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1、2022年 高 考 数 学 考 前 热 身 题 1.如 图，在 四 棱 柱 尸-ABC Q中，底 面 ABCD是 为 菱 形，ZABC=60,平 面 ABCQ,E 为 P O的 中 点.(1)证 明：BDYPC-,(2)若 PC与 平 面 4BCO所 成 角 为 0,且 t a n=/,求 二 面 角 P-AC-E 的 大 小.【分 析】(1)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 8。，平 面 B 4 C,即 可 证 明 结 论；(2)建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标，然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出
2、 平 面 AEC的 法 向 量，由 向 量 的 夹 角 公 式 求 解 即 可.【解 答】(1)证 明：因 为 四 边 形 4BCD为 菱 形，所 以 8。，AC,因 为 出，平 面 A8CD,BOu平 面 A5CD,则 又 APAAC=A,AP,ACu平 面 附 C,故 8。，平 面 PAC,又 PCu平 面 PAC,所 以 8 0 _ L PC；(2)解：因 为 见 _L平 面 ABC。，所 以 PC在 平 面 A B C D 内 的 射 影 为 AC,则 Z P C A 为 直 线 P C 与 平 面 A B C D 所 成 的 角，设 A C=2,则 BD=2 b，1 D A由 加 几
3、。=,=衣，解 得 力=1,设 A C的 中 点 为 O,尸。的 中 点 为 G,连 接 O G,则 OG 巩,所 以 OG_L平 面 ABC。，又 ACLBO,故 OC,OD,OG两 两 垂 直，以 点 O 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示,1 1则 力(-1,0,0),C(1 0/0),E(2/2 f 2)9所 以 AC=(2,0,0),=号，分，设 平 面 AEC的 一 个 法 向 量 为】=(%,y,z),则 L长 多 A C=-(0,即(21 X=Bln-4 E=0(2X+Ty+z=0令 y=L 则 2=一 次,故 n=(0,1,-V3),又 蔡
4、=(0,L 0)为 平 面 以。的 一 个 法 向 量，所 以 I c o s d 能 力=景=普=看 故 二 面 角 P-4 C-E 的 大 小 为 60.【点 评】本 题 考 查 了 立 体 几 何 的 综 合 应 用，涉 及 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 性 质 的 应 用,二 面 角 的 求 解 问 题，在 求 解 有 关 空 间 角 问 题 的 时 候，一 般 会 建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系,将 空 间 角 问 题 转 化 为 空 间 向 量 问 题 进 行 研 究，属 于 中 档 题.2.如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，底 面 AB
5、C。是 边 长 为 2 的 正 方 形，平 面 力。J_底 面 ABCD,PB=PC=V6.(1)证 明：平 面 RAB_L平 面 PCQ；(2)已 知 点 M 是 线 段 P C的 中 点，求 钝 二 面 角 4-8 M-C 的 余 弦 值.【分 析】（1）由 已 知 证 明 4PLCD,PDA.CD,ABPA,求 解 三 角 形 证 明 以 J_P。，再 由 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 可 得 以，平 面 PCD,进 一 步 得 到 平 面 平 面 PCD；（2）由（1）知，PA=PD,又。为 AO 的 中 点，M POLAD,可 得 PO_L 平 面 A8CZ）,且 尸 0=
6、*4。=1,建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 两 平 面 ABM,C8例 的 法 向 量，用 向 量 法 求 钝 二 面 角 A-B M-C 的 余 弦 值.【解 答】解：（1）证 明：底 面 ABC。是 正 方 形，.A。J_CD,:平 面 以。，底 面 ABCQ,且 平 面 B4OC底 面 ABCQ=A。，COu平 面 ABCQ,，CD_L平 面 以。，而 AP、尸。=J（遥/-22=VI,又；AD=2,：.PA2+PD2=AD2,得 J_PO,:PDCCD=D,./%!.平 面 尸 C。，而 以 u 平 面 B,平 面 B4B_L平 面 PCD；（2）解：由（1）知，PA=PD,取
7、 A。的 中 点。，连 接 P。，在 平 面 A8CO内 作 ON_LA。；.PO_LA,：平 面 B4O_L底 面 ABC。，且 平 面 B40rl 底 面 A8C)=AD,POu平 面 AAD,平 面 ABC。，且 PO=gA)=l,POA.ON,以。为 坐 标 原 点，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 点 A(1,0,0),8(1,2,0),C(-1,2,0)P(0,0,1)1 1M(一 5，1,-),2 21 T 1 1所 以 48=(0,2,0),AM=(一 右 1,-),CB=(2,0,0),CM=(-,-1,一)2 2 2 2设 平 面 A M 5 的
8、一 个 法 向 量 九=(x,y,z),则 产-AM=Otn-=0(2y=0，所 以 1|x+y+%0令 x=l,则 y=0,z=3,所 以 平 面 A W B 的 一 个 法 向 量=(1,0,3),设 平 面 B M C 的 一 个 法 向 量 益=(a,b,c)则 L7n.rCnB：0(,所 以 f2工%=_ 0itm-CM=0.2xy+2z=O令 c=2,则 a=0,b=l,所 以 平 面 B M C 的 一 个 法 向 量/=(0,1,2),所 以 cosn-m _ 6 _ 3/2I I I l=y/10X5=.钝 二 面 角 A-BM-C 的 余 弦 值 为 一 等.【点 评】本
9、题 考 查 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，训 练 了 利 用 等 体 积 法 求 点 到 平 面 的 距 离，是 中 档 题.3.如 图，四 面 体 ABC。中，。是 BZ)的 中 点，ABO和 8C。均 为 等 边 三 角 形，AB=2,AC=y/6.(1)求 证：4。_1_平 面 8。；(2)求 二 面 角 A-8C-。的 正 弦 值.【分 析】(1)连 接 0 C,利 用 正 三 角 形 的 性 质 可 得 A0J_8D,再 利 用 勾 股 定 理 证 明 AO_Lo c,根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即
10、 可；(2)过 点。作。于 点 E,连 接 A E,由 二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 可 得，NAEO即 为 二 面 角 A-BC-D 的 平 面 角，在 三 角 形 中 由 边 角 关 系 求 解 即 可.【解 答】(1)证 明：连 接 0 C,因 为 A B O为 等 边 三 角 形，。为 BZ)的 中 点，则 AOLBD,因 为 和 BC。均 为 等 边 三 角 形，。为 8。的 中 点，AB=2,AC=V6,所 以 AO=CO=V3,在 AOC 中，AO2+CO2=A C2,所 以 AO _LO C,又 BDCOC=O,BD,OCu平 面 BC。，故 AO_L平 面 BCD；
11、(2)解：过 点。作 O E L8O于 点 E,连 接 AE,因 为 A。J_平 面 BCD,所 以 A E在 平 面 B C D 内 的 射 影 为 OE,则 AEBC,故/A E O 即 为 二 面 角 A-B C-D 的 平 面 角，在 RtAAEO 中，AO=V3,0E=彩,A E=孚，所 以 sinNAEO=第=毯=等,T故 二 面 角 A-BC-D 的 正 弦 值 为【点 评】本 题 考 查 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 应 用，二 面 角 的 求 解，主 要 考 查 了 几 何 法 求 解 二 面 角，解 题 的 关 键 是 正 确 找 到 所 要 求 解 的 二 面 角 的 平 面 角，考 查 了 逻 辑 推 理 能 力 与 化 简 运 算 能 力，属 于 中 档 题.