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1、2023年 高 考 数 学 考 前 热 身 题 1.如 图，三 棱 锥 A-B C D 中，CQ_L 平 面 ABC,AC=CB=CD,Z A C B=9 0，点 E,F分 别 是 AB,A的 中 点.(1)求 证：AC_L平 面 BCD；(I I)求 直 线 4。与 平 面 C E F所 成 角 的 正 弦 值.【分 析】(I)证 明 AC_LCD,A C C B.然 后 证 明 ACJ_平 面 BCD(I I)以 点 C 为 坐 标 原 点，分 别 以 直 线 CB,CD,C 4为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C-x y z.求 出 平 面 C E F的 法 向 量
2、，设 直 线 A O与 平 面 C E F所 成 角 为&利 用 空 间 向 量 的 数 量 积 求 解 直 线 A D与 平 面 C E F所 成 角 的 正 弦 值 即 可.【解 答】(I)证 明：因 为。C L平 面 ABC,ACu平 面 A8C,所 以 AC_LCD因 为 NACB=90,所 以 AC_LCB.因 为 CZ)n C 8=C,CDc5Fffi BCD,CBu平 面 BCD,所 以 AC_L平 面 BCD.(5 分)(I I)解：因 为 C_L平 面 ABC,所 以 C8JLCD.6分 以 点 C 为 坐 标 原 点，分 别 以 直 线 CB,CD,C A为 x,y,z轴
3、建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C-“z.设 A C=B C=2,则 O C=4.因 为 点 E,尸 分 别 是 AB,4。的 中 点，所 以 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,4,0),E(1,0,1),F(0,2,1).设 平 面 C E F 的 法 向 量 为:=(x,y,z),则 二 叫 U力。，令 y=l,贝！J z=-2,x=2.所 以？i=(2,1,-2).设 直 线 A O 与 平 面 C EF所 成 角 为 e.所 以 si=cosn,AD)=n-AD 8=4V5nAD 3x2 店 154V5所 以 直 线 A O 与 平 面 CE尸 所 成
4、角 的 正 弦 值 束.(13 分)【点 评】本 题 考 查 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理 的 应 用，直 线 与 平 面 所 成 角 的 求 法，考 查 空 间 想 象 能 力，转 化 思 想 以 及 计 算 能 力，是 中 档 题.2.如 图 1,在 直 角 梯 形 A8CQ 中，AB/CD,ZB=90,AB=3,CD=2,BC=V3,E 在 A B 上，且 A O=A E.将 AOE沿 E折 起，使 得 点 4 到 点 尸 的 位 置，且 P 3=P C,如 图 2.(1)证 明：平 面 PDE_L平 面 BCDE-,(2)求 二 面 角 C-P 8-E 的 正 弦 值
5、.CD【分 析】（1）取 O E的 中 点。，连 接 P O,取 8 c 的 中 点 M,连 接 M O,连 接 P M,利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 8 c，平 面 P M O,从 而 得 到 BCA.PO,则 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 证 明 PO_L平 面 B C D E,由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即 可；（2）建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 所 需 点 的 坐 标 和 向 量 的 坐 标，然 后 利 用 待 定 系 数 法 求 出 平 面 的 法 向 量，由 向 量 的 夹 角 公 式 以 及 同 角
6、 三 角 函 数 关 系 求 解 即 可.【解 答】（1）证 明：如 图，取。E 的 中 点 O,连 接 尸 0,则 尸。=PE,POLDE,取 BC的 中 点 连 接 M O,则 例 0 8 E,故 MO_LBC,连 接 P M,因 为 尸 B=PC,M 为 B C的 中 点，所 以 PMLBC,又 P M C 0 M=M,PM,OMu平 面 PMO,所 以 BCJ_平 面 P M O,又 POu平 面 PMO,贝（1 BCA.PO,在 平 面 BCDE内，BC与。E 相 交，因 此 PO_L平 面 BCQE,又 POu平 面 PDE,故 平 面 PZ?EJ_平 面 BCDE-,（2）解：由
7、（1）可 知，PO_L平 面 B C D E,连 接 CE,则 BC=V3,BE=1,故 CE=ICB2+BE2=2=CD,连 接 C O,则 CO DE,则 C0=V3,以 点。为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示，则 P（0,0,V3）,E Q,0,0）,C（0,V3,0）,B（|,空,0）,所 以 PB=（,，V3），CB=，0）,EB=（；,0）,设 平 面 P8C的 法 向 量 为 m=（x,y,z）,oy-V3 z-oy=732V3-2+-XXr3l21312即 oo=丽 后 m.m.则-z=V3w 则=1令 故 m=(1,V3,V3).设 平 面
8、 PBE的 法 向 量 为=(a,b,c),oV3c=。-会 髡=h+zaayo,o则=而 前 V3.-TnTn-，一 一=-f-r-|?n|n|47x45 V35故 二 面 角 C-PB-E 的 正 弦 值 为 1-A2=嚼【点 评】本 题 考 查 了 立 体 几 何 的 综 合 应 用，涉 及 了 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 和 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 的 应 用，在 求 解 有 关 空 间 角 问 题 的 时 候，一 般 会 建 立 合 适 的 空 间 直 角 坐 标 系，将 空 间 角 问 题 转 化 为 空 间 向 量 问 题 进 行 研 究，属 于 中 档 题.
