即yj 2 +1 J 2 -1法(2)an-bn=-(I=/-)=b2 a2(by-3)2n +l 2n-l J(2.+l)3 4 2 1丫=(a-hXa2+b+a

9、b-a-h)(2)二 (划,+日)+(/+”划 =(Q _ b)Q(Q +g _ i)+bS+尸)(3)因人+-l a +2 1卫 1斗1 =9 1 0,所以。5+一口+/人+处1)。2 2 2 2 G 2 2 2由(1)(3)(4)知a“.法 3：令 g (b)=/+/+ab-a-6 ,贝 ij g (b)=2b+a-1 =On/?=所以 g 机a xg ,g =max a2 a,3a2 一2a 因 0 a 4 y-，则 a?a =a(a 1)O,3c i 2a 3 a (a)3 a -0所以 g (b)=a?+/+a b a-匕 0 (5)由(1)(2)(5)知a“0,b 0 )的右顶点为

10、A,P是a b-双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线0P分别交于Q和R两点.(1)证 明：无 论P点 在 什 么 位 置，总 有|o b=|OQ oR|(O为坐标原点卜(2)若以O P为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围;解：设O P：y=k x,又条件可设A R:y=P(x a),aR解力/得日 ：O之R =(/1-a b -k a b-)x,同口皿理一可r,得日O二Q =(/匚a b -k-a b -)、,a k -b a k -b a k +b a k +b.|O6 布|=|上上+2 X|=al +k：)4 分a k

11、-b a k +b a k -b a k +b I a2k2-b2 I设OP=(m,n),则由双曲线方程与O P方程联立解得：2 a2b2 2 k2a2b2m=-r-,n=-r-,b2-a2k2 b2-a2k2.，2 2 2 a 2 b 2 k 2 a 2 b 2 a2b2(l +k2).1OP-:mz+n=+=1b2-a2k2 b2-a2k2 b2-a2k2:点P在双曲线上，b 2-a 2 k 2 0.，无论P 点在什么位置，总有|OP I2=IOQ-OR I.4 分由条件得：矍岩=4曲2 分nn.2 4b ab 八.d Z H J17即 k=-y 0,4b a,ij-e -ab 4-4a2

12、 42 分2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二1.(本小题满分12分)已知常数a 0,n 为正整数，fn(x)=xn-(x +a)n(x 0 )是关于x 的函数.(1)判定函数3(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意 n z a,证明 f +i(n+1)0,x 0,fn(x)a 0 时,%(*)=*匚(*+2 是关于*的减函数,当 n 2a 时，有：(n+1 )n-(n+1 +a)n nn-(n+a)n.2 分又/.fn+i(x)=(n+1)Ixn-(x+a)n,.-.fn+1(n+1 )=(n+1 )(n+1 )n-(n +1+a)n n,fn+i(n +1 )|u-v|

13、,4所 以 p(x)不满足题设条件.(2)分三种情况讨论：1.若 u,v e 1,0 ,则|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1+v)|=|u-v 满足题设条件；2 若 u,v e 0,1 ,则|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1 -v)|=|v-u|,满足题设条件;3.若 uw 1,0,ve0,1,贝 ij：|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1 +v)|=|-u-v|=|v+u|W|v-u|=|u-v|,满足题设条件;4 若 ue0,1,ve-1,0,同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3.(本小题满分14分)已知点P(t,y)在函数f(x)=一(x二 一 1)

14、的图象上，且有F-cZat+4c2=0(ex 0).x+1(1)求 证:|a c|4;(2)求证：在(-1,+8)上 f(x)单调递增.(3)(仅理科做)求证：f(|a|)+f(|c|)1.证：；/.A=(-c2aK-16c2=c4a2-16c2 0,:ex O,.,.c2a216,A|ac|4.(2)由 f(x)=1-x+11 1 V V法 1.设一 1 VX1 VX2,则 f(X2)-f(X i)=1-5 1 +?=.X2 4-1 X+l(X2 4-lXXj+1)-1 X!X2,Xj-X2 0,x2+1 0,A f(x2)-f(x1)0 得 x#-1,(x+1)2/.x -1 时，f(x)

