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1、2022 届高考数学备战热身卷 5 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。）1（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知集合3215Axx ，1ln1Bx yxx，则AB（）A1,2 B1,2 C 1,00,2 D 1,00,2【答案】C【详解】由3215x 得：22x，2,2A；由100 xx 得：1x 且0 x，1,00,B；1,00,2AB.2（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知复数 z 满足条件62iz zz，则z（）A5 B2 2 C5或2 2 D5或6【答案】C【详解】设i,Rzxy x y，则izxy，所以，22z
2、zxy，所以，22i62iz zzxyxy，则2262xyxy，解得22xy 或12xy，故22iz 或12zi，因此，2 2z 或5.3（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知函数 fx与 g x的部分图象如图 1（粗线为 fx部分图象，细线为 g x部分图象）所示，则图 2 可能是下列哪个函数的部分图象（）A yf g x B yf x g x C yg f x D fxyg x【答案】B【详解】由图 1 可知 f x为偶函数，g x为奇函数，A 选项，f gxfg xf g x，所以 yf g x是偶函数，不符合图 2.A 错.C 选项，g fxg f x，所以 yg f x是偶函数，不
3、符合图 2.C 错.D 选项，00g，所以 fxyg x的定义域不包括0，不符合图 2.D 错.B 选项，fx gxf x g x，所以 yf x g x是奇函数，符合图 2，所以 B 符合.4（2022陕西西安市长安区第十二中学高一阶段练习）设 Sn为等差数列an的前 n 项和，且2018201612018,220182016SSa ，则 a2()A2 016 B2 018 C2 018 D2 016【答案】A【详解】因为 Sn为等差数列an的前 n 项和，所以nSn为等差数列，且首项为2 018.又因为20182016220182016SS，所以公差为 1，所以22s2 01812 017
4、.所以 S2a1a22 0172.即 a22 016.5（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E到平面 ACD1的距离为（）A12 B22 C13 D16【答案】C【详解】如图，以 D 为坐标原点，1,DCDADD，分别为 x轴，y 输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0DEAC 从而11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1EACDAD .设平面1ACD的法向量为,na b c，则100n ACn AD，即200abac ，得2abac，令2a，
5、则2,1,2n，所以点 E 到平面1ACD的距离为1|2 1 2133|D Ehnn 6（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A样本中多数男生喜欢手机支付 B样本中的女生数量少于男生数量 C样本中多数女生喜欢现金支付 D样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量【答案】C【详解】对于 A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A 对；对于 B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B 对；对于 C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支
6、付，C 错；对于 D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D 对.7（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）若双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，点 P 为 C的左支上任意一点，直线 l是双曲线的一条渐近线，PQl，垂足为 Q当2PF PQ的最小值为 6 时，1FQ的中点在双曲线 C 上，则 C 的方程为（）A222xy B224xy C22116yx D22124xy【答案】B【详解】212PFPFa，211|22PFPQPFPQaFQa，又1,0Fc，2,0Fc，双曲线的渐近线方程为：byxa，即0bxay，焦点到渐近线的距离为22bcb
