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1、辅助角公式在高考三角题中的应用 柳毓 对于形如 y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx abxaabxbab222222(sincos)。由于 上式中的aab22与bab22的平方和 为 1，故 可记aab22=cos ，bab22=sin，则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222 由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，（*）其中由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公
2、式的应用，举例分类简析。一.求周期 例 1（2006 年上海卷选）求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y 所以函数 y 的最小正周期 T=。评注：将三角式化为 y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二.求最值 例 2.（2003 年北京市）已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x ,02，求 f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-si
3、n2x=224sin()x。由0242434 xx。当244x，即 x=0 时，sin()24x 最小值22；当24238xx，即时sin()24x 取最大值 1。从而 f(x)在,02上的最大值是 1，最小值是 2。三.求单调区间 例 3.（2005 年江西省）已知向量，axxbx(cos,tan()(sin()2224224，tan()x24，令ba)x(f，求函数 f(x)在0，上的单调区间。解：f xab()。)4xsin(2xcosxsin12xcos22xcos2xsin22xtan112xtan2xtan12xtan1)2xcos222xsin22(2xcos22)42xtan(
4、)42xtan()42xsin(2xcos222 先由04454 xx。反之再由4420424544；xxxx。所以 f(x)在04，上单调递增，在4，上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=Asin(x+)+k 的形式，是求单调区间的通法。四.求值域 例 4.求函数f xkxkxx()cos()cos()sin()613261322 332(,)xR kZ的值域。们得到结论其中由来确定通常称式子为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为的形式下面结合近年高考三角题就辅助角公式的应用举例分类简析一求周期例年上
5、海卷选求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求单调区间例年江西省已知向量解令求函数在上的单调区间先由反之再由所以在上单调递增在上单调递减评注以向量的形式给出条件或结论是近两年来三角命题的新趋势但最终仍要归例年新课程已知函数画出函数在区间上的图象解由条件列表如下描点连线图象略六图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选七图象变换例年全国已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移解：。)2x2sin(46sin)x23cos(6cos)x23sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2c
6、os()x23k2cos()x(f 所以函数 f(x)的值域是-4，4。五.画图象 例 5.（2003 年新课程）已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数 y=f(x)在区间22，上的图象。解：。)4x2sin(21x2sinx2cos1xcosxsin2xsin2)x(fy2 由条件 22542434 xx。列表如下 24x 54 2 0 2 34 x 2 38 8 8 38 2 y 2 1 12 1 12 2 描点连线，图象略。六.图象对称问题 例 6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=8对称，那么 a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1
7、 解：可化为yax122sin()。知x 8时，y 取得最值 12 a，即 们得到结论其中由来确定通常称式子为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为的形式下面结合近年高考三角题就辅助角公式的应用举例分类简析一求周期例年上海卷选求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求单调区间例年江西省已知向量解令求函数在上的单调区间先由反之再由所以在上单调递增在上单调递减评注以向量的形式给出条件或结论是近两年来三角命题的新趋势但最终仍要归例年新课程已知函数画出函数在区间上的图象解由条件列表如下描点连线图象略六图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可
8、化为知时取得最值即选七图象变换例年全国已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移sin()cos()()()2828122111211210122222 aaaaaaaaaD选（）。七.图象变换 例 7（2000 年全国）已知函数。Rx,1xcosxsin23cos21y2该函数的图象可由yx xRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 解：yxx14123421(cos)sin 12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移6，得到 y=sin(x+6)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐
9、标变为原来的21倍，纵坐标不变，得 y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得 y=21sin(2x+6)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到 y=21sin(2x+6)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得 y=1xcosxsin23xcos212的图象。八.求值 例 8.已知函数 f(x)=xsin32+sinxcosx。设（0，），f(2)=2341，求 sin的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由 f(2)=sin(3)412323，们得到结论其中由来确定通常称式
10、子为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为的形式下面结合近年高考三角题就辅助角公式的应用举例分类简析一求周期例年上海卷选求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求单调区间例年江西省已知向量解令求函数在上的单调区间先由反之再由所以在上单调递增在上单调递减评注以向量的形式给出条件或结论是近两年来三角命题的新趋势但最终仍要归例年新课程已知函数画出函数在区间上的图象解由条件列表如下描点连线图象略六图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选七图象变换例年全国已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移得 sin(3)=41。
11、又（0，）)34,3(3。而 sin41233，故+),2(3，则 cos(+3)=415。sin=sin3)3(=sin3sin)3cos(3cos)3(=23)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求 sin时，巧用凑角法：=（+3）-3，并且判断出+3的范围，进而求出 cos(+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。九.求系数 例 9.（2005 年重庆）若函数 f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为 2，试确定常数 a的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axc
12、os21=)xsin(4a412，其中角由 sin=22a1acos,a11来确定。由已知有44a412，解得 a=15。十.解三角不等式 例 10.（2005 年全国）已知函数 f(x)=sin2x+sin2x，x2,0，求使 f(x)为正值的 x 的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。们得到结论其中由来确定通常称式子为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为的形式下面结合近年高考三角题就辅助角公式的应用举例分类简析一求周期例年上海卷选求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求单调区间例年江西省已知向量解
13、令求函数在上的单调区间先由反之再由所以在上单调递增在上单调递减评注以向量的形式给出条件或结论是近两年来三角命题的新趋势但最终仍要归例年新课程已知函数画出函数在区间上的图象解由条件列表如下描点连线图象略六图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选七图象变换例年全国已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移由 f(x)0，有 sin(2x-,22)4 则得 2k-45k24x24，故 kxk+)Zk(43。再由 x0,2，可取 k=0，1，得所求集合是 47x，43x0 x或。们得到结论其中由来确定通常称式子为辅助角公式它可以将多个三角式的函数问题最终化为的形式下面结合近年高考三角题就辅助角公式的应用举例分类简析一求周期例年上海卷选求函数的最小正周期解所以函数的最小正周期评注当即时取最大值从而在上的最大值是最小值是三求单调区间例年江西省已知向量解令求函数在上的单调区间先由反之再由所以在上单调递增在上单调递减评注以向量的形式给出条件或结论是近两年来三角命题的新趋势但最终仍要归例年新课程已知函数画出函数在区间上的图象解由条件列表如下描点连线图象略六图象对称问题例如果函数的图象关于直线对称那么解可化为知时取得最值即选七图象变换例年全国已知函数该函数的图象可由的图象经过怎样的平移