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1、立体几何中体积问题的求解技巧 体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容之 一解决这类问题时，除了牢记公式以外，还需要巧思妙想，结合具体条件 灵活选择计算体积的合适方法 例 1（2012 年江苏赛区初赛 7）在四面体 ABCD中，AB=AC=A D=DB=5，BC=3，CD=4，则该四面体的体积为-解析：根据题意，BC=3，CD=4，D B=5，则B C D=90 如图 1，取 BD的中点 E，连结 AE、CE，由直角三角形 性质可知 B E=CE=D E，而 A B=A C=A D=5,所以 ABE ACE ADE，从而有 AEBD，AE EC，故 AE平面 BCD，即 AE为
2、平面 BCD上的高，计算 可知 VA-BCD=S BCD AE=6 变式 1：如图 1，在三棱锥 P-ABC中，PA=1，AB=AC=2，PAB=PA C=BAC=60，求三棱锥 A-PBC的体积 解在 PAB中，P B2=PA2+A B2一 2P A A B cos P A B=1 2+22一 21 2cos60=3 解得 AB2=PA2+PB2，即 P A P B 同理可得 PAPC，从而 PA平面 PB C 又因为 A B=A C=2，B A C=60，所以 ABC为正三角形，B C=2 取 B C 的中点 D，连结 P D，则 PD=S PBC=BC PD=因此 VA-PBC=S PB
3、CPA=1=公式法 例 2(201年安徽预赛 6)如图 3 设正四棱锥 P-ABCD 的体积为 1，E、F、G、H 分别是线段 A B、CD、PB、PC的中点，则多面体 BEG-CFH的 体积为 解析此题要求多面体 BEG-CF的体积，必须先将它切割成 常见的几何体，取 BC、EF 的中点 M、N，连结 M N、GM、GN，则多面体 BEG-CFH分割为一个四棱锥 G-EBMN 和一个三棱 HFC-GNM，因为 E、F、G、H 分别是线段 AB、CD、PB、PC的中点，且正四棱锥 P-A B CD 的体积为 1，则四棱锥 G-EB M N 的体积为 VG-ECMN=，从而三棱锥 E-GNM 的
4、体 积为 V E GNM=。又三棱柱 H F C GN M 的体积为三棱锥 体积的 3 倍。所以三棱柱 H FC-GNM的 VHFC-GNM=,从而多面体 B EG-CFH 的体积 VBEG-CFH=VG-BCMN+VHFGD-GMN=评注在利用公式难以求解的情况下，我们还可以根据相关几何体之间的关系 来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱 后轻松得到答案 变式 2 如图 5，已知多面体 ABC-DEFG，AB，AC，AD 两两垂 直，面 ABC面 DEF G，面 BEF面 ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=，1 则该多面体的体积为()(A)2(B)4(C)
5、6(D)8 分割法 E 一G N M 的 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到
6、答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体解法 1 如图 6，把多面体 ABC-DEFG补成正方体 DEPG ABHM，则 VABC-DEFG=VDEPG-ABHM=23=4时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积
7、评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体解法 2 如图 7，取 DG的中点 H，以DA，D E D H 为棱构造长方体 EFHD-BPCA，则三棱锥 C-HFG 与 三棱锥 F-PCB 全等 V ABC-DEFG=VABPC-DEF=H AB AC AD=2 l 2=4 三、补形法 例 3（2012年河南高一预赛 5）已知四面体 A-BCD 中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=DB=，则该 四面体的体积为 _ 解析根据题意，A B=CD=2，B
8、C=AD=，A C=AMDN-PCQB，其中，AN=4，AP=5，AM=6 计算可知，长方体 AMDN-PCQB 的体积为 120，而四面体 P-A B C、M-A CD、Q-B CD、N-A B D 的体积均为 2O，所以四面体 A-BC D 的体积为 VA-BCD=120-80=40 评注：说是“补形”，实为“还原”当四面体 A-BCD“补”为长方体 AMDN-PCQB后，我们就能明白四面体 A BC D 的体积原来是用长方体的体积减 去“补出来”的体积 变式 3 如图 6，一圆柱被一平面所截，已知被截后几何体的 最长侧面母线长为 4，最短侧面母线长为 1，且圆柱底面半 径长为 2，则该几