9、3.如 图，在 六 面 体 A8CD-A1B1C1D1中，底 面 ABC。为 菱 形.(1)求 证：B D 不 垂 直 于 平 面 4 O D 4；n 27r(2)若 A4i_L平 面 A8C。，且 AO=3,441=4,ZDAB&,一,求 平 面 AiDB 与 平 面 A B D 夹 角 的 正 切 值 的 取 值 范 围.【分 析】(1)建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 N D 4 B=&求 得 各 点 坐 标，假 设 平 面 A1D1D4,则 B O L A。，通 过 向 量 运 算 可 知。=0,即/O A 8=0,这 与 四 边 形 ABC。为 菱 形 矛 盾,从 而 得 证;
10、(2)根 据 0 的 范 围 可 得 sin?e 碍，噂，c o s 亭，再 求 出 平 面 A B O 及 平 面 的 一 个 法 向 量，利 用 向 量 的 夹 角 公 式 可 得 cosa=cos=I 3*再 通 过 换 J16+9COS25元 及 三 角 函 数 的 有 界 性，结 合 函 数 的 性 质 可 得 cosa的 取 值 范 围，由 此 得 到 tana的 取 值 范 围，从 而 得 出 答 案.【解 答】解：(1)证 明：连 接 4 C,设 A C n 8 D=。,.四 边 形 ABC。为 菱 形，：.ACLBD,以 AC,B0 所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴
11、，以 过 O 且 垂 直 于 平 面 ABC。的 直 线 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，n设 N D 4 8=e,则 Z0AB=LOAD=全.AO=3cos2，OB=3sinn n n n.A(3cos-,0/0),8(0,3sin 0)，0(0,-3sin 0)，C(-3cos,0,0),T 0 T 0 0：.BD=(0,-6s讥 0),AD=(-3cosJ,一 3s讥 0),若&)_L平 面 4 O 1 D 4,则 3O_LAO,n：.BD AD=0,即 18s加 2/o,，s讥 2 0,则。=0,即 N D 4 8=0,这 与 四 边 形 ABC。为
12、菱 形 矛 盾,不 垂 直 于 平 面 A IQ ID A：(2)V 0 G 学 第，9 n n 5 叫，3,s n i 坛，-J,co s 坛，29易 知，平 面 ABD的 一 个 法 向 量 为 茄=(0,0,1),.4 平 面 48(7力，g，4 I(3COS2，0,4),T f)G AB(-3cos 2/3sin/4),设 平 面 ADB 的 一 个 法 向 量 为 n=(%,y,z),则 7 T 0n BD=G sin-y=0 1 n-8 8,则 可 取 九=(4,0/一 3 c o s,),n-AXB=-3cos 2,x+3sin,y 4z=0设 平 面 A D B 与 平 面 A B D 夹 角 大 小 为 a,则 cosa=co s=-3cos216+9cos0-223cosgJ16+9cos-0-22，平 面 A iD B与 平 面 A B D夹 角 的 正 切 值 的 取 值 范 围 是 等，|.|拓 Imllnl【点 评】本 题 主 要 考 查 空 间 向 量 在 研 究 立 体 几 何 问 题 中 的 运 用，同 时 还 涉 及 了 三 角 函 数 的 化 简 求 值，考 查 了 换 元 思 想，函 数 思 想 以 及 转 化 思 想，考 查 逻 辑 推 理 及 运 算 求 解 能 力,计 算 量 较 大，属 于 较 难 题 目.