2013年福建高考文科数学试题及答案.pdf

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1、2 0 1 3 年 福 建 高 考 文 科 数 学 试 题 及 答 案第 I 卷（选 择 题 共 6 0 分）一 选 择 题1 复 数 i z 2 1（i 为 虚 数 单 位）在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于（）A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限【答 案】C【解 析】本 题 考 查 的 知 识 点 是 复 数 的 几 何 意 义 由 几 何 意 义 可 知 复 数 在 第 三 象 限 2 设 点),(y x P，则“2 x 且 1 y”是“点 P 在 直 线 0 1:y x l 上”的（）A 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而

2、不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【解 析】本 题 考 查 的 知 识 点 是 逻 辑 中 充 要 条 件 的 判 定 因 为)1,2(点 代 入 直 线 方 程，符 合 方 程，即“2 x 且 1 y”可 推 出“点 P 在 直 线 0 1:y x l 上”；而 点 P 在 直 线 上，不 一 定 就 是)1,2(点，即“点 P 在 直 线 0 1:y x l 上”推 不 出“2 x 且 1 y”故“2 x 且 1 y”是“点 P 在 直 线 0 1:y x l 上”的 充 分 而 不 必 要 条 件 3 若 集 合 4,3,

3、1,3,2,1 B A，则 B A 的 子 集 个 数 为（）A 2 B 3 C 4 D 1 6【答 案】C【解 析】本 题 考 查 的 是 集 合 的 交 集 和 子 集 因 为 3,1 B A，有 2 个 元 素，所 以 子 集 个 数 为 4 22个 4 双 曲 线 12 2 y x 的 顶 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 等 于（）A 21B 22C 1 D 2【答 案】B【解 析】本 题 考 查 的 是 双 曲 线 的 性 质 因 为 双 曲 线 的 两 个 顶 点 到 两 条 渐 近 线 的 距 离 都 相 等，故 可取 双 曲 线 的 一 个 顶 点 为)0,1(，取 一 条

4、 渐 近 线 为 x y，所 以 点)0,1(到 直 线 x y 的 距 离 为225 函 数)1 l n()(2 x x f 的 图 象 大 致 是（）A B C D【答 案】A【解 析】本 题 考 查 的 是 对 数 函 数 的 图 象 由 函 数 解 析 式 可 知)()(x f x f，即 函 数 为 偶 函 数，排除 C；由 函 数 过)0,0(点，排 除 B,D 6 若 变 量 y x,满 足 约 束 条 件 012yxy x，则 y x z 2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为（）A 4 和 3 B 4 和 2 C 3 和 2 D 2 和 0【答 案】B【解 析】本 题

5、 考 查 的 简 单 线 性 规 划 如 图，可 知 目 标 函 数 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 4 和 2 7 若 1 2 2 y x，则 y x 的 取 值 范 围 是（）A 2,0 B 0,2 C),2 D 2,(【答 案】D【解 析】本 题 考 查 的 是 均 值 不 等 式 因 为y x y x2 2 2 2 2 1，即22 2 y x，所 以 2 y x，当 且 仅 当y x2 2，即 y x 时 取 等 号 8 阅 读 如 图 所 示 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，如 果 输 入 某 个 正 整 数 n 后，输 出 的)2 0,1 0(S，那 么 n

6、 的 值 为（）A 3 B 4 C 5 D 6【答 案】B【解 析】本 题 考 查 的 是 程 序 框 图 循 环 前：2,1 k S；第 1 次 判 断 后 循 环：3,3 k S；第 2次 判 断 后 循 环：4,7 k S；第 3 次 判 断 后 循 环：5,1 5 k S 故 4 n 9 将 函 数)2 2)(2 s i n()(x x f 的 图 象 向 右 平 移)0(个 单 位 长 度 后 得 到 函 数)(x g 的 图 象，若)(),(x g x f 的 图 象 都 经 过 点)23,0(P，则 的 值 可 以 是（）A 35 B 65 C 2D 6【答 案】B【解 析】本

7、题 考 查 的 三 角 函 数 的 图 像 的 平 移 把)23,0(P 代 入)2 2)(2 s i n()(x x f，解 得3，所 以)232 s i n()(x x g，把)23,0(P 代 入 得，k 或6 k，观察 选 项，故 选 B1 0 在 四 边 形 A B C D 中，)2,4(),2,1(B D A C，则 该 四 边 形 的 面 积 为（）A 5 B 5 2 C 5 D 1 0【答 案】C【解 析】本 题 考 查 的 是 向 量 垂 直 的 判 断 以 及 向 量 的 模 长 因 为 0 2 2)4(1 B D A C，所以 B C A C，所 以 四 边 形 的 面