9、何体的体积等于 DB=考虑到 42+52=41=61，则我们可以将四面体 A-BCD 补形为长方体，42+62=52，52+62 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几
10、何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体解：如图 7，将“一个与已知的几何体完全相同的几何体”体”拼在一起组成一个高 5 的完整圆柱，那么所求 几何体的体积就是这个大圆柱体积的一半，于是 V=X 22X5=10 与“已知的几何 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面
11、体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体四、整体处理 有一些体积问题，如果能从整体着眼，适当处理，那么就能化繁为简，事半 功倍 例 4：三棱锥的 3 条侧棱两两垂直，3 个侧面与底面所成角分别是 3O，45，60，底面面积为，则三棱锥的体积为 _ 解如图 9，设三棱锥的 3 条侧棱长分别为 a，b，c，则 3
12、 个侧面面积 S1，S2，S3 分别为为，。，从而 a2b2c2=S1S2S3=.故 V=abc=1 五、巧比 同高不同底的 2 个三棱锥的体积比等于它们的底面积之比棱锥（或圆锥）被平行于底面的平面所截，所得的小棱锥（或小圆锥）与原棱锥（或原圆锥）相对应的体积比等于“相似比”的立方遇到此类问题，利用这种比例关系 就可快速、准确获解 例 5 某工厂食堂用圆台形缸盛满食油，已知此缸上、下底面半径分别为 40 cm 和 20 cm，13 天后，油的高度降为原来的若每天用 油量相等，剩余的油还可以用多少天?解如图 12，将圆台补成圆锥，记从下至上 3 个部分的体积分 别为 V1,V2,V3设 V1=3
13、3a=27a 由圆锥平行于底的截面的性质得 V2=53a-33a=98a，V3=63a-53a=91a 设剩余的油还可以用 x 天，由题设得 91 a：13=98a：x 解得 x=14故剩余的油还可以用 14 天 变式 5 在 三 棱 锥 A-B CD 中，P AC，Q B D VA-BPQ=6,VB-CPQ=2,VD-CPQ=8，则 VA-BCD=_ 解如图 13，三棱锥 B-APQ与三棱锥 B-CPQ同高不同底，得 VB-APQ:VB-CPQ=S APQ:S CPQ 同理可得 VD-APQ:VD-CPQ=SAPQ:SCPQ 从而 VB-APQ:VB-CPQ=VD-APQ:VD-CPQ 解得
14、 VD-APQ=24 故 VA-BCD=40 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松
15、得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体六、妙换 当所给三棱锥的体积不便计算时，若能依据题设条细察几何体的特征，合理 转换顶点和底面（选择条件较集中的面作底面），则往往有利于问题的解决 例 6 如图 l4，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，P 分别是 BC，AD1的中点，N是 CD 的中点，AD=AA1=a，AB=2a，求三棱锥 P-DEN的体积（2006 年四川省 数学高考试题）解：由 CD1EP，得 CD1平面 PDE，从而 3 a VP-DEN VN-PDE VD1-PDE VE-PDD 1 6 评注：三棱锥的任何一个面都可以作为它的底，这为解题带来了方便 变式
16、6 如图 15，PCBM是 直角梯形，PCB=90，PM/BC，PM=1，BC=2又 AC=1，ACB=120，AB PC，直线 AM 与直线 PC所成的角为 60求三棱锥 PMAC 的体积（2007 年四川省数学高考试题）解：取 BC的中点 N，则 CN=1，连结 AN，MN由 PM/CN，得 MN PC，从而 MN平面 ABC又 由直线 AM 与直线 PC所成的角为 6O，可得 AMN=60 在 ACN中，由余弦定理得 AN=AC2 CN2-2AC CN cos1200=3，在 AMN中，有 MN=ANcot AMN=3 3=1，3 因此 PCNM为 正方形，从而 VP-MAC VA-PC
17、M VA-MNC VM-ACN 1 1 0 3 AC CN sin1200 MN 3 2 12 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是
