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1、-特殊平行四边形典型例题解析题-第 8 页一、参考例题 例1如下图，ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证OEC、OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：ECF=90，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只
2、需OA=OC.证明：(1)CE、CF分别是ACB、ACD的平分线.ACE=BCE，ACF=DCFMNBCOEC=ECB，OFC=FCDACE=OEC，ACF=OFCOE=OC，OF=OCOE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：ECA+ACF=ACB+ACD= (ACB+ACD)=90即ECF=90四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.例2如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OFAD于F，OF=3 cm，AEBD于E，且BEED=
3、13，求AC的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长.解：四边形ABCD是矩形.AC=BD,OB=OD=OA=OC又BEED=13BEBO=12BE=EO又AEBOABEADEAB=OA即AB=AO=OBBAE=EAO=30，FAO=30ABEAOFBE=OF=3 cm,BD=12 cmAC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF由折叠
4、的意义可知：EFBD，EF平分BD.BE=ED,BF=FD四边形ABCD为矩形AB=CD，AD=BC，C=90，ADBCEDO=FBO点B和D重合BO=DO，BOF=DOEBOFDOEED=BF，ED=BF=FD=BE四边形BFDE是菱形S菱形=BDEF=BFCDBF=DF，可设BF=DF=x则FC=8x在RtFCD中，根据勾股定理得：x2=(8x)2+62x=EF因此，折痕EF的长为7.5 cm.ABCD满足条件_时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：BAC=90或AC=BD或OA=OB或ABC+ADC=180或BAD+BCD= 180等条件中的任一个即可.典型例题例1 如图
5、，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积分析 （1）由E为AB的中点，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（2）而，利用勾股定理可以求出AC（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 解 （1）连结BD，四边形ABCD是菱形， 是AB的中点，且， 是等边三角形，也是等边三角形（2）四边形ABCD是菱形，AC与BD互相垂直平分，（3）菱形ABCD的面积 说明：本题中的菱形有一个内角是60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F求证：
6、分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论证明 四边形ABCD是菱形，且，例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，求的度数. 解答：连结AC. 四边形ABCD为菱形，与为等边三角形. 为等边三角形. 说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证. 例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形四边形是平行四边形在和中四边形是平行四边形四边形是菱形平分 平分 垂直平分例5 如图，中
7、，、在直线上，且求证：分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 四边形是平行四边形在和中 同理： 四边形是平行四边形 四边形是菱形典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得， 这个平行四边形的四个内角的度数分别为45，135，45，135例2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长分析 由平行四边形对边相等，
8、可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形为平行四边形， 答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由分析 观察图形，从而可说明 证明 在中，交于O， 例4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证： 分析 观察图形，与都是直角三角
9、形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形ABCD是矩形， 又，。 例5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，则_，若与的周长之差为15，则_，ABCD的周长=_. 解答：ABCD中，. 的周长 在ABCD中，. 的周长的周长 ABCD的周长 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. 例6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积. 解答：设. 四边形ABCD为平行四边形，又四边形ABCD的周长为36， 解由，组成的方程组，得. 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.