7、cbcab，即1FQ的最小值为 b，即26ba，不妨设直线 OQ为：byxa，1FQOQ，点1,0Fc，2(,)aabQcc，1FQ的中点为22(,)22acabcc，将其代入双曲线 C 的方程，得：2222222()144acaa cc，即22222221144acaacc，解得：2ca 又26ba，222abc，2ab，故双曲线 C的方程为224xy 8（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知 2ln,045,1xxfxxxx，若方程()()f xm mR有四个不同的实数根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是（）A（3，4）B（2，4）C0，4）D3，4）【答案】D【详解
8、】由方程()()f xm mR有四个不同的实数根，得函数()yf x的图象与直线ym有四个不同的交点，分别作出函数()yf x的图象与直线ym 由函数()f x的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m 设ym与|ln()|(0)yxx交点的横坐标为1x，2x，设12xx，则11x ，210 x，由12lnlnxx得12lnlnxx，所以121xx，即121x x 设ym与245(1)yxxx的交点的横坐标为3x，4x，设34xx，则312x，423x，且344xx，所以2343334243,4)x xxxx ，则12343,4)x x x x 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分
9、，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。）9（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）方程22141xykk表示的曲线为 C，下列正确的命题是（）A曲线 C可以是圆 B若14k，则曲线 C 为椭圆 C若曲线 C 为双曲线，则1k 或4k D若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则512k【答案】ACD【详解】A.若曲线 C 是圆，则410kk，解得52k，故正确；B.若曲线 C为椭圆，则401041kkkk ，解得14k且 52k，故错误；C.若曲线 C 为双曲线，则410kk，解得1k 或4k，故正确；D.若曲线
10、C 表示焦点在 x轴上的椭圆，则401041kkkk，解得512k，故正确.10（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）某保险公司为客户定制了 5 个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险各种保险按相关约定进行参保与理赔 该保险公司对 5 个险种参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的有（）A54 周岁以上客户人数最多 B18-29 周岁客户参保总费用最少 C丁险种更受客户青睐 D30 周岁以上的客户约占参保客户的 80%【答案】CD【详解】对于 A，由参保人数的扇形统计图可知，54 周岁以上客户占 8%，人数最少，所以A
11、错误，对于 B，由于统计图显示的人均参保费用，人数未知，所以不能确定总费用，所以 B 错误，对于 C，从参保险种比例图可知，丁险种参保比例最高，所以丁险种更受客户青睐，所以 C正确，对于 D，因为 18-29 周岁客户约占 20%，所以 30 周岁以上的客户约占参保客户的 80%，所以 D 正确.11（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知1eab（e 为自然对数的底数），则（）Abaab Beeabab Ceebaaa Deebbaa 【答案】AD【详解】因为1eab，所以01baaaa，01abb，10loglogbbab 对ba，ab，eeab这三个数先取自然对数再除以ab，则lnlnl
12、nbabaaababa，lnlnlnababbababb，elne1lneeeabab,设 ln xfxx，则 21 ln xfxx，由 0fx，解得0ex，所以 fx在0,e上单调递增，故 ef af bf，即lnlnlneeabab，则eeabbaab，故eeababaaab.12（2022全国高二课时练习）有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a的直铁条，使这六根直铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥铁架，则此三棱锥的体积可能是（）A1412 B2 23 C16 327 D19 327【答案】ABC【详解】如图所示，设ABCDa，2ACADBDBC，取 CD 的中点 E，
13、连接 AE,BE，则,AECD BECD，而AEBEE，所以CD平面 ABE.由勾股定理可得244aAEBE，取 AB中点 F，连接 EF，则EFAB，又ABa，所以2222244442aaaEFAEAF，所以21422ABEaSa，所以三棱锥的体积2641114402 232262aaVaaaa.令2at，0,8t，则321462tVt.令 23142f ttt，0,8t，则 2338822fttttt，令 0ft，得163t，且当160,3t时，0ft，f t单调递增，当16,83t时，0ft，f t单调递减，所以 2max16416327f tf，则 V的最大值为21416 316627
