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1、一、参考例题例 1如下图， ABC中，点 O 是 AC边上的一个动点，过点O 作直线MNBC ，设 MN 交BCA的平分线于点 E，交 BCA的外角平分线于点F.(1)求证： EO =FO(2)当点 O运动到何处时，四边形AECF 是矩形并说明你的结论 .分析：(1)要证明 OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF=OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证OEC 、OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明 .(2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到： ECF =90，由 (1)可证得 OE =OF，所以要使四边形
2、 AECF是矩形,只需 OA=OC .证明： (1)CE 、CF分别是 ACB 、ACD的平分线 .ACE =BCE ，ACF =DCFMNBC OEC =ECB ，OFC =FCDACE =OEC ，ACF =OFCOE =OC ，OF=OCOE =OF(2)当点 O运动到 AC的中点时，即 OA=OC又由(1)证得 OE =OF四边形 AECF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知： ECA +ACF =21ACB +21ACD =21(ACB +ACD )=90即ECF =90四边形 AECF 是矩形 .因此：当点 O运动到 AC的中点时，四边形AECF 是矩形
3、 .例 2如下图，已知矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于 O，OF AD 于 F，OF=3 cm，AEBD于 E，且 BE ED =13，求 AC的长.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出 BE=OE ，进而得出 AB=AO，即得出 BE =OF =3 cm，求出 BD的长，即 AC的长.解：四边形 ABCD是矩形 . AC =BD,OB=OD=
4、OA=OC又BE ED=13 BEBO =12 BE=EO又AE BOABE ADEAB=OA即 AB=AO=OBBAE =EAO =30， FAO =30ABE AOFBE =OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6 cm,BC =8 cm，将纸片沿 EF折叠，使点 B与 D 重合，求折痕 EF的长.解：连结 BD、BE 、DF由折叠的意义可知： EF BD，EF平分 BD.BE =ED,BF =FD四边形 ABCD为矩形AB=CD，AD=BC ，C =90，ADBCEDO =FBO点 B和 D 重合BO=DO，BOF =
5、DOEBOF DOEED=BF，ED=BF=FD=BE四边形 BFDE是菱形S菱形=21BDEF =BF CDBF=DF，可设 BF=DF=x则 FC =8x在 RtFCD中，根据勾股定理得：x2=(8x)2+62精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - x=4256425682122EFEF =因此，折痕 EF的长为 7.5 cm.2.当平行四边形ABCD满足条件 _时，它成为矩形 (填上你认为正确的一个条件即可 ).答案： BAC =9
6、0或 AC=BD 或 OA=OB 或ABC +ADC =180或BAD+BCD = 180等条件中的任一个即可 .典型例题例 1 如图，在菱形 ABCD中，E是 AB的中点，且，求：（1）的度数；（ 2）对角线 AC的长；（ 3）菱形 ABCD的面积分析 （1）由 E为 AB的中点，可知 DE是 AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（2）而，利用勾股定理可以求出AC（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解 （1）连结 BD，四边形 ABCD是菱形，是 AB的中点，且，是等边三角形，也是等边三角形（2）四边形 ABCD是菱形， AC与 BD互相垂直平分，精品资料 -
7、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （3）菱形 ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例 2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F求证：分析 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论证明 四边形 ABCD是菱形，且，例 3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是 BC ，CD上的一点，求的度数 . 解答：连结 AC . 四边形 ABCD为菱形
8、，. 与为等边三角形 . ， ，为等边三角形 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - ，说明 本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC ，证. 例 4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形，四边形是平行四边形，在和中，四边形是平行四边形四边形是菱形平分平分垂直平分例 5 如图，中， 、
9、 在直线上， 且精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 求证：分析 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 四边形是平行四边形，在和中同理：四边形是平行四边形四边形是菱形典型例题例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，这个平行
10、四边形的四个内角的度数分别为45，135，45，135例 2 已知： 如图，的周长为 60cm， 对角线 AC 、 BD相交于点 O，的周长比的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 分析 由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多 8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解 四边形为平行四边形，答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm
11、说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（ 2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在中，交于点 O，过 O点作 EF交 AB、CD于 E、F，那么 OE 、OF是否相等，说明理由分析 观察图形，从而可说明证明 在中，交于 O，例 4 已知：如图，点 E在矩形 ABCD的边 BC上，且，垂足为 F。求证：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -
12、分析 观察图形，与都是直角三角形， 且锐角，斜边， 因此这两个直角三角形全等。 在这个图形中，若连结 AE， 则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 四边形 ABCD是矩形，又，。例 5 O 是ABCD对角线的交点，的周长为 59，则_ ， 若与的周长之差为 15， 则_，ABCD的周长 =_. 解答：ABCD中，. 的周长. 在ABCD中，. 的周长的周长ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质， 解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差 . 例 6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点 D 向 AB，BC引两条高 DE，DF ，且，. 求这个平行四边形的面积 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解答：设. 四边形 ABCD为平行四边形，. 又四边形 ABCD的周长为 36，解由，组成的方程组，得. . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -