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1、学习必备欢迎下载三角形有关的线段典型例题1如图，图中共有多少个三角形？分析： 根据三角形的概念，不重复、 无遗漏地找出所有的三角形，关键在于按照某种顺序去找。解： 可以边为顺序找：BC 为边的共4 个，分别是：ABC ， BCD，BCF, BCE; AC 为边的 2 个（其中重复一个）,分别是： ACF, ACB （与前面重复）；同理可得AB 为边 1 个，是 ABD;CD 为边 1 个，为： CDE; 以 BF 为边 1 个，为 BEF ；AD 、AF 为边已计。共8 个。2如图，在 ABC 中， AB AC，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 的两部分，求三角形各
2、边的长。分析： 因为中线BD 中的点 D 为 AC 边的中点，所以AD DC，造成所分的两部分不等的原因就在于BC 边与 AB 、AC 边的不等，故应分类讨论。解：如图，设ABx，则 ADDCx （1）若 AB AD 12，即x 12，得 x8 即 AB AC 8 则 DC4，故 BC15411 此时 AB AC BC，可构成三角形；（2）若 AB AD 15，x15， x10 即 AB AC 10，则 DC5，故 BC1257 显然此时可构成三角形综上，三角形的各边长为：8,8,11 或 10,10,7 3 （1）已知三角形的两边分别为5cm 和 6cm，求第三边c 的取值范围及三角形周长的
3、取值范围；（2）已知三角形的三边分别为14，4 x 和 3 x，求 x 的取值范围；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（3）已知三角形的三边分别为a，a1 和 a1，求 a 的取值范围。分析： 根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围是：两边之差第三边两边之和，所以较容易确定第三边的取值范围解： （1） （6 5）cmc（ 65）cm 1cmc11cm 设周长为pcm 又因另两边
4、分别为5cm 和 6cm （56） 1 cmp11（ 56） cm 即 12cmp 22cm （2）根据三角形的三边关系：4x3x144x3x 2x14 （3） a1aa 1 又三角形的三边长为正a10 即 a1 又 a1a（ a1）a2 a2 4如图，在小河的同侧有A，B，C 三条村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A村送信到 B 村，总是走经过C 村的道路，不走经过D 村的道路，这是为什么呢？请你用所学的数学知识加以证明。分析： 邮递员走经过C 村而不走经过D 村的路，其理由很明显：因为路程更近。若将该问题抽象成数学问题即为：已知： C 是 ABD 内一点，试证明：AD BD AC BC。
5、点拨： 解决几条线段间的不等关系，应利用三角形三边关系性质，为此，连接AB，得BDDA AB， CACBAB ，但仍无法的得出结论，故可考虑构造另外的三角形，找到所证线段之间的相互关系。解答： 延长 AC 交 BD 于点 E，由三角形的三边关系：在 ADE 中， AD DEACCE 在 CBE 中， CEBEBC 由和得：AD DEBECE ACBCCE 所以： ADBD AC BC 错题诊断：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 -
6、- - - - - - - - 学习必备欢迎下载1下面是三个同学分别画的ABC 的三条主要线段，他们画得对吗？为什么？错解：（1） ABC 的平分线BD （2）BC 边上的中线EF （3）BC 边上的高CG 诊断：（ 1）不能把三角形的角平分线与一般角平分线的概念混淆，前者是线段，后者是射线。（2）不是把BC 边上的中点与AB 边上的中点连接，E 应与边 BC 所对的顶点A 连接。（3）BC 边上的高CG 应是 BC 边所对顶点A 向 BC（或延长线）作垂线，顶点A 与垂足间的线段。简单正解：药方： 要真正理解概念，它们都是线段，要按照概念去准确画图。2已知一个三角形的两边是9 和 4，又知这
7、个三角形有两边相等，求它的周长。错解：因为题目中没指明具体的哪两条边相等，所以答案有两种可能，周长可以是9名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2422 或 42917。诊断： 能考虑到两种可能很好，但还没考虑全面和周到，因为三角形的三边关系必须符合两边之和大于第三边，而4、4、9 无法构成三角形，简单正解： 22。药方： 在遇到有关三角形边长的问题时，一定要注意三边关系这个性质，如果
8、此题中的两边是 5 和 4，答案如何，请同学自己考虑。3已知一个三角形中的两边的长分别a 和 b，且 ab，你能求出这个三角形的周长L的取值范围吗？错解：甲生：设第三边为c ab ac b 周长的取值范围是3aL3b 乙生：设第三边为c 则 cab 周长 L 的取值范围是L2a2b 诊断： 易忽视三边关系中的“任两边”。涉及三角形三边大小关系的问题既要考虑两边之和大于第三边，又要考虑两边之差小于第三边，缺一不可。 显然甲生没有考虑到这两个关系，乙生也只考虑了两边之和大于第三边，故他们的解答是错误的。解：设第三边为c 则 bacba 在此不等式两边分别加上ab，得：2babc2a2b 即 2b