14、27，所以此三棱锥的体积的取值范围是16 30,27，故选项 A，B，C 满足题意.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）已知1sin()cos3，29cossinsin6，则sin()_【答案】56【详解】由题得1sincos3，1cossin2，所以115sin()sincoscossin326.14（2022湖南雅礼中学高三阶段练习）511xxx展开式中12x的系数为_ 【答案】0【详解】51xx展开式的通项5115222155CCkkkkkkTxxx，所以51(1)xxx展开式的通项为11525Ckkx，或22225722
15、55CCkkkkxxx，故其中12x的系数为2355CC0.15（人教 A 版（2019）选修第三册名师精选学业水平综合性测试卷）学校有 a，b两个餐厅，如果王同学早餐在 a餐厅用餐，那么他午餐也在 a餐厅用餐的概率是34；如果他早餐在b餐厅用餐，那么他午餐在a餐厅用餐的概率是14 若王同学早餐在a餐厅用餐的概率是34，那么他午餐在 a 餐厅用餐的概率是_【答案】58；0.625【详解】设1A表示“早餐去 a餐厅用餐”，1B表示“早餐去 b 餐厅用餐”，2A表示“午餐去 a餐厅用餐”，且 111P AP B，根据题意得 134P A，114P B，2134P A A，2114P A B，由全概
16、率公式可得 2121121P AP A P A AP B P A B 3311544448 16（2022广西柳州三模（理）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体ABCD中，3ABAC，4BC，则该四面体的内切球表面积为_.【答案】45【详解】如图示，将等腰四面体ABCD补成一个长方体，设,=AFx AEy AHz，则2222221699xyzyxz，解得2 22 21xyz，故四面体ABCD的体积为1182 22 2 142 22 2 1323V ,设该四面体的内切球的半径为r，则143ABCVSr ，而2214322 52ABCS ，故8154
17、2 5,335r r ，则该四面体的内切球表面积为2445r.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。第 17 题 10 分，其余每题 12 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（2021全国模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B的平分线与AC交于点D(1)若2ca，ABD的面积为 6，求ABC的面积；(2)若23ABC，4BD，求ABC周长的最小值【答案】(1)9；(2)168 3.【解析】(1)因BD是ABC的角平分线，即ABDDBC，于是得1sin221sin2ABDBCDAB BDABDSSacBD BCDBC，即132BCDABDSS，369
18、ABCBCDABDSSS，所以ABC的面积为 9.(2)由(1)知123ABDDBCABC，又ABCBCDABDSSS，则有1 1 12sinsinsin232323AB BDBC BDBC BA，又4BD，则4 acac，由余弦定理得22222222212cos316bacacacacacaca cac，设ABC的周长为l，则有2211416labcaca cac，因4()8acacac，当且仅当ac时取“=”，从而有64ac，令64acx，则211416lxxx，而函数211416yxxx在64,)上单调递增，即当64x 时，min168 3y，则有min168 3l，即ABC周长的最小值
19、为168 3.18（2022陕西周至一模（理）某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市30名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝100mL以上的”为常喝.已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为415.常喝 不常喝 合计 有糖尿病 6 无糖尿病 18 合计 30(1)请将上表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；(2)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.参考公式及数据：22n adbcKabcdacbd，nabcd
20、 .20P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)列联表答案见解析，有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关；(2)815【解析】(1)：由题意知430815，所以，糖尿病患者共有 8 名，其中不常喝酒的有8 62名，则2 2列联表如下：常喝 不常喝 合计 有糖尿病 6 2 8 无糖尿病 4 18 22 合计 10 20 30 由表中的数据可得22306 184 28.5237.87910 20 8 22K ，因此，有99.5%的把握认为糖尿病与喝
