2022届高考数学考前训练题.pdf

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1、2022年 高 考 数 学 考 前 训 练 题 1.如 图，在 四 棱 锥 P-ABCQ中，底 面 ABCQ为 正 方 形，以，底 面 ABC。，PA=AB,E 为 线 段 P8 的 中 点.(1)若 P 为 线 段 2 C 的 中 点，求 直 线 EF 和 平 面 ABC。所 成 角 的 大 小.(2)若 点 尸 在 线 段 B C 上 移 动，当 三 棱 锥 A-BEF体 积 最 大 时，求 异 面 直 线 E尸 与 PO所 成 角 的 大 小.【分 析】(1)以 A 为 坐 标 原 点，分 别 以 AB、AD.AP 所 在 直 线 为 x、y、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设

2、 出=48=2,求 出 平 面 A3CD的 一 个 法 向 量 与 后 1的 坐 标，由 两 向 量 夹 角 的 余 弦 值 可 得 直 线 EF 和 平 面 ABCD所 成 角 的 正 弦 值，再 由 反 三 角 函 数 得 直 线 E F 和 平 面 A8CZ)所 成 角 的 大 小；(2)当 BEF面 积 最 大 时，三 棱 锥 A-BEF体 积 最 大，此 时 尸 与 C 重 合，求 出 访 与 点 的 坐 标，由 两 向 量 夹 角 的 余 弦 值 求 解 异 面 直 线 EF与 尸。所 成 角 的 大 小.【解 答】解：(1)以，底 面 4BCD,底 面 ABCD为 正 方 形，：

3、.PA,48、A O 两 两 互 相 垂 直，以 A 为 坐 标 原 点，分 别 以 AB、AD,AP 所 在 直 线 为 x、y、z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 雨=A8=2,则 A(0,0,0),P(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,0,1),F(2,1,0),EF=(1,1,-1),平 面 ABC。的 一 个 法 向 量 为 G=(0,0,2),设 直 线 E尸 和 平 面 ABCD所 成 角 为 0,则 sinO=|cos=廿=卓，EF-AP 2x43$二 直 线 环 和 平 面 ABC D所 成 角 的 大 小 为 a rc s

4、 in y；(2)设 4 到 平 面 8 E F的 距 离 为/?,则 以 一 辆=ABEF 九，当 B E F面 积 最 大 时，三 棱 锥 A-B E F体 积 最 大，此 时 F 与 C 重 合,PD=(0,2,-2),EF=EC=(1,2,-1),设 异 面 直 线 E F与 所 成 角 为 a(0 a 是 平 行 四 边 形；平 面 以 DJ_平 面 A8CD,PA=PD=BA=BD=遍,A D=2,何 是 线 段 P C的 中 点.(1)求 证：平 面 BMD-.(2)求 二 面 角 C-B M-D 的 大 小.【分 析】(1)连 接 AC,B D,易 知。为 A C的 中 点，则

5、 OM%，由 此 可 得 证;(2)取 A O中 点 N,连 接 P M 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 MBC及 平 面 BM D的 法 向 量，利 用 向 量 的 夹 角 公 式 即 可 得 解.【解 答】解：(1)证 明：连 接 AC,BD,ACnBD=O,底 面 A B C D 是 平 行 四 边 形，为 A C的 中 点，又 M 是 PC的 中 点，J.OM/PA,又 南 C平 面 BMD,OMu平 面 BMD,，附 平 面 B M D；(2)取 A O中 点 M 连 接 PM：PA=PD,J.PNLAD,又 平 面 外。_L平 面 A BCD,；.PN_L 平

6、面 ABC。，以 点 0 为 坐 标 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，由 P4=P0=B4=BD=V5,AD=2,得 PN=BN=2,NA=1,：.N(0,0,0),P(0,0,2),D C-1,0,0),C(-2,2,0),M(-1,1,1),B(0,2,0),：.CB=(2,0,0),MB=(1,1,一 1),BD=(-1,-2,0),设 平 面 M 8C的 法 向 量 为 蔡=(x,y,z),则 CB m=2x=0T TM B-?n=x 4-y z=0则 可 取 m=(0,1,1),设 平 面 B M D 的 法 向 量 为 1=(a,b,c),贝 i j

