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1、丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸辅助角公式在高考三角题中的应用 柳毓 对于形如 y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosx abxaabxbab222222(sincos)。由于 上式中的aab22与bab22的平方和 为 1，故 可记aab22=cos ，bab22=sin，则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222 由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，（*）其中由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个
2、三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期 例 1（2006 年上海卷选）求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y 所以函数 y的最小正周期 T=。评注：将三角式化为 y=Asin(x)+k 的形式，是求周期的主要途径。二.求最值 例 2.（2003 年北京市）已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x ,02，求 f(x)的最大值和最小值。解：f
3、(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃由0242434 xx。当244x ，即 x=0 时，sin()24x 最小值22；当24238xx，即时sin()24x 取最大值 1。从而 f(x)在,02上的最大值是 1，最小值是 2。三.求单调区间 例 3.（2005 年江西省）已知向量，axxbx(cos,tan()(sin()2224224，tan()x24，令ba)x(f，求函数 f(x)在0，上的单调区间。解：f xab(
4、)。)4xsin(2xcosxsin12xcos22xcos2xsin22xtan112xtan2xtan12xtan1)2xcos222xsin22(2xcos22)42xtan()42xtan()42xsin(2xcos222 先由04454 xx。反之再由4420424544；xxxx。所以 f(x)在04，上单调递增，在4，上单调递减。评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为 y=Asin(x+)+k 的形式，是求单调区间的通法。四.求值域 例 4.求函数f xkxkxx()cos()cos()sin()613261322
5、332(,)xR kZ的值域。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫解：。)2x2sin(46sin)x23cos(6cos)x23sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f 所以函数 f(x)的值域是-4，4。五.画图象 例 5.（2003年新课程）已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)，画出函数 y=f(x)在区间22，上的图象。解：。)4x2sin(21x2sinx2cos1xcosxsin2xsin2)x(fy2 由条件 2254243
6、4 xx。列表如下 24x 54 2 0 2 34 x 2 38 8 8 38 2 y 2 1 12 1 12 2 描点连线，图象略。六.图象对称问题 例 6.如果函数 y=sin2x+acos2x的图象关于直线 x=8对称，那么 a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1 解：可化为yax122sin()。知x 8时，y取得最值 12a，即 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟sin()cos()()()2828122111211210122222 aaaaaaaaaD选（）。七.图象变换 例 7（2000 年全国）已知函数。Rx,1xc
7、osxsin23cos21y2该函数的图象可由yx xRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 解：yxx14123421(cos)sin 12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。可将函数 y=sinx 的图象依次进行下述变换：（1）向左平移6，得到 y=sin(x+6)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得 y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得 y=21sin(2x+6)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到 y=21sin(2x+6
8、)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得 y=1xcosxsin23xcos212的图象。八.求值 例 8.已知函数 f(x)=xsin32+sinxcosx。设（0，），f(2)=2341，求 sin的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由 f(2)=sin(3)412323，丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹得 sin(3)=41。又（0，）)34,3(3。而 sin41233，故+),2(3，则 cos(+3)=415。sin=sin3)3(=sin3sin)3cos(3cos)3(=2
9、3)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求 sin时，巧用凑角法：=（+3）-3，并且判断出+3的范围，进而求出 cos(+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。九.求系数 例 9.（2005 年重庆）若函数 f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为 2，试确定常数 a的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a412，其中角由 sin=22a1acos,a11来确定。由已知有44a412，解得 a=15。十.解三角不等式 例 10.（2005年全国）已知函数 f(x)=sin2x+sin2x，x2,0，求使 f(x)为正值的 x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃由 f(x)0，有 sin(2x-,22)4 则得 2k-45k24x24，故 kxk+)Zk(43。再由 x0,2，可取 k=0，1，得所求集合是 47x，43x0 x或。