21、酒有关.(2)设两名老年人分别为a、b，其余四名中年人为c、d、e、f，则所有可能出现的结果有,a b、,a c、,a d、,a e、,a f、,b c、,b d、,b e、,b f、,c d、,c e、,c f、,d e、,d f、,e f，共15种，其中事件“有一名老年人和一名中年人”包含的结果有：,a c、,a d、,a e、,a f、,b c、,b d、,b e、,b f，有8种，因此，恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率815P.19（2021广东广州市第二中学高二期中）如图，在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且3PAPBPC，G是PAB的重心，E，F分别为BC，
22、PB上的点，且:1:2BE ECPF FB.（1）求证：平面GEF 平面PBC；（2）求证：EG是直线PG与BC的公垂线；（3）求异面直线PG与BC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，3,0,0,0,3,0,0,0,3,0,1,0,0,2,1,1,1,0ABCFEG，1,0,0GF ，0,0GF PCGF PB，所以,GFPC GFPB PCPBP，所以GF 平面PBC，由于GF 平面GEF，所以平面GEF 平面PBC.（2）1,1,1,0,3,3EGBC，0,0EG PGEG BC，所以EG是直线PG与BC的公垂线.（3）2
23、221113EG.所以异面直线PG与BC的距离为3.20（2022全国模拟预测）已知数列 na中11a，2112nnaan.(1)求 na的通项公式；(2)若21nnca，数列1nc的前 n 项和为nT，证明：21211nnnaTa.【答案】(1)nan；(2)证明见解析【解析】(1)将2112nnaan两边同时平方，整理得22112nnaan，所以数列 2na是首项为211a，公差为 1 的等差数列，所以2111nann .由题知0na，所以nan.(2)因为nan，所以2121nncan，则1121ncn.先证21nnTa：当1n 时，11a，11T，满足21nnTa；当2n时，11222
24、1232121212123nnncnnnnn ，所以 2113153212321nnTnnna .故21nnTa得证.再证211nnTa：因为112221212121212121nnncnnnnn ，所以 213153212121 11nnTnnna .故不等式21211nnnaTa 成立.21（2022全国模拟预测）已知1F，2F是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，且双曲线C过点15 2 3,33P，120PF PF(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点0,1的直线l交双曲线C左、右两支于M，N两点，交双曲线C的渐近线于P，Q（点Q位于y轴的右侧）两点，求MPQNPQPQ
25、的取值范围【答案】(1)2212yx；(2)0,31.【解析】(1)设双曲线的半焦距为c，12152 3152 3,03333PF PFcc ，23c 又2254331ab，222abc，解得1a，2b，双曲线C的方程为2212yx (2)由题意可设直线l的方程为1ykx，双曲线C的渐近线方程为2yx，联立2,1,yxykx得12Pxk，联立2,1,yxykx 得12Qxk，2222112 2 111222PQkPQkxxkkkk 联立221,21,yxykx得222230kxkx，设11,M x y，22,N xy，则12222kxxk，12232x xk，由 22212220,44230,
26、30,2kkkx xk 即22k，22221212212 23142kkMNkxxx xk，111MPQNMPQNPQMPQNPQMNPQPQPQPQPQPQ 222222212 2313122 2 1kkkkkk 又202k，2133k，20313 1k，MPQNPQPQ的取值范围为0,31 22（2022新疆一模（文）已知实数0a，设函数 221ee2x afxa x，fx是函数 f x的导函数.(1)当1a 时，求函数 fx的单调区间；(2)证明：fx存在唯一零点，并求零点的最大值.【答案】(1)在,1 ln2上单调递减，在1 ln2,上单调递增；(2)证明见解析，零点的最大值为ln 2
27、.【解析】(1)当1a 时，121ee2xfxx，则 121eeee e22xxfx，令0fx得：1 ln 2x ，又fx在 R 上单调递增且1 ln20f，故,1ln2x 时0fx；1 ln2,x时0fx 所以 f x在区间,1ln2上单调递减，在区间1 ln2,上单调递增.(2)由 221ee2x afxa x得：221ee2x afxa，且fx在 R 上单调递增.设 eexxx，则 eexx，当,1x 时 0 x，x单调递减；当1,x时 0 x，x单调递增，所以 10 x，即eexx，又2222221elne1022faaaaa，222222222211e2ee2ee2e0222afaaaaaa.所以fx在22ln,2aaaa上存在唯一零点0 x使得0221ee2xaa，解得022lnln2xaa.设 22lnln2t aaa，0,a，则 21taa，令 210taa 得：2a，当0 2a,时 0t a，则 t a单调递增；当2,a时 0t a，则 t a单调递减；所以 max2ln2t at，故fx的零点的最大值为ln 2.