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1、学习必备欢迎下载一、参考例题例 1如下图， ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点O 作直线MNBC，设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于点F. (1)求证： EO=FO(2)当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论 . 分析：(1)要证明 OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证OEC、OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明 . (2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到： ECF=90，由(1)可证得 OE=OF，
2、所以要使四边形 AECF是矩形 ,只需 OA=OC. 证明： (1)CE、CF 分别是 ACB、ACD 的平分线 . ACE=BCE，ACF=DCFMNBCOEC=ECB，OFC=FCDACE=OEC，ACF=OFCOE=OC，OF=OCOE=OF(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，即 OA=OC又由(1)证得 OE=OF四边形 AECF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知： ECA+ACF=21ACB+21ACD=21(ACB+ACD)=90即ECF=90四边形 AECF 是矩形 . 因此：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形AECF 是矩形 . 精选学
3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载例 2如下图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，OFAD 于F，OF=3 cm，AEBD 于 E，且 BEED=13，求 AC 的长. 分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等； 可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出 BD的长，即 AC 的长. 解：四边形 ABCD 是矩形 . AC=BD,OB=OD=OA=OC又BEED=13 BEBO=12 BE=EO又AEBOABEADE
4、AB=OA 即 AB=AO=OBBAE=EAO=30， FAO=30ABEAOFBE=OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm 二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿 EF 折叠，使点 B 与 D 重合，求折痕 EF 的长. 解：连结 BD、BE、DF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载由折叠的意义可知： EFBD，EF 平分 BD. BE=ED,BF=FD四边形 ABCD 为矩形AB=CD，AD=BC，C=90，ADBCEDO=FBO点
5、B 和 D 重合BO=DO，BOF=DOEBOFDOEED=BF，ED=BF=FD=BE四边形 BFDE 是菱形S菱形=21BDEF=BFCDBF=DF，可设 BF=DF=x则 FC=8x在 RtFCD 中，根据勾股定理得：x2=(8x)2+62x=4256425682122EFEF=7.5 因此，折痕 EF 的长为 7.5 cm. 2.当平行四边形 ABCD 满足条件 _时，它成为矩形 (填上你认为正确的一个条件即可 ). 答案：BAC=90或 AC=BD 或 OA=OB 或ABC+ADC=180或 BAD+BCD= 180等条件中的任一个即可. 精选学习资料 - - - - - - - -
6、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载典型例题例 1 如图，在菱形 ABCD 中，E是 AB的中点，且，求：（1）的度数；（ 2）对角线 AC的长；（ 3）菱形 ABCD 的面积分析（1）由 E为 AB的中点，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（ 2）而，利用勾股定理可以求出AC （3）由菱形的对角线互相垂直，可知解（1）连结 BD ，四边形 ABCD 是菱形，是 AB的中点，且，是等边三角形，也是等边三角形（2）四边形 ABCD 是菱形， AC与 BD互相垂直平分，（3）菱形 ABCD 的面积说明：本
7、题中的菱形有一个内角是60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例 2 已知：如图，在菱形ABCD 中，于于 F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载求证：分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论证明四边形 ABCD 是菱形，且，例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E，F 分别是 BC ，CD上的一点，求的度数 . 解答：连结 AC . 四边形 ABCD 为菱形，. 与为等边三角形 . ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
8、归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载，为等边三角形 . ，说明 本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC ，证. 例 4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形，四边形是平行四边形，在和中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载，四边形是平行四边形四边形是菱形平分平分垂直平分例 5 如图，中，、在直线上，且求证：分析要证
9、，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明四边形是平行四边形，在和中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载同理：四边形是平行四边形四边形是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载典型例题例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根
10、据题意，得，解得，这个平行四边形的四个内角的度数分别为45，135，45，135例 2 已知：如图，的周长为 60cm ，对角线 AC 、BD相交于点 O ，的周长比的周长多 8cm ，求这个平行四边形各边的长分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm ， 又由的周长比的周长多 8cm ， 可知cm ， 由此两式，可求得各边的长解四边形为平行四边形，答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（ 2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边
11、之差例 3 已知：如图，在中，交于点 O ，过 O点作 EF交 AB 、CD于 E、F，那么 OE 、OF是否相等，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载分析观察图形，从而可说明证明在中，交于 O ，例 4 已知：如图，点E在矩形 ABCD 的边 BC上，且，垂足为 F。求证：分析观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结 AE ，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形 ABCD 是矩形，又，。例 5 O是ABCD 对角线的交点，的
12、周长为 59，则_， 若与的周长之差为 15，则_，ABCD的周长 =_. 解答：ABCD 中，. 的周长. 在ABCD 中，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载的周长的周长ABCD 的周长说明：本题考查平行四边形的性质， 解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差 . 例 6 已知：如图，ABCD 的周长是，由钝角顶点 D向 AB ，BC引两条高 DE ，DF ，且，. 求这个平行四边形的面积. 解答：设. 四边形 ABCD 为平行四边形，. 又四边形 ABCD 的周长为 36，解由，组成的方程组，得. . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页