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1、20132013 年北京高考文科数学试题及答案年北京高考文科数学试题及答案本试卷满分 150 分，考试时 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题第一部分（选择题共共 4040 分）分）一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）求的一项）1已知集合1,0,1A ，|11Bxx，则AB（）A 0B1,0C0,1D1,0,12设a，b，cR，且ab，则（）AacbcB11abC22abD33ab3下列函数中，既是
2、偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A1yxBxyeC21yx Dlgyx4在复平面内，复数(2)ii对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5在ABC中，3a，5b，1sin3A，则sin B（）A15B59C53D16执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A1B23C1321D6109877双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是A12m B1m C1m D2m 8如图，在正方体1111ABCDABC D中，P为对角线1BD的三等分点，则P到各顶点的距离的不同取值有（）A3个B4个C5个D6个第二部分（选择题第二部分（选择题共共 110110 分）分）二、填空
3、题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）9若抛物线22ypx的焦点坐标为(1,0)，则p，准线方程为。10某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。11若等比数列 na满足2420aa，3540aa，则公比q；前n项和nS。12设D为不等式组02030 xxyxy所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为。13函数12log,1()2,1xxxf xx 的值域为。14 向量(1,1)A，(3,0)B，(2,1)C，若平面区域D由所有满足APABAC （12，01）的点P组成，则D的面积为。三、解答题（共三、解答题
4、（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共 13 分）已知函数21()(2cos1)sin2cos42f xxxx（1）求()f x的最小正周期及最大值。（2）若(,)2，且2()2f，求的值。16（本小题共 13 分）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染。某人随机选择 3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该市，并停留 2 天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此在在该市停留
5、期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17（本小题共 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD 底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA 底面ABCD（2）/BE平面PAD（3）平面BEF 平面PCD18（本小题共 13 分）已知函数2()sincosf xxxxx（1）若曲线()yf x在点(,()a f a处与直线yb相切，求a与b的值。（2）若曲线()yf x与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。19（本小题共 14 分）直线ykxm（0m）
6、W：2214xy相交于A，C两点，O是坐标原点（1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。20（本小题共 13 分）给定数列1a，2a，na。对1,2,3,1in，该数列前i项的最大值记为iA，后ni项1ia，2ia，na的最小值记为iB，iiidAB。（1）设数列 na为3，4，7，1，写出1d，2d，3d的值。（2）设1a，2a，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a，证明1d，2d，1nd是等比数列。（3）设1d，2d，1nd是公差大于0的等差数列，且10d，证明1a，2a，1na是等差数
7、列。2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）1B2D3C4A5B6C7C8B二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）92，1x 103112，121n122 5513(,2)143三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15（本小题共 13 分）解：（1）21()(2cos1)sin2cos42f
8、 xxxx1cos2 sin2cos42xxx11sin4cos422xx2sin(4)24x所以，最小正周期242T当4242xk（kZ），即216kx（kZ）时max2()2f x（2）因为22()sin(4)242f所以sin(4)14因为2，所以9174444所以5442，即91616（本小题共 13 分）解：（1）因为要停留 2 天，所以应该在 3 月 1 日至 13 日中的某天到达，共有 13 种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为1213P（2）此人停留的两天共有 13 种选择，分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9
9、)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14)其中只有一天重度污染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共 4 种，所以概率为2413P（3）因为第 5，6，7 三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17（本小题共 14 分）证明：（1）因为PAAD，平面PAD 底面ABCD且平面PAD底面ABCDAD所以PA 底面ABCD（2）因为E和F分别是CD和PC的中点，所以/EFPD，而EF 平面PAD，PD 平面PAD，所以/BE平面PAD（3）因为PA 底面ABCD，CD 平面ABCD所以PACD，即CDPA因为ABAD，/CDAB，所以/CD
10、AD而PA平面PAD，AD 平面PAD，且PAADA所以CD 平面PAD因为/ABCD，所以2CDAB，所以四边形ABED是平行四边形，所以/BEAD，而BE 平面PAD，AD 平面PAD所以/BE平面PAD，同理/EF平面PAD，而EF 平面BEF，BE 平面BEF且EFBEE所以平面/BEF平面PAD，所以CD 平面/BEF又因为CD 平面PCD所以平面BEF 平面PCD18（本小题共 13 分）解：（1）()2cos(2cos)fxxxxxx因为曲线()yf x在点(,()a f a处的切线为yb所以()0()faf ab，即22cos0sincosaaaaaaab，解得01ab（2）因
11、为2cos0 x所以当0 x 时()0fx，()f x单调递增当0 x 时()0fx，()f x单调递减所以当0 x 时，()f x取得最小值(0)1f，所以b的取值范围是(1,)19（本小题共 14 分）解：（1）线段OB的垂直平分线为12y，因为四边形OABC为菱形，所以直线12y 与椭圆的交点即为A，C两点对椭圆2214xy，令12y 得3x 所以2 3AC（2）方法一：当点B不是W的顶点时，联立方程2214ykxmxy得222(14)8440kxkmxm设11(,)A x y，12(,)C x y，则122814kmxxk，21224414mx xk，1212yykxmkxm12()2
12、k xxm228214k mmk 2214mk若四边形OABC为菱形，则OAOC，即22OAOC所以22221122xyxy即12122121()()()()xxxxyyyy因为点B不是W的顶点，所以120 xx，所以12212112xxyyyyxx即22814214kmkkmk，即4kk所以0k 此时，直线AC与y轴垂直，所以B为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形OABC不可能为菱形方法二：因为四边形OABC为菱形，所以OAOC，设OAOCr（1r）则A，C两点为圆222xyr与椭圆2214xy的交点联立方程2222214xyrxy得224(1)3rx所以A，C两点的横坐标相等或互
13、为相反数。因为点B在W上若A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形OABC不可能为菱形。20（本小题共 13 分）解：（1）1113 12dAB，2224 13dAB，3337 16dAB（2）因为1a，2a，na（4n）是公比大于1的等比数列，且10a 所以11nnaa q所以当1,2,3,1kn时，1kkkkkdABaa所以当2,3,1kn时，11111(1)(1)kkkkkkkkdaaaqqqdaaaq所以1d，2d，1nd是等比数列。（3）若1d，2d，1nd是公差大于0的等差数列，则1210nddd1a，2a，1na应是递增数列，证明如下：设ka是第一个使得1kkaa的项，则1kkAA，1kkBB，所以111kkkkkkdABABd，与已知矛盾。所以，1a，2a，1na是递增数列再证明na数列 na中最小项，否则knaa（2,3,1kn），则显然1k，否则11111110dABaBaa，与10d 矛盾因而2k，此时考虑11110kkkkkdABaa，矛盾因此na是数列 na中最小项综上，kkkkndABaa（2,3,1kn）于是kknada，也即1a，2a，1na是等差数列