9、L2a2b 药方： 不仅要考虑两边之和大于第三边，还考虑两边之差小于第三边，这样解题时，才能既思路清晰，又考虑周全。三角形有关的线段周末练习一、选择题：1若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的共边三角形有（）A2 对B3 对C4 对D6 对2已知三角形的两边长分别为2cm 和 7cm，第三边的长为ccm，则 c 的取值范围是 （ ）A2c7 B7c9 C5c7D5c9 3下列每组数分别表示三根木棒的长度（单位：厘米），将它们首尾相接后能摆成三角形的是（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学
10、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A 1，2， 3B5，7，12 C 6，6，13 D6，8， 10 4在 ABC 中，若 AB AC，其周长为12，则 AB 的取值范围是（）A AB 6 BAB 3 C 4AB 7 D3AB 6 5若 ABC 三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是（）A7 B5C 6 D4 6现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A1 B2 C 3 D4 二、 填空题：1已知：
11、如图，回答下列问题：（1）图中有 _个三角形，它们分别是_；（2）以线段AD 为公共边的三角形是_；（3）线段 CE 所在的三角形是_，CE 所对的角是 _ ；（4） ABC ， ACD ， ADE 这三个三角形的面积之比等于_： _：_；2三角形三条边的长度是三个连续的自然数，且三角形的周长为18，则这个三角形三条边的长分别是_、_、_；3 ABC 中， AB AC ，且 BC8，BD 是 AC 边上的中线，分ABC 的周长为两部分，已知它们的差为2，则AB 边的长为 _；4两根木棒的长分别为3 cm 和 5 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒
12、的长是_cm ；5如图，在 ABC 中， AD BC， BEAC ，CF AB，它们相交于H 点，则 ABH的高是 _，它名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载们所在直线交于_点；6如图， D 是 ABC 中 BC 上一点， AEBC 于 E，则 AE 是三角形 _的高（写出所有情况） 。（第 5 题图）（第 6 题图）（第 7题图）7工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那
13、样上两条斜拉的木条（即图中的 AB 、CD 两根木条），这样做根据的数学道理是_ 三、 解答题：1已知：钝角 ABC ，分别画出AC 边上的高BD ，BC 边上的中线AE 及 ABC 中ACB 的平分线CF。2如图，（1）过点 A 画 BC 的垂线，再过点B、C 分别画 AD 的垂线，垂足分别为E、F、G，AE 与 FB 交于点 M，AE 与 CG 交于点 N（保留痕迹，写出结果）（2）写出 FM 与CN 的位置关系。3在平面直角坐标系下描出下列各点，并求ABC 的面积：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
14、 - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（1）已知： A（ 4， 5） 、B（ 2，0） 、C（4，0）（2）已知： A（ 5, 4） 、B（ 2， 2） 、 C（ 0，2）4已知： AD 、AE 分别是 ABC 的高和中线， AB 6cm，BC10 cm，AC 8 cm，CAB 90。求： （1）AD 的长；（2） ABE 的面积；（3） ACE 和 ABE 周长的差。5在 ABC 中， C 90， BC6cm，CA 8 cm，AB 10 cm，动点 P 从 C 出发，以每秒2 cm 的速度沿C A B 运
15、动到点B，问P 从C 点出发多少秒时，可使？参考答案：一、 1 B 2D 3D 4D 5B 提示：周长11 时，其中一边为4，则最大边不能为6，故最大边只能为5 6C 二、1 （1） 6， ABC 、 ABD 、 ABE 、 ACD 、 ACE 、 ADE （2） ABD ， ACD ， ADE （3） ACE， CAE （4）BC：CD：DE 25，6，7 36 或 10 44 或 6 cm 提示：利用三角形三边关系可确定第三边长大于2 cm，小于 8 cm，且为偶数，故第三边长为4 或 6 cm 5AE、BD、FH，C 6 ABD ， ABE ， ABC ， ADE ， ADC ， AEC
16、 7三角形的稳定性三、1线段 BD、 AE、CF 即极为所求。2 （1）略（2）FM CN 3 （1）提示：作AD x 轴于 D 点，则 AD5，BC6，ABC 的面积AD BC6515 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2）提示： 作 AD y 轴于 D 点，作 BEy 轴于 E 点，则 AD 5，BE2，CD 2，EC4， ED6，ABC的面积（BEAD ） ED AD CD BEEC215412 4 （1） 4.8 cm（2） 12（3）2cm 51 秒或秒名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -