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1、学习必备 欢迎下载 三角形有关的线段典型例题 1如图，图中共有多少个三角形？分析：根据三角形的概念，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，关键在于按照某种顺序去找。解：可以边为顺序找：BC 为边的共 4 个，分别是：ABC，BCD，BCF,BCE;AC 为边的 2 个（其中重复一个）,分别是：ACF,ACB（与前面重复）；同理可得 AB 为边 1 个，是ABD;CD 为边 1 个，为：CDE;以 BF 为边 1 个，为BEF；AD、AF 为边已计。共 8 个。2如图，在ABC 中，ABAC，AC 边上的中线 BD 把三角形的周长分为 12cm 和15cm 的两部分，求三角形各边的长。分析：因为中线
2、 BD 中的点 D 为 AC 边的中点，所以 ADDC，造成所分的两部分不等的原因就在于 BC 边与 AB、AC 边的不等，故应分类讨论。解：如图，设 ABx，则 ADDC x （1）若 ABAD12，即 x12，得 x8 即 ABAC8 则 DC4，故 BC15411 此时 ABACBC，可构成三角形；（2）若 ABAD15，x15，x10 即 ABAC10，则 DC5，故 BC1257 显然此时可构成三角形 综上，三角形的各边长为：8,8,11 或 10,10,7 3（1）已知三角形的两边分别为 5cm 和 6cm，求第三边 c 的取值范围及三角形周长的取值范围；（2）已知三角形的三边分别
3、为 14，4 x 和 3 x，求 x 的取值范围；学习必备 欢迎下载 （3）已知三角形的三边分别为 a，a1 和 a1，求 a 的取值范围。分析：根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差第三边两边之和，所以较容易确定第三边的取值范围 解：（1）（65）cmc（65）cm 1cmc11cm 设周长为 pcm 又因另两边分别为 5cm 和 6cm （56）1 cmp11（56）cm 即 12cmp22cm （2）根据三角形的三边关系：4x3x144x3x 2x14 （3）a1aa1 又三角形的三边长为正 a10 即 a1 又a1a（a1）a2 a2 4如图，在小河的同侧有 A，B，C
4、 三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从 A村送信到 B 村，总是走经过 C 村的道路，不走经过 D 村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。分析：邮递员走经过 C 村而不走经过 D 村的路，其理由很明显：因为路程更近。若将该问题抽象成数学问题即为：已知：C 是ABD 内一点，试证明：ADBDACBC。点拨：解决几条线段间的不等关系，应利用三角形三边关系性质，为此，连接 AB，得BDDAAB，CACBAB，但仍无法的得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线段之间的相互关系。解答：延长 AC 交 BD 于点 E，由三角形的三边关系：在ADE 中，ADDEACCE 在CBE
5、中，CEBEBC 由和得：ADDEBECEACBCCE 所以：ADBDACBC 错题诊断：找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边
6、长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 1下面是三个同学分别画的ABC 的三条主要线段，他们画得对吗？为什么？错解：（1）ABC 的平分线 BD （2）BC 边上的中线 EF （3）BC 边上的高 CG 诊断：（1）不能把三角形的角平分线与一般角平分线的概念混淆，前者是线段，后者是射线。（2）不是把 BC 边上的中点与 AB 边上的中点连接，E 应与边 BC 所对的顶点 A 连接。（3）BC 边上的高 CG 应是 BC 边所对顶点 A 向 BC（或延长线）作垂线，顶点 A 与垂足间的线段。简单正解：药方：要真正理解概念
7、，它们都是线段，要按照概念去准确画图。2已知一个三角形的两边是 9 和 4，又知这个三角形有两边相等，求它的周长。错解：因为题目中没指明具体的哪两条边相等，所以答案有两种可能，周长可以是 9找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两
8、边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 2422 或 42917。诊断：能考虑到两种可能很好，但还没考虑全面和周到，因为三角形的三边关系必须符合两边之和大于第三边，而 4、4、9 无法构成三角形，简单正解：22。药方：在遇到有关三角形边长的问题时，一定要注意三边关系这个性质，如果此题中的两边是 5 和 4，答案如何，请同学自己考虑。3已知一个三角形中的两边的长分别 a 和 b，且 ab，你能求出这个三角形的周长 L的取值
9、范围吗？错解：甲生：设第三边为 c ab acb 周长的取值范围是 3aL3b 乙生：设第三边为 c 则 cab 周长 L 的取值范围是 L2a2b 诊断：易忽视三边关系中的“任两边”。涉及三角形三边大小关系的问题既要考虑两边之和大于第三边，又要考虑两边之差小于第三边，缺一不可。显然甲生没有考虑到这两个关系，乙生也只考虑了两边之和大于第三边，故他们的解答是错误的。解：设第三边为 c 则 bacba 在此不等式两边分别加上 ab，得：2babc2a2b 即 2bL2a2b 药方：不仅要考虑两边之和大于第三边，还考虑两边之差小于第三边，这样解题时，才能既思路清晰，又考虑周全。三角形有关的线段周末练
