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1、相似三角形知识点及典型例题 知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似。（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两
2、个三角形相 似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法：以上各种判定均适用。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD DC，（2）（AB）2=BD BC，（3）（AC）2=CD BC。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（A
3、B）2+（AC）2=（BC）2。典型例题：例 1 如图，已知等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD，AC 于 E、F，求证：BE2EF EG 证明：如图，连结 EC，ABAC，ADBC，ABCACB，AD 垂直平分 BC BEEC，12，ABC-1ACB-2，即34，又 CGAB，G3，4G 又CEG CEF，CEFGEC，EGCE=CEEF EC2EG EF，故 EB2=EF EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC，把原来处在同一条
4、直线上的三条线段 BE，EF，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。例 2 已知：如图，AD 是 RtABC 斜 BC 上的高，E 是 AC 的中点，ED 与 AB 的延长线相交于 F，求证：BAFB=ACFD 证法一：如图，在 RtABC 中，BACRt，ADBC，3C，又 E 是 RtADC 的斜边 AC 上的中点，ED=21ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DFBAFD，FDFBADBD （1）又 AD 是 RtABC 的斜边 BC 上的高，RtABDRtCAD，ADBD=ACBA （2）由（1）（2）两式得FDFB=ACBA，故BAFB=ACFD 证法二：过点
5、A 作 AGEF 交 CB 延长线于点 G，则BAFB=AGFD （1）E 是 AC 的中点，EDAC，D 是 GC 的中点，又 ADGC，AD 是线段 GC 的垂直平分线，AGAC（2）由（1）（2）两式得：BAFB=ACFD，证毕。【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“ADBD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证 一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD
6、。例 2、已知ABC 中，AB=AC，A=36，BD 是角平分线，求证：ABCBCD ABCDEFG1234ABCD似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角
7、边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射 例 3：已知，如图，D 为ABC 内一点连结 ED、AD，以 BC 为边在ABC 外作 CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 5、ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE 例 6：已知：如图，在ABC
8、 中，BAC=900，M 是 BC 的中点，DMBC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22 例 7：如图ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且31ADAFABEB。求证：AEF=FBD ABCDEFGABCDEM12ABCDEFKABCDEF似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形
9、相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射 例 9、在平行四边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分
10、线，求证：SQAB，RPBC 例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCD 例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG 例 12、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF 课后作业 一、填空题 1.已知：在ABC 中，P 是 AB 上一点，连结 CP，当满足条件ACP=_或APC=_或 AC2=_时，ACPABC 2.两个相似三角形周长之比为 4
11、9，面积之和为 291，则面积分别是_。3.如图，DEFG 是 RtABC 的内接正方形，若 CF8，DG42，则 BE_。4如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADCD，ACAB，已知 AD4，BC9，则 AC_。5ABC 中，AB15，AC9，点 D 是 AC 上的点，且 AD=3，E 在 AB 上，ADE 与ABC 相似，则 AE 的长等于_。6.如图，在正方形网格上画有梯形 ABCD，则BDC 的度数为_。ABCDSPRQOABCDEFABCDEFO123ABCDFGE似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个
12、角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射 7.ABC 中，ABAC，A36，BC1，BD 平分ABC 交于 D，则 BD_，AD_，设 ABx,则关
13、于 x 的方程是_.8如图，已知 D 是等边ABC 的 BC 边上一点，把ABC 向下折叠，折痕为 MN，使点 A 落在点 D 处，若 BDDC23，则 AMMN=_。二、选择题 9.如图，在正ABC 中，D、E 分别在 AC、AB 上，且31ACAD，AE=BE，则有（）AAEDBED BAEDCBD CAEDABD DBADBCD 10如图，在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBCA，BC=6，AC3，则 CD 的长为（）A.1 B.23 C.2 D.25 11如图，ABCD中，G 是 BC 延长线上一点，AG 与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共有（）A3
14、对 B4 对 C5 对 D6 对 12 P 是 RtABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）A1 条 B.2 条 C3 条 D4 条 13如图，在直角梯形 ABCD 中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB 上取一点 P，使以 P、A、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相似，这样的 P 点有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 三、解答下列各题 14.如图，长方形 ABCD 中，AB=5，BC10，点 P 从 A 点出发，沿 AB 作匀速运动，1 分钟可以到达 B 点，点 Q从 B 点
15、出发，沿 BC 作匀速直线运动，1 分钟可到 C 点，现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、B 点出发，经过多少时间，线段 PQ 恰与线段 BD 垂直？似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三