15、单调递增.4(3)(仅理科做)f(x)在 x -1 时单调递增，|c|之 二 0,lai4.f(|c|)f()=4lai44+J lal+4lal+f(|a|)+f(|c|)=-+-+-=1.l a l+1 l a l+4 l a l+4 l a l+4即 f(|a|)+f(|c|)1.4 .(本小题满分1 5 分)设定义在R上的函数/(x)=/+/+。3%+。4 (其中q R，i=0,1,2,3,4),当2x=-1时，f(x)取得极大值耳，并且函数y=f(x+1)的图象关于点(一1,0)对称.(1)求 f(x)的表达式；(2)试在函数f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切

16、点的横坐标都在区间-近，8上；(3)若=，尤 二二)(e N J,求证：解：(1)/(x)=；x 3-x.5 分(拒、(五、(2)(0,0),V2,-或(0,0),-V2,.1 0 分I 3)I 3)(3)用导数求最值，可证得|/区)一/(为)|/(一1)八 1)|2 =1(孙。0),此即为所求的轨迹方程.1 3 分6.(本小题满分1 2 分)过抛物线-=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P 点，P A P B O.(1)求点P 的轨迹方程；(2)已知点F (0,1),是否存在实数几使 得 瓦 丽+而 y=0?若存在，求出;I的值，若不存在，请说明理山.解 法()：(1)设 4%,玉

17、,8(%2,三),(无户9),X由工2=分,得：y,-k.五 k 一寇.A PA 2，人 PB-2PA P B =0,.PA _ L xx2=-4.3 分2 2直线P A 的方程是：y 二=五(一 七)即 y =2 匹 土 4 2 ,24同理，直线P B的方程是：),=当 一 .=X +-2由得：,2 (xpx2 e R)=竽=-1,I 4.点P 的轨迹方程是y =-l(x e/?).6分(2)由(1)得：西=(x”五 一1),丽=(%,五 一1),尸，一 1)4 4 2F P =,-2),再%2 =-4成 而=也+令-1)令-1)=-2-9*.1 0 分(丽 2 二区+2+4 =Xl+X2+

18、24 4所以E4 7 8 +（尸 尸）2=0故存在 2=1 使得 FA FB+2（FP）2 =0.12 分解法（二）：（1）.,直线PA、PB与抛物线相切，且 方 丽=0,二 直线PA、PB的斜率均存在且不为0,且PA_LPB,设PA的直线方程是y=kx+m（k,m e H 0）illy=kx+m,得：x-4kx-4m -0 x=4 yA=16k2+16m=0 即 m=-k2.3 分即直线PA的方程是：y=kx-H同理可得直线PB的方程是：y=4k k7 1 nx=k G Rky=-iy=k x-k2由，1 1得：,y=-Tx-u故点P的轨迹方程是y=_ l（x e R）.6分2 1 i（2）

19、由（1）得:A（2.k,）,P（k 1）k k k 9 1FA=（2k,a 1）,FB=（-1）k k而=（火 工,2）k 1 iFA-F5=-4+（A:2-l）（-l）=-2-（Jl2+）.10 分k k（而）2=（J 幻 2+4=2+（公+g）故存在4=1使得工 瓦+/l（而）2=0.12分7.（本小题满分14分）1 Y设函数/（X）=+In x在1,+00）上是增函数.ax（1）求正实数4的取值范围；（2）设匕0,al,求证：一ln丝2 竺2.a+b h b解：（1），（冗对 xwL+oo）恒成立，ax:.a 对 x l,+o o)恒成立x又,4 1 .2 1 为所求.4分X/八、r r

20、 ,八 a+b 1(2)取了=-,v a,b 0,.-1,b b一方面，由(1)知/&)=匕 二 +1 1 1 在口,+0 0)上是增函数,ax孚)川)=0hta+hE,1 Q+A 1 八 八B|J In-.8 分b a+b另一方面，设函数G(x)=x-ln x(x l)1 1G (x)=l=0(-x 1)X X.G(x)在(l,+o o)上是增函数且在x =/处连续，又G =1 0.当x l 时,G(x)G(l)0 x In x即土成b Ina+hb4 1 .a+b a+b综上所述，-ln-0,b 0),a hA则 8(-c,0),D(a,0),C(c,0).由 8O=3 O C,得c+a=

