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1、学习必备 欢迎下载 辅助角公式在解题中的妙用 在近来的学习中，多次出现了通过对asinx+bcosx型式子的化简来求三角函数的有关性质的题目!此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式，把式子变为两角和与差的正弦、余弦公式的形式再求解，但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形，而且此类做法耗费的时间也较多，如果我们能在平时的练习中总结出asinx+bcosx公式，则可省略对中间步骤的运算，直接得出结果，这对快速准确地解题是大有好处的！公式的推导 对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx abxaabxbab222222(sincos
2、)。由于上式中的aab22与bab22的平方和为 1，故可记aab22=cos，bab22=sin，则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222 由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，其中由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子 asinx+bcosx=abx22sin()为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k 的形式。一.求周期 例 1求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin(
3、)4xcos(2y 所以函数 y 的最小正周期 T=。评注：将三角式化为 y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二.求最值 例 2.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x ,02，求 f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。由0242434 xx。学习必备 欢迎下载 当244x，即 x=0 时，sin()24x 最小值22；当24238xx，即时sin()24x 取最大值 1。从而 f(x)在,02上的最大值是 1，最小值是 2。三.求值域
4、例 4.求函数f xkxkxx()cos()cos()sin()613261322 332(,)xR kZ的值域。解：。)2x2sin(46sin)x23cos(6cos)x23sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f 所以函数 f(x)的值域是-4，4。四.图象对称问题 例 6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=8对称，那么 a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1 解：可化为yax122sin()。知x 8时，y 取得最值 12 a，即 sin()cos()()()28281221112
5、11210122222 aaaaaaaaaD选（）。五.图象变换 例 7 已知函数。Rx,1xcosxsin23cos21y2该函数的图象可由yx xRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：yxx14123421(cos)sin 12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。（1）向左平移6，得到 y=sin(x+6)的图象；关性质的题目此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式把式子变为两角和与差的正弦余弦公式的形式再求解但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形而且此类做法耗费的时间也较多如果我们能在平时的如的三角式可变形如下由于式中的
6、与的平方和为故可记则由此我们得到结论其中由来确定通常称式子的形式为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为一求周期例求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注将三角值当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求值域例求函数的值域解所以函数的值域是四图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选五图象变换例已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样学习必备 欢迎下载（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得 y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得 y=21sin(2x+6)的图象；（4）
7、将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到 y=21sin(2x+6)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得 y=1xcosxsin23xcos212的图象。六.求值 例 8.已知函数 f(x)=xsin32+sinxcosx。设（0，），f(2)=2341，求 sin的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由 f(2)=sin(3)412323，得 sin(3)=41。又（0，）)34,3(3。而 sin41233，故+),2(3，则 cos(+3)=415。sin=sin3)3(=sin3sin)3cos(3cos)3(=23)415(2141
8、=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求 sin时，巧用凑角法：=（+3）-3，并且判断出+3的范围，进而求出 cos(+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。七.求系数 例 9.若函数 f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为 2，试确定常数 a 的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a412，其中角由 sin=22a1acos,a11来确定。由已知有44a412，解得 a=15。八.解三角不等式 例 10.已知函数 f(x)=sin2x+sin2x，x2
9、,0，求使 f(x)为正值的 x 的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。由 f(x)0，有 sin(2x-,22)4则得 2k-45k24x24，故 kxk+)Zk(43。再由 x0,2，可取 k=0，1，得所求集合是47x，43x0 x或。通过对以上几例的观察!公式所起到的作用是化多个三角函数为一个三角函数!化异名三角函数为同名三角函数这实际上也是我们三角化简中一种重要的思想进一步我们可以得知!在三角函数式中出现 asinx+bcosx 型式子时!可以利关性质的题目此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式把式子变为两角和与差的正弦余弦公式的形式再求解但往往
10、在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形而且此类做法耗费的时间也较多如果我们能在平时的如的三角式可变形如下由于式中的与的平方和为故可记则由此我们得到结论其中由来确定通常称式子的形式为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为一求周期例求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注将三角值当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求值域例求函数的值域解所以函数的值域是四图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选五图象变换例已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样学习必备 欢迎下载 用公式迅速化简!使解题有事半功倍的效果！关性质的题目此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式把式子变为两角和与差的正弦余弦公式的形式再求解但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形而且此类做法耗费的时间也较多如果我们能在平时的如的三角式可变形如下由于式中的与的平方和为故可记则由此我们得到结论其中由来确定通常称式子的形式为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为一求周期例求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注将三角值当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求值域例求函数的值域解所以函数的值域是四图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选五图象变换例已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样