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1、第十一章圆锥曲线专练10椭圆大题（探索性问题）1已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由2椭圆：当与抛物线有一个公共焦点且经过点（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点是否存在点满足，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由3已知曲线的方程为，过，且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为（1）求曲线的标准方程；（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别交轴于点，试问在轴上是否存在一点，使得
2、？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由4已知椭圆的左、右焦点分别为，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是（1）求的方程；（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由5已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，的周长为，面积为（1）求的方程（2）设的左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则_（从以下三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）求直线和交点的轨迹方程；是否存在实常数，使得恒成立；过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点第十一章圆锥曲线专练10椭圆大题（探索性问题）1已
3、知椭圆，点在椭圆上，椭圆的左顶点为，上顶点为，原点到直线的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由解：（1）因为点在椭圆上，所以，直线的方程为，即，所以，所以，联立，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）假设能构成等腰直角三角形，其中，由题意可知，直角边，不可能垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为，（不妨设，则边所在直线的方程为联立直线方程和椭圆方程，得（舍，故，用代替上式中的，得，由，得，即，即，解得或故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形2椭圆：当与抛物线有一个公共焦点
4、且经过点（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点是否存在点满足，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由解：（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，所以抛物线焦点坐标为，即在椭圆，将点代入曲线的方程，由，得，所以，所以椭圆的方程为；则椭圆的离心率（2）存在符合要求的点因为与椭圆相交于，两点，联立方程，整理得，设，坐标为，则，得，因为满足，且，所以的重心在圆，又因为，所以，即，因为，所以，即，所以，所以，令，所以，则，所以或所以，的取值范围3已知曲线的方程为，过，且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为（1）求曲线的标准方程；（2）过点的直线交于，两点，已知点，直线，分别
5、交轴于点，试问在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）因为，所以曲线是以为焦点，长轴长为的椭圆，设曲线的标准方程为，又过，且与轴垂直的直线被曲线截得的线段长为，于是，解得，所以曲线的标准方程为；（2）假设在轴上存在定点满足条件，设点的坐标为，当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，联立方程组，可得，则，解得或，且，当时，直线与椭圆相切，切点的横坐标为，所以，因为，则，所以直线的方程为，直线的方程为，设，令，解得，则，由，则，所以，所以；当直线与轴重合时，由，则，解得综上所述，在轴上存在一点，使得4已知椭圆的左、右焦点分别为，点，直线的倾斜角为，原点到直线的
6、距离是（1）求的方程；（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由题意，点，直线的倾斜角为，所以，在中，求得点到直线的距离是，又原点到直线的距离是，则，所以，故的标准方程为；（2）当点为椭圆右顶点时，所以；当点为椭圆左顶点时，同理可得，；当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，设直线的方程是，直线的方程是，分别代入椭圆方程，可得和，设，则，由，可得，则，由直线的方程，可得，所以，由，同理可得，所以为定值综上所述，为定值65已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，的周长为，面积为（1）求的方程（2）设的左、右顶点分别为，过点
7、的直线与交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，则_（从以下三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）求直线和交点的轨迹方程；是否存在实常数，使得恒成立；过点作关于轴的对称点，连结，得到直线，试探究：直线是否恒过定点解：（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为：（2）设直线的方程为，选择，联立方程，化简整理得：，假设，由韦达定理，得，所以，直线的方程：；直线的方程：，联立方程，得，两式相除，得，即，解得，所以直线和交点的轨迹方程是直线选择联立方程，化简整理，得，假设，由韦达定理，得，所以于是，故存在实数，使得恒成立选择：设，联立方程，得，化简整理，得，由韦达定理，得，直线与轴交于点，说明，三点共线，于是，假设，即，亦即，则，所以，即，解得，所以直线恒过定点