10、习 一、选择题：1若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的共边三角形有（）A2 对 B3 对 C4 对 D6 对 2 已知三角形的两边长分别为 2cm 和 7cm，第三边的长为 ccm，则 c 的取值范围是（）A2c7 B7c9 C5c7 D5c9 3下列每组数分别表示三根木棒的长度（单位：厘米），将它们首尾相接后能摆成三角形的是（）找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故
11、此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 A 1，2，3 B5，7，12 C6，6，13 D6，8，10 4在ABC 中，若 ABAC，其周长为 12，则 AB 的取值范围是（）A AB6 BAB3 C4AB7 D3AB6 5若ABC 三边长分
12、别为整数，周长为 11，且有一边长为 4，则这个三角形可能的最大边长是（）A7 B5 C6 D4 6现有长度分别为 2cm，3cm，4cm，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A1 B2 C3 D4 二、填空题：1已知：如图，回答下列问题：（1）图中有_个三角形，它们分别是_；（2）以线段 AD 为公共边的三角形是_；（3）线段 CE 所在的三角形是_，CE 所对的角是_；（4）ABC，ACD，ADE 这三个三角形的面积之比等于_：_：_；2三角形三条边的长度是三个连续的自然数，且三角形的周长为 18，则这个三角形三条边的长分别 是_、_、_；3ABC 中，ABAC，且 BC
13、8，BD 是 AC 边上的中线，分ABC 的周长为两部分，已知它们的差为 2，则 AB 边的长为_；4两根木棒的长分别为 3 cm 和 5 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长 为偶数，则第三根木棒的长是_cm；5如图，在ABC 中，ADBC，BEAC，CFAB，它们相交于 H 点，则ABH的高是_，它 找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三
14、角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 们所在直线交于_点；6如图，D 是ABC 中 BC 上一点，AEBC 于 E，则 AE 是三角形_的高（写出所有情况）。（第 5 题图）（第 6 题图）（第 7题图）7工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图
15、中的 AB、CD 两 根木条），这样做根据的数学道理是_ 三、解答题：1已知：钝角ABC，分别画出 AC 边上的高 BD，BC 边上的中线 AE 及ABC 中ACB 的平分线 CF。2如图，（1）过点 A 画 BC 的垂线，再过点 B、C 分别画 AD 的垂线，垂足分别为 E、F、G，AE 与 FB 交于点 M，AE 与 CG 交于点 N（保留痕迹，写出结果）（2）写出 FM 与CN 的位置关系。3在平面直角坐标系下描出下列各点，并求ABC 的面积：找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边
16、已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 （1）已知：A（4，5）、B（2，0）、C（4，0）（2）已知：A（5,4）、B（2，2）、C（0，2）4已知：AD、A
17、E 分别是ABC 的高和中线，AB6cm，BC10 cm，AC8 cm，CAB90。求：（1）AD 的长；（2）ABE 的面积；（3）ACE 和ABE 周长的差。5在ABC 中，C90，BC6cm，CA8 cm，AB10 cm，动点 P 从 C 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 CAB 运动到点 B，问 P 从 C 点出发多少秒时，可使？参考答案：一、1B 2D 3D 4D 5B 提示：周长 11 时，其中一边为 4，则最大边不能为 6，故最大边只能为 5 6C 二、1（1）6，ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE （2）ABD，ACD，ADE（3）ACE，CAE（4）BC：CD：D
18、E 25，6，7 36 或 10 44 或 6 cm 提示：利用三角形三边关系可确定第三边长大于 2 cm，小于 8 cm，且为偶数，故第三边长为 4 或 6 cm 5AE、BD、FH，C 6ABD，ABE，ABC，ADE，ADC，AEC 7三角形的稳定性 三、1线段 BD、AE、CF 即极为所求。2（1）略（2）FMCN 3（1）提示：作 ADx 轴于 D 点，则 AD5，BC6，ABC 的面积ADBC6515 找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的
19、周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走学习必备 欢迎下载 （2）提示：作 ADy 轴于 D 点，作 BEy 轴于 E 点，则 AD5，BE2，CD2，EC4，ED6，ABC 的面积（BEAD）EDADCDBEEC2
20、15412 4（1）4.8 cm（2）12（3）2cm 51 秒或秒 找出所有的三角形关键在于按照某种顺序去找解可以边为顺序找为边的共个分别是为边的个其中重复一个分别是与前面重复同理可得为边个是为边个为以为边个为为边已计共个如图在中边上的中线把三角形的周长分为和的两部分求讨论解如图设则若即得即则故此时可构成三角形若即则故显然此时可构成三角形综上三角形的各边长为或已知三角形的两边分别为和求第三边的取值范围及三角形周长的取值范围已知三角形的三边分别为和求的取值范围学习必备欢三边两边之和所以较容易确定第三边的取值范围解设周长为又因另两边分别为和即根据三角形的三边关系又三角形的三边长为正即又如图在小河的同侧有三条村庄图中的线段表示道路某邮递员从村送信到村总是走经过村的道路不走