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1、第十一章圆锥曲线专练椭圆大题（证明题）1已知椭圆过点和点（）求椭圆的标准方程和离心率；（）斜率为的直线与椭圆交于，两点，不与重合），直线，与轴分别交于，两点，证明：2已知点是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于点，求证：以为直径的圆过点3已知抛物线的焦点为，准线为，椭圆的上焦点到的距离为5，过的直线与交于，两点，当轴时，（1）求椭圆的方程；（2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：4椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点，（异于椭圆顶点，且与轴不
2、垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值5已知椭圆的左、右焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，求证：6已知椭圆的中心为坐标原点，且以直线所过的定点为一个焦点，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2（）求椭圆的标准方程；（）设点，分别是椭圆的左、右顶点，分别是椭圆和圆上的动点，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于不同的两点、，求证：与所在的直线互相垂直第十一章圆锥曲线专练椭圆大题（证明题）1已知椭圆过点和点（）求椭圆的标准方程和离心率；（）斜率为的直线与椭圆交于，两点，不与重合），直线，与轴分
3、别交于，两点，证明：解：（）因为椭圆过点和点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（）证明：设斜率为的直线为，联立，得，所以，直线的方程为，即，令，得，所以，同理可得，的中点横坐标为，又，所以为线段的垂直平分线，所以2已知点是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆（1）求椭圆的标准方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线交椭圆于点，求证：以为直径的圆过点（1）解：由题意，分别为椭圆的左焦点和右焦点，所以，又的最大值为，则，所以，故椭圆的标准方程为；（2）证明：当切线的斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得，切线方程为，代入椭圆方程可得，则，所以以为直径的圆过点；当切线的斜率存在时
4、，设切线方程为，由题意可得，即，设，联立方程组，可得，所以，因为，因为，所以，故以为直径的圆过点综上所述，以为直径的圆过点3已知抛物线的焦点为，准线为，椭圆的上焦点到的距离为5，过的直线与交于，两点，当轴时，（1）求椭圆的方程；（2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：解：（1）由抛物线的方程：可得焦点，准线的方程为，设，则，所以，所以过垂直于轴的直线为，代入椭圆的方程可得，所以可得，由题意可得，解得，所以椭圆的方程为：；（2）证明：由题意知，当与轴重合时，由题意知，当与轴不重合时，设的方程为，则，时，直线，的斜率之和为，由，得：，将代入得，所以，则，从而，故直线，的倾斜角互补，所以，因此，
5、综上，4椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点，（异于椭圆顶点，且与轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值解：（1）由椭圆的方程可得，由题意可得，解得：，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立整理可得：，即，且，所以，所以，到直线的距离，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以直线与的斜率之积为定值5已知椭圆的左、右焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，求证：（1）解：因为，所以又因为离心率
6、，所以，则，所以椭圆的标准方程是（2）证明：由题意知，则直线的解析式为，代入椭圆方程，得设，则所以，又因为，所以6已知椭圆的中心为坐标原点，且以直线所过的定点为一个焦点，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2（）求椭圆的标准方程；（）设点，分别是椭圆的左、右顶点，分别是椭圆和圆上的动点，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于不同的两点、，求证：与所在的直线互相垂直解：（）因为直线恒过点，所以椭圆的一个焦点为，设椭圆的方程为，则，因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，所以，即，联立，得，所以椭圆的方程为；证明：（）由题意得，设，则，则直线的方程为，则，直线的方程为，则，所以，则，所以，即与所在直线互相垂直