21、3(c-a),即 c=2a.I AB I2-IACF=16“2,Z.AB+AC=2-Aa,(3 分)AB-AC=2a.解之得 a=1,*.c=2,b=VJ.2双曲线E 的方程为/-2 L =i.(5 分)3(2)设在x 轴上存在定点G(f,O),使 前 J.(丽-2 丽).设直线/的方程为不一加=6，M(Xj,Ji),N(x2,y2).由 标=丸丽，得 y+4%=0即/l=-2 (6 分)%.,BC=(4,0),GM 2GN (%,t +力，y 4力)，：.JC 1(GM-ZGN)x1-r =/l(x2-r).B P ky1=A(ky2+m-t),(8 分)把代入，得261y2+(加一力(弘+

22、2)=(9 分)2把 X-机=6 代 入 一-q=1 并整理得(3&2 -l)y2+6kmy+3(m？-1)=0其中弘2一 1工0 且(),即产工且缺2+/i.3 6km 3(22-1)%+为=门力2=行 代入，得6k(tn2 1)6km(tn t)八-1-n-=U,3k2-I 3k2化 简 得 kmt=k.当 仁 工时，上式恒成立.m因此，在X轴上存在定点G(LO),使 布，(丽 T 丽).m（10 分）（12 分）9（本小题满分14分）已知数列 4,各项均不为0,其前项和为S“，且对任意we N”都有（l-p）S“=p-p a“（p为大于1的常数）,记/()=I+CM+C%+C%2工求 对

23、；p+1试比较/5+1）与2 P/()的 大 小(n e N,)；求 证:(2 n-l)/(n)+/(2)+.+/(2 n-1)g 1-p-1p +f2/1,(/?e N*).解：(1 -P)S“=p-pa.，二(1 _p)Sn+l=p-p a+i.一，得(1-P)=+i =-P%+p a，即a+l=叫 在中令”=1,可得q =p .，%是首项为q=，公比为0的等比数列，an=p._ p(p -1)由可得5,=1-P。一1（3分）（4分）i+CM+C X+-+c x=i+Pc ,+/c：+c =c +p(。+1)”/()=+CM+c；%+c：。,_ p-i 5 +1)”2 S（5分）P 2 (

24、p -l)p 1/(n+l)=-p(P+1严2n+l(/?+l-1)-呜(P +D”“；（）=_ 2向（p,M _p），且 p 1 ,/p1+1 1 pn 1 p 0 9 p 1 0./(n+1),(we N4).2 P由(2)知 八1)=产，f(n+l)P Lf(n),(c N*).2p 2P（8分）.当“2 时，/()f f(n-1)()2/(-2)0,1）0）的右准线/1a-b条渐近线4交于点M,F是双曲线C 的右焦点，O为坐标原点.（I）求证：OMJ.MF；（I I）若I M F I=1 且双曲线C 的离心率6=求双曲线C2程;与 一的 方(Ill)在 川)的条件下，直线4过点A(0,

25、1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间,满 足/=/1/，试判断4的范围，并用代数方法给出证明.fu解：(I).,右 准 线 小X =,渐近线4：y=-xc a2M(,c),FC 0),c 2 0 1 9c=a-+b-,-)c2MF=(c b2 OM-MFa2b2 a2b2c2c2.OM1 MFacC0-3分(，)Ve=f,.-.a2=2b22af b4a2b2vlMFI=1,+c.b2=1,a2=1c21,b2(b2+a2)c21.,双曲线C的方程为:x2y2217分(III)由题意可得0404k2 l-2 k24X X 2 =y1 一 2k200k丰2k2 1k0l-2 k

26、2 0-l k .也211分 )AP=2 AQ,z.(X,Y 1 -1)=A(X2,y2-1),得X=Xx2Z1八 4k 2 4 (1+4)x 2 =2 i _ 2 k2 2 1-2 k2(1+2)2 16 k2 4k2,2*-=-=-=2 +-2 -4(1-2 k2)2 k2-1 2 k2-1V 2 ,v-lk-,.-.0 2 k2-1 42(1+2)2 4/1 22-2 2 +1 0./1的取值范围是(0,1)13 分2.(本小题满分13 分)已知函数f(x)=0(x 0)n f x-(n-l)+f(n-l)(n-1 x n,n w N*)数列 a j 满足a 0=f(n)(n e N*)

27、(I)求数列 a 0 的通项公式;(I I)设 x 轴、直 线 x =a与 函 数 y =f(x)的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 S(a)(a 0),求S(n)-S(n -l)(n e N*)；(I I I)在 集 合 M=N I N =2 k,k w Z ,且 1 0 0 0 W k S(n)-S(n-l)对一切nN恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.(I V)请构造一个与 aj有关的数列、,使得l i m(E+b,+b“)存在，并求出这个极限值.n o o解：(I)n GN*f(n)=n n -(n

28、-1)+f(n -1)=n +f(n -1)f(n)-f(n -1)=n .1 分A f(l)-f(0)=lf(2)-f(l)=2f(3)-f(2)=3f(n)-f(n-1)=n将这n个式子相加，得f(n)-f(0)=1 +2+3+n=。(7)/f(0)=0.f(n)=的罗.a“=eN*)3 分(ID S(n)S(n-1)为一直角 梯 形(n=l时为直 角 三 角 形)的 面 积，该梯形的两底边的长分别为f(n-l),f(n),高为 1.S(n)-S(n-l)=f(n-+f(n)xl=1 n(n-l)n(n+l)n2=-+-1 =.6 分2 2 2 2(III)设满足条件的正整数N存在，则n(

29、n +-1005 -1005 n 20102 2 2又乂=2000,2002,，2008,2010,2012,，2998 N=2010,2012,.,2998均满足条件它们构成首项为2010,公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N,则2010+2(m-l)=2998,解得m=495.M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin=2010 9分 2 1 1(IV)设 bn=，即，=-=2(-)an n(n+1)n n+1贝 ij b i+b,+b 0 =2(1 ()+(!)+(-1)+,+(，-)=2(1-2 2 3 3 4 n n+1 n+1显然，其极限存在，并且lim(b1+

30、b,+b“)=lim2 =2 10分n-con-o o n+Q 1注：bn=(c 为非零常数)，bn=(-)n+,bn=qn+i(0 =1的两个焦点分别为居、F,离心率为2.CT 3(I)求此双曲线的渐近线/1、4的方程;（II）若A、B分别为小 乙上的点，且2148 1=5万1工1，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线：（川）过点N（l,0）能否作出直线/,使/与双曲线交于P、Q两点，且 茄 6方=0.若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.解：（I）：e-1,：.c*1 2 3=4a2 JV3(y,+y2)2+)=101 /o 2 3(2y)2+(2x)2=1 0 0,

31、即 一 +上=13 75 25则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为1（）6,短轴长为U入8的椭圆.（9分）3（III）假设存在满足条件的直线/设/：y=fe(x-l),/与双曲线交于P(,以)、Q(X2,y2)OP-OQ=0 xxx2+%2 =0Xj2+攵之(匹)(工2 1)=0.xx2+k 2xjX2-(x(+九2)+1=)+3,a ,c 22pi双曲线方程为 2-3 =1,渐近线方程为y=x(II)设 A(X1,月)，B(X2,y2),AB 的中点 M(x,y)21ABi=51 2 1.JABI=|lF1F2l=|x2c=10-x,)2+(y,-y2)2=10vV3 6 0,0,

32、乂%=可 玉，y2=-x2,2x=xl+x2,2丫 =月+%.月 +。5、5、2=彳(1 一%2)弘 一力=彳(1 +-2)4分y =k(x-1)由J ,X2 得(3 左一1)1 _ 6 女 2+3 左 2 3 =0y2-=1I 3则为+2=E X M2=5F 7 由(i)(i i)得 H+3 =0Ak不存在，即不存在满足条件的直线I.1 4 分3.(本小题满分1 3 分)已知数列%的 前 n项和为S.(e N*),且 S,=+1)-?%对任意自然数都成立，其 中 m为常数,且m 厂b”=/(&_,)(n 2,n w N ),试问当 m 为何值时，(】g a)=岬13(/?2+b2b3+b3b

33、4+2 一 2)成立？解：(I)由已知S +=(2+1)以 计 (1)Sn=Qn+1)-m an(2)由(1)一(2)得：an+=m an-m an+x,即(m +1)“+=加%对任意 cN*都成立为 常 数，且 2,几 w N*)*+1为等差数列；.=3+(-1)=+2,blt-(n G N，)9分b“+2z、n-1,.lim/7?/1(I ga)=rh m-1g团-=1tg-in-8 n&g及+2&加+1&m+l期0 3(仇。2+b2b3 +b”也)lim 3(-+一 8 13 4由题意知1gm+1m二14 5 n+n+2)-1 m 11八10m=-1 T .1 U，m+1913分4.（本

34、小题满分12分）设椭圆+5=1（。人0）的左焦点为/,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半a b轴于P,。两点，且P分向量A。所成的比为8 ：5.（1）求椭圆的离心率；（2）若过A,。,F三点的圆恰好与直线/：x+6 y +3=0相切，求椭圆方程.解：(1)设点。(/，0)，/(c,0),其中 c=J。？一 目,4(0,b).由P分A。所成的比为8 ：5,得P(；Xo，；b),2分；(得尸斗+()2 =1 .，4分13 a 13 2而 工=(c,b),AQ=(x0,-b),FA 1 AQ,b .E4AQ=0.%0-=0,%=.，5 分c由知2=3ac,.2c2+3ac-2a2

35、=0.01，2e+3e 一 2=0.e=.6 分2h2-c2(2)满足条件的圆心为O(-,0),b2-c2 a2-c2-c2c2c2=c,O(c,0),8 分b2.-F 2 2圆半径r=-=a.2 2c由圆与直线/：x +gy+3 =0 相切得，2 2又。=2。,，。=1,。=2 =8.；.椭 圆 方 程 为 二+上-=1.4 31 0 分1 2分5.（本小题满分1 4 分）（理）给 定 正 整 数 和 正 数 匕，对 于 满 足 条 件%-2 b的 所 有 无 穷 等 差 数 列 4,试求y =an+l+%+2+。2日的最大值，并求出y取最大值时%的首项和公差（文）给 定 正 整 数 和 正

36、 数 b ,对 于 满 足 条 件 =6 的 所 有 无 穷 等 差 数 列%,试求y =an+l+a,.+。2,用的最大值，并求出y取最大值时。“的首项和公差.(理)解：设 a“公差为 d,则。“+=%+d,d =a“+.3 分y =a“+i +a”+2+”2“+1=%+(%+i +d)+-+(an+l+n d)二(+1)%+(1 +2+)d=(+D%+i +-d=(九 +券)=(+1)(。“+)=/(3%-2 2又 q-%+1 b,：.-a -h-an+i.23 ,3%+|-q -+i+3 a+1-b-(an+l+立.1 1.+1 小、J +1)(9 4 b)y =-(3 an+1-,)-

37、Z o当数列,a,)J 首项4=6 +9 ,公差d=丝4 b 三+3时，4 4 n.,.y的1V最大值l为-+-1彳)(9-4-Z-?)-4分7 分L9 _ 4叱/?9 叱 4 b ，当 且 仅 当 a“+i=3?忖，等 号 成4 4 ，+1 2分1 3 分(+1)(9 4 份y =-,81 4 分(文)解：设 对 公差为 d,则。“+=%+d,d =a“+-.3 分y =a，+i +生，+2+.+。2，+1=。“+1(%+i +d)+-+(an+l+nd)=(+1)%+|+(1 +2+n)d/n(n+1),.八/nd.=5+D%+i +-d =(+1)(+1+y)=(+1)(”,出+“A、)

38、=等 J-4),6 分又 4 _%+=，；一%=-b-an+i2.,，=-a3 ,9-4b 9-4bn+l-+3a,l+i-b=-(+l-)2+丫 3当且仅当%M=二时，等号成立.1 1分“(Ji”正喑也 1 3分Zo当数列”“首项为=6+；，公差d=一 等3时，),=(+1 4 6)y的最大值为5 +1)(9一 砌.1 4分86.(本小题满分1 2分)垂直于x轴 的 直 线 交 双 曲 线2/=2于M、N不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线AW与A 2N交于点P (x o,y0)(I)证 明:x；+2y；为定值；(II)过P作 斜 率 为-二 的 直 线I,原点到直线

39、I的距离为d,求d的最小值.2y o解(1 )证 明:设M区，一%),则N(x%),.4(&,0),4(行，0)直线A|M的方程为=广(x +&)%)+V 2直线A 2N的方程为y=一)l(x-拒)4分再-J2 X，得y 2=1(/一2)X1 -2X；_2y；=2,；.y2=_ g（X2 _2）,即/+2y2=22（/,0）是直线4 与&的 交 点.君+2/=2为 定 值 8分(II)/的方程为y-凡=-迎。-4)，结合x(；+2y：=2整理得4犬+2%)；-2 =02yo于是d=2=2=OZ1 o分J.+4.j2 +2y：中 +y。.x；+2y；=2 yl 1 :.+y l 1当y0=1时,

40、4 =1/取 最 小 值112分7.（本小题满分14分）已知函数/（X）=x-sinx（I）若x 0,万，试求函数f（x）的值域；（II）若x e Q,7T,0 e（0,I）,求 证：2/（。）；小）/（”产）；（III）若x w k k +1）扪,8 e（k兀,（k+D i）,k w Z,猜 想2,的）；X）与丝产）的大小关系（不必写出比较过程）.解：（I）当x e（0,万）吐/（x）=l-馍5%0,;./3为增函数又/Xx)在区间 0,切上连续所以/(0)f(x)/，求得 0 /(%)兀即f(x)的值域为 0,幻 4分/“、2 /、2/()+/(x)26+x Hn 2/(。)+sinx.2

41、0+x(II)设 g(x)=-3-Z(-y-)，即g。)=-+sin g，(/x)、=-1 z 2。+x.八 八(-cosX+cos-).6 分*/X G 0,6 G (0,乃)20+x 小、.-(0,乃)由 g(x)=0,得工=。当X G(0,。)时,gf(x)0,g(x)为增 函 数.8分 g(x)在区间 0,1 上连续则g(6)为g(x)的最小值对x e 0,万 有8。)2 g(6)=0因 而2/(。)+&)0分3 3(I1D在题设条件下，当 k 为偶数时+z/(竺 了)当k为奇数时2/矽)；/(幻?的两个非零实根为X”X2.试问：是否存在实数m,使得不等式m 2+t m+12|x ix

42、一X2 I对任意a eA 及1 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14 分./I、4 +2ax 2x -2(x2 ax 2)解：(I )V(x)=-；=-，(r+2)2 (+2)2；f(x)在-1,1 上是增函数,.f (x)N。对 X W 1,1 恒成立,即 X?ax 2W0 对 xe 1,1 恒成立.设.(x)=x 2-ax-2,方法一：|(1)=1-a-2 0,o-1 Wa W1,*(-1)=1+a2 W 0.:对 x e 1,1,f

43、(x)是连续函数,且只有当a=1 时,f (-1)=0以及当a=-1 时，f (1)=0；.A=a|-1W aW 1.方法二：。或o夕(-1)=1+a2W00WaW1 或3(1)=1-a-2W 01 WaWO 1WaW1.对x 1,1,f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f (一1尸0 以及当a=1 时,V(1)=0 A=a|-1WaW1.r(I I)由=一，得 x2ax2=0,VA=a2+80 x+2 XA x1,X2是方程x 2-a x-2=0 的两非零实根，C x1+x2=a,.二 I 从而%一 X2F J(X+x2)2-4X1X2 7 a 2 +8.x1x2=-2,1WaW1,.|x