7、 丝 二=一。一 2b=-n=a+b c=0则 可 取 7=(2/1/-1),设 平 面 M 5C与 平 面 B M D 所 成 的 二 面 角 为 9,则|cos0|=呼 巧=0,|m|n|n二 二 面 角 c-BM-O 的 大 小 为 一.2X【点 评】本 题 考 查 线 面 平 行 的 判 定 以 及 利 用 空 间 向 量 求 解 二 面 角 的 大 小，考 查 逻 辑 推 理 能 力 及 运 算 求 解 能 力，属 于 中 档 题.3.在 四 棱 锥 P-ABC 中，底 面 A3CD是 矩 形，B4_L平 面 A8CD,PA=AD4,A 5=2.线 段 A C的 中 点 为。，点 M

8、 为 PO上 的 点，且 M O=2 C.(1)求 证：平 面 ABM_L平 面 PCD；(2)求 二 面 角 B-A M-C 平 面 角 的 余 弦 值.【分 析】(1)利 用 线 面、面 面 垂 直 的 判 定 定 理、性 质 定 理 即 可 证 明；(2)通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，先 求 出 平 面 ABM与 平 面 AM C的 法 向 量，进 而 即 可 求 出 面 面 角 的 余 弦 值.【解 答】解：(1)证 明：由 题 意，例 在 以 B D为 直 径 的 球 面 上，贝 平 面 ABC。，J.PAYAB,X V A B 1 A D,PAQAD=A,平 面 以

9、O,：.ABLPD,：BMCAB=B,平 面 A B M,又 PQu平 面 PCD,平 面 A8M_L平 面 PCD.(2)由(1)可 知：平 面 ABM,.P)，AM,又 在 RtZ%。，PA=AD,：.PM=MD.如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2),由(1)可 知：而 是 平 面 A B M 的 一 个 法 向 量，PD=(0,4,-4),又(0,2,2),AC=C(2,4,0),设 平 面 A M C 的 一 个 法 向 量 为 蔡=(x,y,z),.(n-AM

10、 0.(2y+2z=0.七.前=0,T2x+4y=0，令 y=l,贝 I z=-1,x=-2,平 面 A M C 的 一 个 法 向 量 为 蔡=(-2,1,-1),所 以 cos=?8 e=织 V6x4v2 3二 面 角 B-A M-C 平 面 角 的 余 弦 值 为 号.【点 评】熟 练 掌 握 线 面、面 面 垂 直 的 判 定 定 理、性 质 定 理 及 通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 利 用 平 面 的 法 向 量 求 出 面 面 角 是 解 题 的 关 键.%24.点 尸(刈，川)为 椭 圆 C：+)2=1 上 位 于 x 轴 上 方 的 动 点，Fi,22分 别 为

11、C 的 左、右 焦 点.(1)若 线 段 尸 后 的 垂 直 平 分 线 经 过 椭 圆 C 的 上 顶 点 8,求 点 P 的 纵 坐 标 冲；(2)设 点 4(/,0)为 椭 圆 C 的 长 轴 上 的 定 点，当 点 P 在 椭 圆 上 运 动 时，求|以|关 于 xo的 函 数/(刈)的 解 析 式，并 求 出 使/(刈)为 增 函 数 的 常 数，的 取 值 范 围；(3)延 长 PFi、PF2,分 别 交 C 于 点 M、N,求 点 P 的 坐 标 使 得 直 线 M N 的 斜 率 等 于 一 宗【分 析】（1）根 据 题 意，建 立 关 于 x o,为 的 方 程 组，解 出

12、即 可；（2）由 两 点 间 的 距 离 公 式 表 示 出/（刈），再 由 二 次 函 数 的 性 质 可 得 出 f 的 取 值 范 围；（3）设 出 点 M,N 的 坐 标 及 直 线 直 线 P&的 方 程，分 别 与 椭 圆 方 程 联 立，进 而 可 得 到 直 线 的 斜 率，再 结 合 题 意 可 得 到 刈=5和，代 入 椭 圆 方 程 即 可 得 到 答 案.【解 答】解：（1）由 题 意 可 知，8（0,1）,|P剧=|3为|,则+（%1尸=瓜 即 婚+（7o-I）2=5,/x 2而 点 P（刈，州）在 椭 圆 三-+/=1上，则+y02=1,p o2+仇 T）2=5联

13、立（华+y02=1,解 得 y=与 土 lyoo.点 p 的 纵 坐 标 为 为=早;（2）:伊 川=V（x0-t）2+y02=J（x 上/+1 一 等=J塔 一 2tx0+t2+l,f（Xo）=J-2tx0+t2+1,x0 G（V5,V5）,其 对 称 轴 为 a=：，要 使/（xo）为 增 函 数，只 需:4 4A-V 5 t-（3）设 M（xi,y）,N（%2,”），直 线 PF 的 方 程 为 x=my-2,直 线 PF2的 方 程 为 x=ny+2f 则 T H=0+2，n=为 为,（x=my o由 I 2 i 匚 2 u得（+5）3-4my-1=0,（产+5y/=5 _ 4m _-

14、y0乃=浣 书 一%=砌 百，9%Q 20=见 为 4殉+9 同 理，由 匚 得（/+5）?+4 y-l=0,（%2+5*=5 J J.v _%x _ 9%一 20y2 _ 4 9/&-的 _ 9，十 P9 和 打 1，K M N 9XQ-20 9xQ+20-9 x 2-45-一 夕 4飞 一 9.4为+9：5-x02=&yo，则 5y（）2=xoyo，又 W 0,.xo=5州，代 入 椭 圆 方 程 得 y=等，【点 评】本 题 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 化 简 变 形 及 运 算 求 解 能 力，特 别 是 对 运 算 能 力 要 求 较 高，属 于 较 难

15、题 目.x25.过 椭 圆 W：5+)2=1的 左 焦 点 F 作 直 线/|交 椭 圆 于 A,B 两 点,其 中 A(0,1),另 一 条 过 尸 的 直 线/2交 椭 圆 于 C,。两 点(不 与 A,8 重 合)，且。点 不 与 点(0,-1)重 合，过 尸 做 x 轴 的 垂 线 分 别 交 直 线 AC,B C 于 E,G.(I)求 椭 圆 卬 的 离 心 率 和 8 点 坐 标；(II)求 证：E,G 两 点 关 于 x 轴 对 称.【分 析】(/)由 题 意 可 得 直 线/I的 方 程 为 y=x+l.与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组，即 可 求 解 B 点 坐 标；(

16、)设 C Cxi,yi),D(X2,”)，/2的 方 程 为 y=k(x+1),联 立 方 程 组，根 据 根 与 2 2系 数 的 关 系，求 得 为+%2=二 弊 与 不=%二 进 而 得 出 E,G 点 的 纵 坐 标，化 简 2F+1 2fcz+l即 可 证 得，得 到 证 明.x2【解 答】解：(/)由 椭 圆 的 标 准 方 程 万+丁=1,得 4=V L 6=1,C 1,所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 e=(=冬 由 题 意 可 得 人 的 方 程 为 y=x+l,1y=%+1X2 _,丁+y=i,解 得 x=0 或 一 1，当 x=时，y=所 以 B(g,.解：(2)当/2

17、斜 率 不 存 在 时，C,。两 点 与 E,G 重 合，因 为 椭 圆 W 关 于 x 轴 对 称，所 以 E,G 两 点 关 于 x 轴 对 称；当，2 斜 率 存 在 时，设 C(XI,户)，D(JV2,”)，(X2O),设/2的 方 程 为 y=Z(x+1)(Ml),y=k(xi+l),y2=k(%2+l),4 1/(O,1),B(g/一 3)，所 以 直 线 B C 的 方 程 为 y+沼(x+9，直 线 A D 的 方 程 为 蓊 X,联 立 y+X 与(*+力 解 得 x=-1v_ y i f-i _ 1-1)(/+1)丁 一 34+4-3+4-所 以 G(1,(k1)(/+1)

18、、3 尤 i+4“2-丫 2+1 _(1-k)(%2+l)x7 7 2一 二，所 以 E(-L%2(1-k)(工 2+1)、x2)y=所 以 y+=(1-幻(巧+1)+(1-)(2+1)=(1-初 2 4 2+3(11+久 2)+旬,3%+4%2 3%2+4%2/1 2-i联 立 区+y-1,得 y=k(x+1)(2+1)/+4&+2 F-2=0,因 为 A=(4代)2-4(2+1)(2-2)=83+80,4.k.2 2/C2-2所 以 与+g=2,%i%2=2，2k+1 2/?+l所 以 VG+V E2 7(l-fc)(2.2*z2-3.+4)2 k+l 2 k+l=0,3%I Q+4%2所

19、 以 yG=-yE,综 上 所 述：E,G 两 点 关 于 X 轴 对 称.【点 评】本 题 考 查 椭 圆 的 离 心 率，椭 圆 与 直 线 的 综 合 应 用，属 于 难 题.v26.己 知 椭 圆：+x2=1,过 椭 圆 左 顶 点 4 的 直 线/1交 抛 物 线 尸=2*(p0)于 B,C4两 点，且 鼠=2 乙，经 过 点 C 点 直 线/2与 椭 圆 交 于,E 两 点，且 也|=2&Z.(1)证 明：直 线/2过 定 点.(2)求 四 边 形 A O B E 的 面 积 最 大 值 及 p 的 值.【分 析】(1)设 直 线/I的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立，利

20、用 韦 达 定 理 结 合 向 量 的 关 系，求 出 yi=3,进 而 用 斜 率 表 示 yi,y2,p,求 出 点 C 的 坐 标，求 出 直 线/2的 方 程，即 可 证 明；(2)由 题 意 得 到 S 四 边 形 然 后 利 用 点 到 直 线 距 禺 公 式 求 出 点 A 到 直 线/2的 距 离 d,联 立 直 线/2与 椭 圆 的 方 程，利 用 弦 长 公 式 求 出 IDEI，从 而 表 示 出 a A O E 的 面 积，由 基 本 不 等 式 求 解 最 值，即 可 得 到 答 案.【解 答】(1)证 明：由 椭 圆：V2+X72=1,可 知 点 4 的 坐 标 为

21、(-1,0),且 直 线/1过 4点 A 与 抛 物 线/=2px(p0)交 于 B,C 两 点，则 直 线/1的 斜 率 存 在 且 不 为 0,设 直 线/1 的 方 程 为 尤=/ny-1(机 0),B(xi,yi),C(x2,y2),联 立 方 程 组；2二/；1 可 得 陕 2Pmy+2p=0,则()且 yi+y2=2pm,yi*=2p,由 盛=2 乙，则 点 C 为 线 段 A 8 的 三 等 分 点，故 yi=3y2,所 以、2=等，2病=|，则 片 2，因 此%2=m”-2=m 婴 一 2=一|,故 点 C（一 白）1又 您=沅，且=-2 5,所 以 3=-急，则 直 线 12

22、的 方 程 为 y 一 4=一 急（尤+令,即 y=_ 加+,=聂+1），所 以 当 一 尹+1=0,即 x=2 时，y=0,故 直 线/2恒 过 定 点（2,0）；T T AC 1（2）解：由 BC=2C4可 得，=一,CB 2故 S&BDE=2S&ADE,艮|J S 四 边 形 ADBE=S&ADE+SABDE=3SA ADE，1 1由（1）可 知，直 线 12为 y=-痂+而，即-2=0 且 A（-1,0）,故 点 A 到 直 线 12的 距 离 d=-I-2-21-=Ym 14-4m2设。（X3,”），E（X4,y4）,联 立 方 程 组 x 4-2my 2=0W+/=1可 得(l+1

23、6m2)y2-3 2 M l 2=0,故 4=(-32m)2-4X(1+16/W2)X 12=256w2-48,由|E|=Vl+4m2|y2 7i|-V 1+4 m|1+1 6 m2|所 以 S DE3|DE|d=？、l+4m 2.J 2露 渭.产 l+4 m28、16nl2 314-167712=8 xJ l6 m 2-3 _g二 16m2-3+4 l16m2_3+4=Jl6m2_3 8 x=2,当 且 仅 当“16巾 2 一 3=即 巾=4 时，A I D E 的 面 积 取 得 最 大 值 2,Jl67n23所 以 S 四 边 形 ADBE=S/ADE+S48DE=3S AADE=6,故 四 边 形 A D B E 的 最 大 面 积 为 6,心 计 8 8 128此 时 P=Q=G=H【点 评】本 题 考 查 了 椭 圆 标 准 方 程 与 抛 物 线 标 准 方 程 的 应 用、直 线 方 程 的 求 解，向 量 关 系 的 应 用，在 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 的 问 题 时，一 般 会 联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程，利 用 韦 达 定 理 和“设 而 不 求”的 方 法 进 行 研 究，属 于 难 题.