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1、第十一章圆锥曲线专练8椭圆大题（定值问题）1已知椭圆长轴长为4，在上运动，为的两个焦点，且的最小值为（1）求的方程；（2）已知过点，的动直线交于两点，线段的中点为，若为定值，试求的值2在平面直角坐标系中，设点，是椭圆上一点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆交于点、（1）若点在第一象限且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是则求出的最大值；若不是，请说明理由3已知椭圆过点，短轴的一个端点到焦点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）定义为，两点所在直线的斜率，若四边形为椭圆的内接四边形，且，相交于原点，且，
2、试判断与的和是否为定值若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由4已知椭圆的离心率为，且左顶点到右焦点的距离为5（1）求椭圆方程；（2）椭圆上有两点，为坐标原点，且，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值5已知椭圆的两个焦点为，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且的面积为（1）求的值；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若直线在轴、轴上的截距分别是，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由6已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为4的直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求
3、出此定值；若不是，说明理由第十一章圆锥曲线专练8椭圆大题（定值问题）1已知椭圆长轴长为4，在上运动，为的两个焦点，且的最小值为（1）求的方程；（2）已知过点，的动直线交于两点，线段的中点为，若为定值，试求的值解：（1）由题意得，设，长分别为，则，（当且仅当时取等号）从而，得，则椭圆的标准方程为（2）若直线的斜率不存在，易得；若直线的斜率存在，设其方程为，联立，得，易知恒成立，设，则，且，要使上式为常数，必须且只需，即此时为定值，符合题意综上可知，当时，能使得若2在平面直角坐标系中，设点，是椭圆上一点，以为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆交于点、（1）若点在第一象限且直线，互
4、相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，求证：为定值；（3）探究是否为定值，若是则求出的最大值；若不是，请说明理由（1）解：由题意可知，且，故，所以，因为点，是椭圆上一点，则有，由可得，故，所以圆的方程为；（2）证明：设直线的方程为，直线的方程为，因为与均与圆相切，联立方程，可得，同理可得，由，可得，是方程的两个不相等的实数根，所以，又点，是椭圆上一点，则有，代入，可得，故为定值；（3）解：当直线，不落在坐标轴上时，设，由（2）可知，则，因为点，在椭圆上，则有，整理可得，所以，故；当直线落在坐标轴上时，则有综上所述，则，当且仅当时取等号，故为定值，的最大值为3已知椭圆过点，
5、短轴的一个端点到焦点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）定义为，两点所在直线的斜率，若四边形为椭圆的内接四边形，且，相交于原点，且，试判断与的和是否为定值若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由解：（1）因为椭圆过点，所以，又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为2，即，联立方程解得，所以椭圆的方程为（2）理由如下：设直线的方程为，联立，得，因为，所以，所以，又，整理得，可以轮换，的斜率一个是，另一个就是，4已知椭圆的离心率为，且左顶点到右焦点的距离为5（1）求椭圆方程；（2）椭圆上有两点，为坐标原点，且，证明存在定点，使得到直线的距离为定值，并求出定值解：（1）由已知可得，且，解得，所以
6、，所以椭圆的方程为；（2）设，则由，可得，即，当直线轴时，所以，又，解得，即，所以此时原点到直线的距离为；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立方程，消去整理可得，则，所以，所以，化简可得，设点，则点到直线的距离为，当时， 为定值，综上，存在定点，使得到直线的距离为定值，定值为5已知椭圆的两个焦点为，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，且的面积为（1）求的值；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若直线在轴、轴上的截距分别是，问是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由解：（1）设椭圆的焦距为，则，过右焦点作斜率为1的直线为：，显然，故椭圆方程为，联立方程，
7、整理可得：，设，则，因为三角形的面积，且，则，解得，所以，又，所以；（2）设点，由是椭圆上的一点，可知点在圆外，过作圆的切线有两条，设切点，是过作圆的切线产生的切点弦，由，是切点知，所以直线，因为，在上，所以，即直线，又因为，在上，则，所以直线，同理直线，所以直线上有两点满足方程，因为两点定唯一一条直线，所以直线的方程为：，由直线在轴，轴的截距分别为，于是，又因为，故为定值6已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，是面积为4的直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由解：（1）由为椭圆的上顶点，是面积为4的直角三角形可得：，且，解得：，所以，所以椭圆的方程为：；（2）当切线的斜率不存在时，其方程，将代入椭圆的方程：得，设，又，所以，同理可得，也有，当切线的斜率存在时，设方程为：，设，直线与圆相切，所以，即，联立，整理可得：，又因为，又，因为，所以，综上所述：