18、通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体七、极端法 例 15 如图 l9，直三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 V，点 P，Q分别在侧棱。和 CC，上，AP=C。Q，则四棱锥 B-APQC的体积为 解:将条件 AP=C1Q极端化，使得点 P与点 A1 重合，点 Q与点 C重合，则四棱锥 B-APQC就变 成三棱锥 B-ACA 1，它和直三棱柱 ABC-A1B1C1 等底 11 等高，从而四棱锥 B-APQC的体积等于 1S ABCh 1V 3 ABC 3 练一练 1.如图，在三棱锥 P-AB C 中，AB=BC=2，AB C=12
19、0，PA=PB=P C=，4 求三棱锥 P-AB C的体积 提示：作 P 0 平面 A B C，点 0 为垂足因为PA=PB=P C，所以 OA=O B=O C，点 0 为 AB C 的外接圆的圆心设 0B=R，则 2R=4 在RtPOB 中，OB=2，PB=4，得 PO=2，从而 故 VP-ABC=SABC PO=2=2 2如图 12 是一个平面截长方体的剩余部分，已 知 AB=4，BC=3，AE=5，CG=12，求几何体 EFGHABCD的 体积 提示：如图 l4，把已知多面体补成以 ABCD为底 面，高为梯形 A EGC 的中位线的 2 倍的长方体 ABCD A1B1C1D1，则 VEF
20、GH-ABC=D VABCD-A1B1C1D=1 3 x4 x 17=102 S ABC=BA BC 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解
21、法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体3如图 13，已知体积的 V的三棱柱 ABC A1B1C1，P 是棱 B1B。上除 B1，B，以外的任意一点，求四棱锥 P-A 提示：如图 l5，把三棱柱 ABC-A1B1C1补成平行六面体 AA 1C1C D D1 B 1B，设 P 到面 AA 1C 1C 的距离为 h，则 VP-AA1C1C=SAA1C1C h=VAACC-DDB=B 2VABC-A1B1C=1 4(2010 年江苏赛区初赛 9)在三棱锥 A-B CD 中，已知 ACB=CBD，ACD=ADC=BCD=BDC=且 c
22、os=已知棱 A B 的长为 6，则 此棱锥的体积为 _ 提示根据题意，A CD=A DC=BCD=BDC=，则 ACDBCD,且 AC=AD=BC=BD又,ACB=CBD,从而有 ACD BCD CAB DAB，即 ACB=CBD=CAD=ADB，AB=CD.如 图 2，分别取 CD、A B 的中点 E、F，连结 A E、BE、E F，则 AECD，BECD，所以 CD平面 ABE，即平面 ABE为 CD的垂面，计算可知 AE=BE=9,EF=12，VA-BCD=S ABE CD=6 126=144 5.如图 16，在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E为 AD的中点(1)
23、求四面体 E-A1B1C 的体积；A1C1C 的体时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后
24、轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体(2)求四面体 B-A 1C1E的体积(2007 年湖北省黄冈市数学高考模拟试题)时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根
25、据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体 6.图 18，在四面体 ABCD中，AB=a，CD=b，AB和 CD的距离为 d，问当棱 AB 与 CD所成角 为何值时，该四面体体积 V 有最大值，最大值是多少?提示：过点作 BECD，并使 BE=CD，那么 ABE=，点 D到平面 ABE的距离 就是 AB和 CD的距离 d因此，11 BE ABsin d abdsin 26从而，当=90时，即当对棱 AB和 CD垂直时，四面体体积 V有最大值 1 abd 6 V VA-BCD VA-BDE VD
26、-ABE(2)如图 17，在平面 ABCD内，延长 BA到点 N，1 使AN=12，则NE，从 而 NE平面 BA 1C1，VB-A1C1E VE-A1BC1 VN-A1BC1 时除了牢记公式以外还需要巧思妙想结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法公式法例年江苏赛区初赛在四面体中则该四面体的体积为解析根据题意则如图取的中点连结由直角三角形性质可知而所以从而有故平面即为平面上的高点连结则因此分割法例年安徽预赛如图设正四棱锥的体积为分别是线段的中点则多面体的体积为解析此题要求多面体的体积必须先将它切割成常见的几何体取的中点连结则多面体分割为一个四棱锥和一个三棱因为分别是线段的中点多面体一的的体积评注在利用公式难以求解的情况下我们还可以根据相关几何体之间的关系来求体积上述解法就是通过将几何体巧妙分割为一个四棱锥和一个三棱柱后轻松得到答案变式如图已知多面体两两垂直面面面面则该多面体