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1、2022年 高 考 数 学 考 前 押 题 1.如 图，在 三 棱 锥 P-A B C中，侧 面 以 C是 等 边 三 角 形，ABLBC,PA=PB.(1)证 明：平 面 B4C_L平 面 A8C；PM(2)若 A C=2 A B,点 M 在 棱 PC上，且 二 面 角 M-A8-C 的 大 小 为 45,求 二 二.【分 析】(1)取 A C的 中 点 为 O,连 接 PO,3。，证 明 POA也 POB丝 P O C,从 而 得 到 POLOB,结 合 POVA C,由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 POJ_平 面 4 8 C,即 可 证 明 结 论；(2)建 立 合 适
2、的 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标，设 PM=C=(0,24,-2 V 3 A)(0 A _LAC,由(1)可 知，OD,OC,OP两 两 垂 直，以 点。为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示，所 以 4(0,-2,0),B(百，-1,0),C(0,2,0),P(0,0,2百),故 ZB=(遮，1,0),AC=(0,4,0),AP=(0,2,2遮)，PC=(0,2,-273),设 俞=病=(0,24,-2732)(0 A 1),则 京=/+俞=(0,2(1+2),2V3(1-A),设 平 面 M 4 B 的
3、法 向 量 为=(x,y,z),则，.京=o,即 2(1+Qy+2V3(i-a)z=o,飞.成=o 1Kx+y=0令 彳=入-1,则)=遮(1一/1),Z=-l-入，故 71(A-1,V3(l A)1 4),又 晶=(0,0,2遥)是 平 面 A8C的 一 个 法 向 量，所 以 cos45=|cos=摩 二 L=+4:=乌,|OP|n|J(2-l)2+3(l-A)2+(l+/l)2i PM 1解 得 a=3,故 U=oJ rC o【点 评】本 题 考 查 了 立 体 几 何 的 综 合 应 用，涉 及 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 面 面 垂 直 的 判 定 定 理，二 面 角
4、，在 求 解 有 关 空 间 角 问 题 的 时 候，一 般 会 建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，将 空 间 角 问 题 转 化 为 空 间 向 量 问 题 进 行 研 究，属 于 中 档 题.2.如 图，在 三 棱 柱 ABC-A山 1。中，A4i_L底 面 481C1,ACLAB,AC=2,AB=4,AA=6,点 E,尸 分 别 为 C 4 与 A 8 的 中 点.(1)证 明：EF 平 面 BCCiBi；(2)求 二 面 角 E-BiF-A的 平 面 角 的 正 切 值.2JVI【分 析】（1）利 用 A A 1 C C 是 矩 形，连 接 A。连 接 BC1,利 用 中
5、 位 线 定 理 证 明 E尸 BCi,由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明 即 可；（2）过 H 在 平 面 AA181B内，作 HGL81尸 交 BiF于 点 G,连 接 E G,利 用 二 面 角 的 平 面 角 的 定 义，得 到/E G H 为 二 面 角 E-8 F-A 的 平 面 角，然 后 利 用 边 角 关 系 求 解 即 可.【解 答】（1）证 明：在 三 棱 柱 ABC-481cl中，因 为 A4J_底 面 4BiCi,所 以 三 棱 柱 是 直 三 棱 柱，故 四 边 形 441C1C是 矩 形，又 因 为 点 E 是 C 4 的 中 点，连 接 AC1,则
6、点 E 是 ACi的 中 点，连 接 8。，因 为 尸 是 4 8 的 中 点，所 以 EF BCi,因 为 BCiu平 面 BCCiBi,ERE平 面 BCC1B1,所 以 EF 平 面 BCCiBi；（2）解：因 为 平 面 CAAi_L平 面 A41B交 于 A41,Eau平 面 CAA1,所 以 EH_L平 面 A418,又 BiFu平 面 441B,所 以 EHLBiF,过，在 平 面 AAiBiB内，作 尸 交 81F于 点 G,连 接 EG,因 为 E H C H G=H,EH,”G u 平 面 EG”,所 以 BiF_L平 面 E G H,又 EGu平 面 EGH,所 以 Bi
7、 FL EG,因 此 N E G H 为 二 面 角 E-BiF-A的 平 面 角，又 因 为 A C L A 8,所 以/C4B=90,故 平 面 CA4i_L平 面 44iB,由（1）可 知，四 边 形 A 4 C 1 C 是 矩 形，取 4 4 的 中 点 H,连 接 E”，因 为 E 为 C41的 中 点，所 以 EHLA41,因 为 A C=2,所 以 E4=l,又 因 为 AB=4,AA（,尸 是 A B 的 中 点,所 以 在 矩 形 A 4 1 B 3 内，利 用 等 面 积 法 可 得，1 124=*x(3 x 2+3 x 4+6 x 2)+泗 F x GH,又 BiF=V6
8、2+22=2，IU,Q因 此 GH=在 RtAEGH 中，tan/EGH=需=等，V i o因 此 二 面 角 E-B1F-A的 平 面 角 的 正 切 值 为 丁.9【点 评】本 题 考 查 了 简 单 多 面 体 及 其 结 构 特 征 的 应 用，线 面 平 行 的 判 定 定 理 以 及 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 的 应 用，解 题 的 关 键 是 利 用 二 面 角 的 平 面 角 找 到 对 应 的 角，考 查 了 逻 辑 推 理 能 力、空 间 想 象 能 力 与 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题.3.如 图，四 边 形 4BC。为 正 方
9、 形，Q A m ABCD,PD/QA,尸 0=4,QA=AB=2.(1)证 明：PQ_L平 面 DCQ-,(2)求 二 面 角 Q-BP-C 的 余 弦 值.【分 析】(1)建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标，求 出 直 线 的 方 向 向 量，由 空 间 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 证 明 PQ_L。，P Q L D C,然 后 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即 可；(2)求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标，然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 平 面 P 8 C 和 平
10、 面 P8Q的 法 向 量，由 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 即 可.【解 答】(1)证 明：因 为 四 边 形 A8C。为 正 方 形，QA，平 面 ABC。,故 以。为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示，所 以。(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则 访=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,-1,0),所 以.而=0,PQ-DC=0,即 PQDQ,PQLDC,又。QDOC=C,DQ,OCu平 面 OCQ,故 PQL 平 面。CQ；(2)由 题 意 可 得 8(1,0,1),所 以 B=(l,0,0),BP=(-1,2,-
11、1),设=(x,y,z)是 平 面 PBC的 法 向 量，喏 公,瞎 一。，令 y=-1,贝 U z=-2,故 几=(0,1,2),设=(m b,c)是 平 面 P8Q的 法 向 量,则 何.另=0,即 号 巴,(m PQ=0-b=0令 Q=l,则 b=c=l,故 TH=(1,1,1),所 以 cos?n,n)=一，由 图 可 知，二 面 角 Q-B P-C 为 钝 角，故 二 面 角 Q-BP-C 的 余 弦 值 为 一 半.【点 评】本 题 考 查 了 空 间 向 量 在 立 体 几 何 的 综 合 应 用，涉 及 了 线 面 垂 直 的 证 明，二 面 角 的 求 解，在 求 解 有 关 空 间 角 问 题 的 时 候，一 般 会 建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，将 空 间 角 问 题 转 化 为 空 间 向 量 问 题 进 行 研 究，属 于 中 档 题.