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1、2022年高考数学考前训练题1.如图，在直三棱柱81cl中，底面48C为等边三角形.点。为 441的中点，BCBB=2.(I)求证：8Ci_L平面 81C。；(I I)求直线。团 与平面8 8 所成角的正弦值;(I I I)求二面角8-8-囱的正弦值.【分析】(I)证明8。垂直于平面囱8内两条相交直线。与 B C 即可；(H)用向量 的 数 量 积 计 算 直 线 与 平 面 8 8 所成角的正弦值；(I I I)用向量数量积计算二面角的余弦值，进而求解.【解答】(I)证明：设 囱 CnBCi=O,因为为直三棱柱，B C=B B i，所以四边形8囱。为正方形，所以 8Ci_L8iC,081=O
2、C,OB=OC,因为 D C=AD?+A C 2=县,同理。8 i=而，于是。C=D 8i，所以。D_L8C，因为 O Z)nB iC=O,所以 8CiJ_平面 8iCD；(H)解：由(I)知。8、081、OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为。=8csin45=V2,D C=烟,所以 0 D=7 DC2-3 =百,BC=(-V 2,-V2,0),BD=(-V 2,0,遮)，D B1=(0,V2,-遮)，设平面8 c o 的法向量为n=(x,y,z),(BC-n=-V 2 x-V 2 y=0)令、=-=(后 后 近),(BD-n=-V2x+V3z=0IDBi-nl 276 V15所以
3、直线DBi与平面B C D所成角的正弦值为-i=母方=DBi-n V5-2V2 5(II I)解：由(I I)知平面8 8 的法向量为n=(V3,-V3,V2),平面8CD的法向量为茄=(1,0,0),设二面角 B-C D -B 的 大 小 为|c os0|=吗-=7=乎,sin 0=V l-cos20=|n|-|m|2 7 2.1 4 4【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题.2.如图，已知长方形48 C D中，AB=2 2,AD=V 2,初 为。C的 中 点.将 沿折起，使 得 平 面 平 面/8 C N.(1)求证：平面/A/
4、_ L平面8 W D；(2)若点E是线段。8上的一动点，问空为何值时，二面角的余弦值为坐.DB5【分析】(1)利用勾股定理求出出W,B M,从而证出8M利用面面垂直的性质定理 得 出 平 面A D M,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面N M O _ L平面B M D；DE(2)设点。为的中点，连接O C,建立如图所示的直角坐标系，设 二=A(O 2 =5 1/=I，|n|7n|J 4+l x j 4+l 5右图可知，二面角E-P B-C为锐角，【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.