8、积 为 522)4(2 12|2 2 2 2 B D A C，故 选 C1 1 已 知 x 与 y 之 间 的 几 组 数 据 如 下 表：假 设 根 据 上 表 数 据 所 得 线 性 回 归 直 线 方 程 为 a x b y 若 某 同 学 根 据 上 表 中 前 两 组 数 据)0,1(和)2,2(求 得 的 直 线 方 程 为 a x b y，则 以 下 结 论 正 确 的 是（）A a a b b,B a a b b,C a a b b,D a a b b,【答 案】C【解 析】本 题 考 查 的 是 线 性 回 归 方 程 画 出 散 点 图，可 大 致 的 画 出 两 条 直

9、线（如 下 图），由 两 条 直线 的 相 对 位 置 关 系 可 判 断 a a b b,故 选 C1 2 设 函 数)(x f 的 定 义 域 为 R，)0(0 0 x x 是)(x f 的 极 大 值 点，以 下 结 论 一 定 正 确 的 是（）A)()(,0 x f x f R x B 0 x 是)(x f 的 极 小 值 点C 0 x 是)(x f 的 极 小 值 点 D 0 x 是)(x f 的 极 小 值 点【答 案】D【解 析】本 题 考 查 的 是 函 数 的 极 值 函 数 的 极 值 不 是 最 值，A 错 误；因 为)(x f 和)(x f 关 于 原点 对 称，故0

10、 x 是)(x f 的 极 小 值 点，D 正 确 二 填 空 题x1 2 3 4 5 6y0 2 1 3 3 41 3 已 知 函 数 20,t a n0,2)(3x xx xx f，则)4(f f【答 案】2【解 析】本 题 考 查 的 是 分 段 函 数 求 值 2)1(2)1()4t a n()4(3 f f f f 1 4 利 用 计 算 机 产 生 1 0 之 间 的 均 匀 随 机 数 a，则 事 件“0 1 3 a”发 生 的 概 率 为【答 案】31【解 析】本 题 考 查 的 是 几 何 概 型 求 概 率 0 1 3 a，即31 a，所 以31131 P 1 5 椭 圆)

11、0(1:2222 b abyax的 左、右 焦 点 分 别 为2 1,F F，焦 距 为 c 2 若 直 线 与椭 圆 的 一 个 交 点 M 满 足1 2 2 12 F M F F M F，则 该 椭 圆 的 离 心 率 等 于【答 案】1 3【解 析】本 题 考 查 的 是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 由 题 意 可 知，2 1F M F 中，9 0,3 0,6 02 1 1 2 2 1M F F F M F F M F，所 以 有 1 22 12 22 1222132)2(M F M Fa M F M Fc F F M F M F，整 理 得1 3 ace，故 答 案 为 1 3 1

12、 6 设 T S,是 R 的 两 个 非 空 子 集，如 果 存 在 一 个 从 S 到 T 的 函 数)(x f y 满 足；（i）|)(S x x f T；（i i）对 任 意 S x x 2 1,，当2 1x x 时，恒 有)()(2 1x f x f 那 么 称 这 两 个 集 合“保 序 同 构”现 给 出 以 下 3 对 集 合：*,N B N A；1 0 8|,3 1|x x B x x A；R B x x A,1 0|其 中，“保 序 同 构”的 集 合 对 的 序 号 是（写 出 所 有“保 序 同 构”的 集 合 对 的 序号）【答 案】【解 析】本 题 考 查 的 函 数

13、 的 性 质 由 题 意 可 知 S 为 函 数 的 一 个 定 义 域，T 为 其 所 对 应 的 值 域，且函 数)(x f y 为 单 调 递 增 函 数 对 于 集 合 对，可 取 函 数)(2)(N x x fx，是“保 序 同 构”；对 于 集 合 对，可 取 函 数)3 1(2729 x x y，是“保 序 同 构”；对 于 集 合 对，可 取 函 数)1 0)(2t a n(x x y，是“保 序 同 构”故 答 案 为 三 解 答 题1 7（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 等 差 数 列 na 的 公 差 1 d，前 n 项 和 为nS（1）若1 31,a a 成 等

14、 比 数 列，求1a；（2）若5 1 9S a a，求1a 的 取 值 范 围 本 小 题 主 要 考 查 等 比 等 差 数 列、等 比 数 列 和 不 等 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与方 程 思 想、化 归 与 转 化 思 想 满 分 1 2 分 解：（1）因 为 数 列 na 的 公 差 1 d，且1 31,a a 成 等 比 数 列，所 以21 11(2)a a，即21 12 0 a a，解 得11 a 或12 a（2）因 为 数 列 na 的 公 差 1 d，且5 1 9S a a，所 以21 1 15 1 0 8 a a a；即21 1

15、3 1 0 0 a a，解 得15 2 a 1 8（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，P D A B C D 面，/A B D C，A B A D，5 B C，3 D C，4 A D，6 0 P A D（1）当 正 视 图 方 向 与 向 量 A D 的 方 向 相 同 时，画 出 四 棱 锥 P A B C D 的 正 视 图.（要 求 标 出 尺 寸，并 画 出 演 算 过 程）；（2）若 M 为 P A 的 中 点，求 证：/D M P B C 面；（3）求 三 棱 锥 D P B C 的 体 积 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 直

16、线、直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 及 几 何 体 的 三 视 图 和 体 积 等 基 础 知 识，考 查空 间 想 象 能 力，推 理 论 证 能 力 运 算 求 解 能 力，考 查 数 形 结 合 能 力、化 归 与 转 化 思 想，满 分 1 2分 解 法 一：（）在 梯 形 A B C D 中，过 点 C 作 C E A B，垂 足 为 E，由 已 知 得，四 边 形 A D C E 为 矩 形，3 A E C D 在 R t B E C 中，由 5 B C，4 C E,依 勾 股 定 理 得：3 B E，从 而 6 A B 又 由 P D 平 面 A B C D 得，P D

17、A D 从 而 在 R t P D A 中，由 4 A D，6 0 P A D,得 4 3 P D 正 视 图 如 右 图 所 示：（）取 P B 中 点 N，连 结 M N，C N在 P A B 中，M 是 P A 中 点，M N A B，132M N A B，又 C D A B,3 C D M N C D，M N C D 四 边 形 M N C D 为 平 行 四 边 形，D M C N 又 D M 平 面 P B C，C N 平 面 P B C D M 平 面 P B C（）13D P B C P D B C D B CV V S P D 又 6P B Cs，4 3 P D，所 以 8

18、3D P B CV解 法 二：（）同 解 法 一（）取 A B 的 中 点 E，连 结 M E,D E在 梯 形 A B C D 中，B E C D，且 B E C D 四 边 形 B C D E 为 平 行 四 边 形 D E B C，又 D E 平 面 P B C，B C 平 面 P B C D E 平 面 P B C，又 在 P A B 中，M E P B M E 平 面 P B C,P B 平 面 P B C M E 平 面 P B C.又 D E M E E,平 面 D M E 平 面 P B C，又 D M 平 面 D M E D M 平 面 P B C（）同 解 法 一1 9（本

19、 小 题 满 分 1 2 分）某 工 厂 有 2 5 周 岁 以 上（含 2 5 周 岁）工 人 3 0 0 名，2 5 周 岁 以 下 工 人 2 0 0名 为 研 究 工 人 的 日 平 均 生 产 量 是 否 与 年 龄 有 关 现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法，从 中 抽 取 了 1 0 0名 工 人，先 统 计 了 他 们 某 月 的 日 平 均 生 产 件 数，然 后 按 工 人 年 龄 在“2 5 周 岁 以 上（含 2 5 周岁）”和“2 5 周 岁 以 下”分 为 两 组，在 将 两 组 工 人 的 日 平 均 生 产 件 数 分 成 5 组：5 0,6 0)，6 0,

20、7 0)，7 0,8 0)，8 0,9 0)，9 0,1 0 0)分 别 加 以 统 计，得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图（1）从 样 本 中 日 平 均 生 产 件 数 不 足 6 0 件 的 工 人 中 随 机 抽 取 2 人，求 至 少 抽 到 一 名“2 5 周 岁 以 下组”工 人 的 频 率（2）规 定 日 平 均 生 产 件 数 不 少 于 8 0 件 者 为“生 产 能 手”，请 你 根 据 已 知 条 件 完 成 2 2 的 列 联 表，并 判 断 是 否 有 9 0%的 把 握 认 为“生 产 能 手 与 工 人 所 在 的 年 龄 组 有 关”？附

21、表：本 小 题 主 要 考 查 古 典 概 型、抽 样 方 法、独 立 性 检 验 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力、应 用 意 识，考 查 必 然 和 或 然 思 想、化 归 与 转 化 思 想 等，满 分 1 2 分 解：（）由 已 知 得，样 本 中 有 2 5 周 岁 以 上 组 工 人 6 0 名，2 5 周 岁 以 下 组 工 人 4 0 名所 以，样 本 中 日 平 均 生 产 件 数 不 足 6 0 件 的 工 人 中，2 5 周 岁 以 上 组 工 人 有 6 0 0.0 5 3（人），记 为1A，2A，3A；2 5 周 岁 以 下 组 工 人 有 4 0

22、0.0 5 2（人），记 为1B，2B从 中 随 机 抽 取 2 名 工 人，所 有 可 能 的 结 果 共 有 1 0 种，他 们 是：1 2(,)A A，1 3(,)A A，2 3(,)A A，1 1(,)A B，1 2(,)A B，2 1(,)A B，2 2(,)A B，3 1(,)A B，3 2(,)A B，1 2(,)B B其 中，至 少 有 名“2 5 周 岁 以 下 组”工 人 的 可 能 结 果 共 有 7 种，它 们 是：1 1(,)A B，1 2(,)A B，2 1(,)A B，2 2(,)A B，3 1(,)A B，3 2(,)A B，1 2(,)B B.故 所 求 的

23、概 率：71 0P（）由 频 率 分 布 直 方 图 可 知，在 抽 取 的 1 0 0 名 工 人 中，“2 5 周 岁 以 上 组”中 的 生 产 能 手6 0 0.2 5 1 5（人），“2 5 周 岁 以 下 组”中 的 生 产 能 手 4 0 0.3 7 5 1 5（人），据 此 可 得 2 2 列 联表 如 下：生 产 能 手 非 生 产 能 手 合 计2 5 周 岁 以 上 组 15 4 5 6 02 5 周 岁 以 下 组 15 2 5 4 0合 计 3 0 7 0 1 0 0所 以 得：2 22()100(15 25 15 45)251.79()()()()60 40 30

24、70 14n ad bcKa b c d a c b d 因 为 1.7 9 2.7 0 6，所 以 没 有 9 0%的 把 握 认 为“生 产 能 手 与 工 人 所 在 的 年 龄 组 有 关”2 0（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 抛 物 线2:4 E y x 的 焦 点 为 F，准 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 A 点C 在 抛 物 线 E 上，以 C 为 圆 心 O C 为 半 径 作 圆，设 圆 C 与 准 线 l 的 交 于 不 同 的 两 点,M N（1）若 点 C 的 纵 坐 标 为 2，求 M N；（2）若2A F A M A N，求 圆 C 的 半 径

25、本 小 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 方 程、圆 的 方 程 与 性 质、直 线 与 圆 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求解 能 力、推 理 论 证 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想 满 分 1 2 分 解：（）抛 物 线24 y x 的 准 线 l 的 方 程 为 1 x，由 点 C 的 纵 坐 标 为 2，得 点 C 的 坐 标 为(1,2)所 以 点 C 到 准 线 l 的 距 离 2 d，又|5 C O 所 以2 2|2|2 5 4 2 M N C O d.（）设200(,)4yC y，则 圆

26、 C 的 方 程 为2 42 2 2 0 00 0()()4 16y yx y y y，即22 2 002 02yx x y y y.由 1 x，得22 002 1 02yy y y 设1(1,)M y，2(1,)N y，则：22 2 00 0201 24 4(1)2 4 0212yy yyy y 由2|A F A M A N，得1 2|4 y y 所 以201 42y，解 得06 y，此 时 0 所 以 圆 心 C 的 坐 标 为3(,6)2或3(,6)2从 而23 3|4C O，33|2C O，即 圆 C 的 半 径 为3 322 1（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 等 腰 直

27、 角 三 角 形 O P Q 中，90 O P Q，2 2 O P，点 M在 线 段 P Q 上（1）若 3 O M，求 P M 的 长；（2）若 点 N 在 线 段 M Q 上，且 3 0 M O N，问：当 P O M 取 何 值 时，O M N 的 面 积 最 小？并 求 出 面 积 的 最 小值 本 小 题 主 要 考 查 解 三 角 形、同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系、两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 等 基 础 知 识，考 查推 理 论 证 能 力、抽 象 概 括 能 力、运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、化 归

