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1、学习好资料 欢迎下载 一、参考例题 例 1如下图，ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线MNBC，设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交BCA 的外角平分线于点 F.(1)求证：EO=FO(2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明 OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证OEC、OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：ECF=90，由(1)可证得 OE=OF，所以要
2、使四边形 AECF是矩形,只需 OA=OC.证明：(1)CE、CF 分别是ACB、ACD 的平分线.ACE=BCE，ACF=DCF MNBC OEC=ECB，OFC=FCD ACE=OEC，ACF=OFC OE=OC，OF=OC OE=OF(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，即 OA=OC 又由(1)证得 OE=OF 四边形 AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：ECA+ACF=21ACB+21ACD=21(ACB+ACD)=90 即ECF=90 四边形 AECF 是矩形.因此：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形.例 2如下图，已知
3、矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，OFAD 于F，OF=3 cm，AEBD 于 E，且 BEED=13，求 AC 的长.学习好资料 欢迎下载 分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出 BD的长，即 AC 的长.解：四边形 ABCD 是矩形.AC=BD,OB=OD=OA=OC 又BEED=13 BEBO=12 BE=EO 又AEBO ABEADE AB=OA 即 AB=AO=OB BAE=EAO=30，FAO=30 ABEAOF BE=OF=3 cm,BD=12 cm
4、 AC=BD=12 cm 二、参考练习 1.如图，有一矩形纸片 ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿 EF 折叠，使点 B 与 D 重合，求折痕 EF 的长.解：连结 BD、BE、DF 由折叠的意义可知：EFBD，EF 平分 BD.BE=ED,BF=FD 四边形 ABCD 为矩形 AB=CD，AD=BC，C=90，ADBC EDO=FBO 点 B 和 D 重合 BO=DO，BOF=DOE BOFDOE ED=BF，ED=BF=FD=BE 四边形 BFDE 是菱形 S菱形=21BDEF=BFCD BF=DF，可设 BF=DF=x 则 FC=8x 在 RtFCD 中，根据勾股定理得：
5、x2=(8x)2+62 点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件
6、时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 x=425 6425682122EF EF=7.5 因此，折痕 EF 的长为 7.5 cm.2.当平行四边形 ABCD 满足条件_时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：BAC=90或 AC=BD 或 OA=OB 或ABC+ADC=180或BAD+BCD=180等条件中的任一个即可.典型例题 例 1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积 分析 （1）由 E为 AB的中点，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（2）而，
7、利用勾股定理可以求出AC（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 解 （1）连结BD，四边形ABCD是菱形，是AB的中点，且，是等边三角形，也是等边三角形 （2）四边形ABCD是菱形，AC与BD互相垂直平分，点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由
8、矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 （3）菱形ABCD的面积 说明：本题中的菱形有一个内角是 60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点 例 2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F 求证：分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论 证明 四边形ABCD是菱形，且，例 3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，求的度数.
9、解答：连结AC.四边形ABCD为菱形，.与为等边三角形.，点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载
10、因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 ，为等边三角形.，说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证.例 4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且 求证：垂直平分 分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分 证明：四边形、都是矩形 ，四边形是平行四边形 ，在和中 ，四边形是平行四边形 四边形是菱形 平分 平分 垂直平分 点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明
11、假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 例 5 如图，中，、在直线上，且 求证：分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论 证明 四边形是
12、平行四边形 ，在和中 同理：四边形是平行四边形 四边形是菱形 典型例题 例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数 解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为 3x，根据题意，得，解得，这个平行四边形的四个内角的度数分别为45，135，45，135 点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分
13、的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 例 2 已知：如图，的周长为 60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长 分析 由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的
14、周长多 8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长 解 四边形为平行四边形，答：这个平行四边形各边长分别为 19cm，11cm，19cm，11cm 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差 例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由 分析 观察图形，从而可说明 证明 在中，交于O，点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件
15、即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 例 4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：分析 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，
16、斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形 ABCD 是矩形，又，。例 5 O是ABCD对角线的交点，的周长为 59，则_，若与的周长之差为 15，则_，ABCD的周长=_.解答：ABCD中，.的周长 .在ABCD中，.的周长的周长 ABCD的周长 点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到
17、的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一学习好资料 欢迎下载 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.例 6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，.求这个平行四边形的面积.解答：设.四边形ABCD为平行四边形，.又四边形ABCD的周
18、长为 36，解由，组成的方程组，得.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.点求证当点运动到何处时四边形是矩形并说明你的结论分析要证明可借助第三条线段即证这两对线段又分别在两个三角形中所以只需证是等腰三角形由已知条件即可证明假设四边形是矩形则对角线互相平分且相等四个角都是直角由行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形由知即四边形是矩形因此当点运动到的中点时四边形是矩形例如下图已知矩形的对角线相交于于于且求的长学习好资料欢迎下载分析本题主要利用矩形的有关性质进行计算即由矩形的片将纸片沿折叠使点与重合求折痕的长解连结由折叠的意义可知平分四边形为矩形点和重合四边形是菱形菱形可设则在中根据勾股定理得学习好资料欢迎下载因此折痕的长为当平行四边形满足条件时它成为矩形填上你认为正确的一