16、角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射 15 已知：如图，正方形 DEFG 内接于 Rt ABC，EF 在斜边 BC 上，EHAB 于 H求证：（1）ADG HED；（2）EF2BE FC （答案）例 1 分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角），由 ABDG 可得4=G，所以EGCEAB。例 2 分析：证明
17、相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明：A=36，ABC 是等腰三角形，ABC=C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DBC=36ABCBCD 例 3 分析：由已知条件ABD=CBE，DBC 公用。所以DBE=ABC，要证的DBE 和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在CBE 和ABD 中，CBE=ABD,BCE=B
18、ADCBEABD BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD DBE 和ABC 中，CBE=ABD,DBC 公用CBE+DBC=ABD+DBC DBE=ABC 且BCBE=ABBDDBE ABC 例 4 分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形 似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三
19、条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射ABCDEAABBCCDDEE(2)如图：其中1=2，则ADEABC 称为“相交线型”的相似三角形。ABCDE12AABBCCDDEE12412(3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可
20、能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA 解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得 AE=a2，在EAF 与ECA 中，AEF 为公共角，且2AEECEFAE所以EAFECA 例 5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，DKAB，DF：FE=BK：BE 又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而 BK：AD=BC：AC 即 DF：FE=BC：AC，DFAC=BCFE 例 6 证明：（1）BAC=900，M 是 BC 的中点，MA=MC，1=C，DM
21、BC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MAMEMDMA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，MDMAADAE，MAMEADAEMDMEMAMEMDMAADAE22 评注：命题 1 如图，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命题 2 如图，如果 AB2=ADAC，那么ABD ACB，1=2。例 7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作 DG BA 交 CF 于 G，得AEFDEG，DGAFDEAE。与结论BFAFFBAFEDAE212相比较，显然问题转
22、化为证FBDG21。证明：过 D 点作 DG AB 交 FC 于 G 则AEFDEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）DGAFDEAE （1）D 为 BC 的中点，且 DG BFG 为 FC 的中点则 DG 为CBF 的中位线，BFDG21（2）将（2）代入（1）得：FBAFBFAFDEAE221 例 8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相
23、似三角形，证明：作 FGBD，垂足为 G。设 AB=AD=3k则 BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=k23 BEACD12似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上
24、的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=kDF22BG=kkk2222321BGFGAEAF 又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD 例 9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明 SQAB，只需证明 AR：AS=BR：DS。证明：在ADS 和ARB 中。DAR=RAB=21DAB，DCP=PCB=21A
25、BCADSABR DSBRASAR 但ADSCBQ，DS=BQ，则BQBRASAR，SQAB，同理可证，RPBC 例 10 分析：要证明 AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD，只要证明ODOFOCOA即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。证明：ABED，BCFEODOBOEOA，OBOFOCOE两式相乘可得：ODOFOCOA 例 11 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明 FC=FG，首先要找出与 FC、FG 相关
26、的比例线段，图中与 FC、FG 相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到?FGFC（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。证明：FGACBE，ABEAGF 则有AEAFBEGF而 FCDE AEDAFC 则有AEAFDECF GFCFAFBEDEAE又BE=DE（正方形的边长相等）DFGFBEBE，即 GF=CF。例 12 证明：CO 平分C，2=3，故 RtCAERtCDO，CDACODAE 又 OFBC，ADABODBF又RtABDRtCAD，ADABCDAC，即ODBFODAEAE=BF。一、B、ACB、APAB 2.48,243 3.4 4.
27、6 5.5 或59 6.135 7.1,1,x2-x-1=0 8.7 8 二、9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 三、14.51分钟 15.(1)（略）（2）证GFC BED 16.(1)证BFD DGC 和BAD DAC；（2）证ABDABE。17.50m 40m 18.证ABCACP 和证ABD ADP 19.（1）略 （2）由（1）的结论和证 RtADC RtCDB 即得。20.(1)略 （2）36cm 21.先探索 AD 只能与 BC 成对应边，则ADBC=BDCD=ABBD，得 BD=100，BC=64，故ABD BDC 22.在ABC 中，作ACG=E，CG 交 AB
28、于点 G，在DEF 中，作EFH=A，FH 交 DE 于点 H，直线 CG、FH就是所求的分割线。似平行法平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似判定定理如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等那么这两个三角形相似简述为两角对应相等两三角形相似判定定对应成比例且夹角相等两三角形相似判定定理如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似简述为三边对应成比例两三角形相似判定直角三角形相似的方法以上各种判定均适用如果一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三角形中斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项如图中是斜边上的高则有射影定理如下注由上述射