44、 X2|=Ja2+8 W3.要使不等式m2+tm+12|xi-X 2|对任意a e A 及 te 1,1恒成立，当且仅当m2+tm+12 3 对任意t w -1,1恒成立，即 m，tm2 2 0 对任意te 1,1恒成立.设 g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),方法一 ：C g(1)=m2m20,j og(1)=m2+m 20,o m 22 或 m 0,r m0,y20.由y=x 2,2得 y =x.，过 点P的切线的斜率k w=x”线 I 的斜率 k i=,%切xi直线I的方程为y,小2=-L (x X。,2 X 方法一：2联立消去y,得x?+XXI22=0.X|是PQ的中点,X,

45、+x2 _ 1Y o=-1 X i2 1 ,、-(XO-XT).2 x消去 x i，得 y o=x()2+y+1(X O RO),；.P Q中点M的轨迹方程为y=x2+-+1(x0).2%o方法二:,1 2 1 2%由 yi=Xi,y2=-x2,x0=丁二得 Y1-y 2=；x/1 X22=I (Xi+X2)(X i-X2)=XO(X1-X2),贝U Xo=k|=-,xx-x2 xl1x产一一X。将上式代入并整理，得?1yo=Xo+r+1(xoO),2x()，P Q中点M的轨迹方程为y=x2+y+1(xW0).2%(II)设直线 l:y=kx+b,依题意 k#0,b W O,则 T(0,b).

46、分别过P、Q作PP _Lx轴，Q Q _Ly轴，垂足分别为P、Q ,则-S-T-1-I-S-T-I OT+4=也+四SP IS。IIPPI QQ ly,I ly2lX-由1 2v=x2消去 x,得 y2-2(k2+b)y+b2=0.y=kx+by1+y2=2(k2+b),则yiY2=b2.方法一:I S T II S T I-1-I5PI ISQI|b|(+)22|b|J-=2|b|J =2.必y2 1%为 Vb11；yi、y2可取一切不相等的正数,上I S。T I+*I S_T2 I的取值范围是(2,+o o).SP SQ方法二:ISTI ISTI%+y 2 Thi 2(P+&)-1-o-u

47、-ISPI IS 0I 弘力 b2止 jc n*ISTI ISTI,当 b0 时，-+-=bSP 15212(公+b)_ 2(/+b)_ 2 r-十;b2bb业 j cu*ISTI ISTI、当 b0,于是 k2+2b0,B P k2-2b.所以符盟安2k 2.当b0时、可取一切正数,bI 67 I I ST 1:+上 的取值范围是(2,+o o).ISP I IS 0!方法三:由 P、Q、T 三点共线得I,l ly2l 22 1=1 圭 l+l l 2 2.X)x2：1包 1可取一切不等于1 的正数,I ST I I ST I:的取值范围是(2,+o o).SP IS Q I3.(本小题满分

48、12分)某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和 0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总留用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满 分 12分.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望为400X0.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用

49、为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400X0.1=40（万元）,所以总费用为45+40=85（万元）若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15,损失期望值为400X0.15=60（万元。所以总费用为30+60=90（万元。若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1-0.9）（1-0.85）=0.015,损失期望值为400X0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.4.（本小

50、题满分14分）已知a 0,数列%满足为=a+,”=1,2,.册（I）已知数列%极限存在且大于零，求 A=lim a,（将 A 用 a 表示）；（II）设a =a“-4,“=1,2,，证 明：葭 1 =-b；他+A）（III）若I勿 K-对=1,2,都成立，求 a 的取值范围.2本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满 分 14分.解：（I）由lim a“存在，.比4=lim a.（A 0）,对/+=。+两边取极限得n oo%.1 .a dc r+4 a+/c r+4A =a+,解得A=-.XA 0,.-.A =-.A 2 2（II）由=b