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1、2021年高考数学压轴题预测1.已知函数/(x)=x+alnx,其中eR.(I )求函数/(x)的单调区间；(I I)当x l,2 时，都有/(x)0成立，求实数a的取值范围；(I I I)试问过点P (1,3)可作多少条直线与曲线y=/(x)相切，并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数/(无)的定义域，函数的导函数，通 过(1)当。20时，(2)当a V O时，当O V x -a时，当时，导函数的符号，判断函数的单调性；(I I )(1)当-a W l时，(2)当1 -a 0),求出导函数，(1)当a 0时，类比求解，推出当0时，
2、过点尸(1,3)存在两条切线，(3)当。=0时，/(x)=x,说明不存在过点尸(1,3)的切线.【解答】解：(I )函数/(x)的定义域为/(x)=1 +右=个，(1)当a 2 0时，/(x)0恒成立，函数/(x)在(0,+8)上单调递增，(2)当。0 时，令，(%)=0,得 x=-a,当0 x -a时，(x)-a时，/(x)0,函数/(x)为增函数，综上所述，当a 2 0时，函数/(x)的单调递增区间为(0,+8),当a 0时，函数/(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(-，+8).(H)由(1 )可知，(1)当-a W l时，即时，函数/(x)在区间 1,2 上为增函数，所以
3、在区间 1,2 上，/(x)min=f(1)=1,显然函数/(x)在区间 1,2 上恒大于零；(2)当l -a 2时，即-2 V a 0,解得 a-e,所 以-2 a 0,解得Tn2f 所 以 一V a W -2,综上所述，当焉时，函数/(x)在区间 1,2 上恒大于零.(I I I)设切点为(x o,xo+alnxo),则切线斜率后=1 +多，x0切线方程为y-(x o+H x o)=(1 4-)(x-x o)xo因为切线过点 P (1,3),则 3-(x o+a/x o)=(1 +)(l r o).x01即。(/HXOH-1)-2=0,xoi令 g (x)a(/?x+-l)-2 (x 0)
4、则 g(x)=a(-1),X X2 xz(1)当a V O时，在 区 间(0,1)上，g (x)0,g(x)单调递增，在 区 间(1,+)上，g(x)0,g(x)单调递减，所以函数g (x)的最大值为g (1)=-2 0,故方程g(x)=0无解，即不存在x o满足式，因此当。0时，在 区 间(0,1)上，g(x)0,g(x)单调递增，所以函数g (x)的最小值为g (1)=-2 e,则 g(X I)=a (l +e-1-a-l)-=a e-1-a 0,2 1故g (x)在(1,+8)上存在唯一零点，取x 2=eT-a v g2 i+-,.2.2 2则 g (%2)a(-1-F e a-1)-2
5、=ae1+a-2 a=ae1+a-2(1 +-),aQo设 f=l +&(Z 1),u(/)=3 -2 t,则 (/)=el-2,当/1 时，(?)=e-2 e-2 0 恒成立，所以u(?)在(1,+8)单调递增，(r)u(1)=e-2 0恒成立，所以g(X2)0,故g (x)在(0,1)上存在唯一零点，因此当。0时，过点尸(1,3)存在两条切线；(3)当。=0时，/(x)=x,显然不存在过点P (1,3)的切线，第2页 共4页综上所述，当。0时，过点P (1,3)存在两条切线；当a W O时，不存在过点P(l,3)的切线.2.已知函数/(%)=枭2 +垢 缶6 R,a H 0).(1)求函数/(x)在 1,e上的最大值；(2)当 a=l 时，求证：f(x)n-f(x)2 2-2 (n G N*).【考点】利用导数研究函数的最值.【分析】(1)对函数人)求导，分a 0及a 0讨论，其中当。0时，分a W -1,a0,-l a 0,/(x)在 1,e上单调递增，则/(x)m a x (e)=m 2 +1；当 a 0,f(x)单增，当x J时，f(X)2 +量+第3页 共4页+铲)=2(2n-2),：.S2n-2,即，(x)M-f(x)2 2-2 (G N*).第4页 共4页