28、与 转化 思 想 满 分 1 2 分 解：（）在 O M P 中，4 5 O P M，5 O M，2 2 O P，由 余 弦 定 理 得，2 2 22 c o s 4 5 O M O P M P O P M P，得24 3 0 M P M P，解 得 1 M P 或 3 M P（）设 P O M，0 6 0，在 O M P 中，由 正 弦 定 理，得s i n s i nO M O PO P M O M P，所 以 s i n 4 5s i n 4 5O PO M，同 理 s i n 4 5s i n 7 5O PO N 故1s i n2O M NS O M O N M O N 2 21 s

29、i n 4 54 s i n 4 5 s i n 7 5O P 1s i n 4 5 s i n 4 5 3 0 13 1s i n 45 s i n 45 c os 452 2 213 1s i n 45 s i n 45 c os 452 2 13 11 c os 90 2 s i n 90 24 4 13 3 1s i n 2 c os 24 4 4 13 1s i n 2 304 2 因 为 0 6 0，3 0 2 3 0 1 5 0，所 以 当 3 0 时，s i n 2 3 0 的 最 大值 为 1，此 时 O M N 的 面 积 取 到 最 小 值 即 2 3 0 P O M 时

30、，O M N 的 面 积 的 最 小 值 为8 4 3 2 2（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知 函 数()1xaf x xe（a R，e 为 自 然 对 数 的 底 数）（1）若 曲 线()y f x 在 点(1,(1)f 处 的 切 线 平 行 于 x 轴，求 a 的 值；（2）求 函 数()f x 的 极 值；（3）当 1 a 的 值 时，若 直 线:1 l y k x 与 曲 线()y f x 没 有 公 共 点，求 k 的 最 大 值 本 小 题 主 要 考 查 函 数 与 导 数，函 数 的 单 调 性、极 值、零 点 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力、运

31、算求 解 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想、数 形 结 合 思 想、分 类 与 整 合 思 想、化 归 与 转 化 思 想 满 分 1 4分 解：（）由 1xaf x xe，得 1xaf xe 又 曲 线 y f x 在 点 1,1 f 处 的 切 线 平 行 于 x 轴，得 1 0 f，即 1 0ae，解 得 a e（）1xaf xe，当 0 a 时，0 f x，f x 为,上 的 增 函 数，所 以 函 数 f x 无 极 值 当 0 a 时，令 0 f x，得xe a，l n x a,l n x a，0 f x；l n,x a，0 f x 所 以 f x 在,l n a 上 单

32、 调 递 减，在 l n,a 上 单 调 递 增，故 f x 在 l n x a 处 取 得 极 小 值，且 极 小 值 为 l n l n f a a，无 极 大 值 综 上，当 0 a 时，函 数 f x 无 极 小 值；当 0 a，f x 在 l n x a 处 取 得 极 小 值 l n a，无 极 大 值（）当 1 a 时，11xf x xe 令 11 1xg x f x k x k xe，则 直 线 l：1 y k x 与 曲 线 y f x 没 有 公 共 点，等 价 于 方 程 0 g x 在 R 上 没 有 实 数 解 假 设 1 k，此 时 0 1 0 g，111 11 0

33、1kgke，又 函 数 g x 的 图 象 连 续 不 断，由 零 点 存 在 定 理，可 知 0 g x 在 R 上 至 少 有 一 解，与“方 程 0 g x 在 R 上 没 有 实 数 解”矛 盾，故 1 k 又 1 k 时，10 xg xe，知 方 程 0 g x 在 R 上 没 有 实 数 解 所 以 k 的 最 大 值 为 1 解 法 二：（）（）同 解 法 一（）当 1 a 时，11xf x xe 直 线 l：1 y k x 与 曲 线 y f x 没 有 公 共 点，等 价 于 关 于 x 的 方 程11 1xk x xe 在 R 上 没 有 实 数 解，即 关 于 x 的 方

34、 程：11xk xe（*）在 R 上 没 有 实 数 解 当 1 k 时，方 程（*）可 化 为10 xe，在 R 上 没 有 实 数 解 当 1 k 时，方 程（*）化 为11xx ek令 xg x x e，则 有 1xg x x e 令 0 g x，得 1 x，当 x 变 化 时，g x 的 变 化 情 况 如 下 表：x,1 1 1,g x 0 g x1e当 1 x 时，m i n1g xe，同 时 当 x 趋 于 时，g x 趋 于，从 而 g x 的 取 值 范 围 为1,e 所 以 当1 1,1 k e 时，方 程（*）无 实 数 解，解 得 k 的 取 值 范 围 是 1,1 e 综 上，得 k 的 最 大 值 为 1