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1、2022 届高考数学备战热身卷 1（解析版）一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。）1（浙江省浙东北联盟（ZDB）2021-2022 学年高一上学期期中数学试题）若23,2a aa，则实数a的值等于（）A1 B3 C D3 或1【答案】A【分析】分类讨论结合集合中元素的性质求解即可.【详解】当3a 时，223aa，不满足集合中元素的互异性；当223aa时，即1a 或3a（舍），此时2,21,3a aa.2（2021浙江绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知aR，若复数2izaaa（i是虚数单位）是纯虚数，则a（）A0 B1 C1
2、D2【答案】C【分析】根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】2izaaa是纯虚数，则200aaa，解得1a.3（2021海南模拟预测）函数 41 931xxf xx的部分图象大致为（）A B C D【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由 10f函数值的符号判断排除可得选项.【详解】因为函数()f x的定义域为 R，且 441 9913131xxxxfxf xxx，所以函数()f x是奇函数，故排除 C、D，又 41 941033 11f，故排除 B 选项.4（2021全国模拟预测）已知首项为 13 的等差数列 na的前 n 项和为nS，且3S，5S，912S
3、 成等差数列若mkSS，且mk，则mk（）A8 B10 C12 D14【答案】D【分析】设出公差d,由3S，5S，912S 成等差数列及mkSS，得到m与k的关系式，从而求解【详解】设等差数列 na的公差为 d，因为539212SSS，所以 1112 5103393612adadad，整理可得，1219120ad 又113a，所以2d 若111122mkm mdk kdSSmaka，则131131mm mkk k，故140mkmk，又mk，所以14mk 5（2021福建省龙岩第一中学模拟预测）若实数a，b，c满足232loglogabck，其中1,2k，则下列结论正确的是（）Abcab Blo
4、glogabbc Clogbac Dbacb【答案】D【分析】首先判断,a b c的范围，以及由条件可知2logak，2kb，3kc，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.【详解】因为232loglogabck，其中1,2k，所以0,1a，2,4b，3,9c，且2kb，3kc，所以0,1ba，1cb，即bcab，故 A 错误；log0ab，log0bc，即loglogabbc，故 B 错误；2logak，22loglog3log 3kkbc，因为1,2k，所以2log0,1k，即22loglog 3k，即logbac，故 C 错误；239bc，144ab，即bacb，故 D 正确.6（2
5、021四川凉山彝族自治州教育科学研究所一模（理）设 A，B是两个事件，且B发生A 必定发生，0()1,0()1P AP B，给出下列各式，其中正确的是（）A()()P ABP B B()(|)()P AP B AP B C(|)1P A B D()()P ABP A【答案】C【分析】根据已知条件，结合和事件、积事件的概念及条件概率公式，即可求解【详解】B发生A必定发生，()P ABP（A），()P ABP（B），故 A，D 错误，()()(|)()()P ABP BP B AP AP A，故 B 错误，()()(|)1()()P ABP BP A BP BP B，故 C 正确 7（2021四川
6、乐山市教育科学研究所一模（理）设aR，函数2sin2,0()474,0 x xf xxxa x，若()f x在区间,a内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A75 11,2,42 4 B75,22,42 C3 75 11,2 424 D3 75,2,2 42【答案】D【分析】解法一：利用排除法，分别令94a 和138a 求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分 f x在区间,0a有5个零点且在区间0,没有零点，f x在区间,0a有4个零点且在区间0,有1个零点和 f x在区间,0a有3个零点且在区间0,有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a，则2sin2,0()42,0
7、x xf xxxx，当0 x 时，f x在区间9,04有4个零点，当0 x 时，020f，240，f x在区间0,有1个零点，综上所述，f x在区间,a内有5个零点，符合题意，排除 AC.令138a，则2sin2,0()14,02x xf xxxx，当0 x 时，f x在区间13,08有3个零点，当0 x 时，1002f，140，f x在区间0,有2个零点，综上所述，f x在区间,a内有5个零点，符合题意，排除 B，故选 D.法二（分类讨论）：当 f x在区间,0a有5个零点且在区间0,没有零点时，满足0532a ，无解；当 f x在区间,0a有4个零点且在区间0,有1个零点时，满足 0005
8、22fa ，解得522a；当 f x在区间,0a有3个零点且在区间0,有2个零点时，满足 000322fa ，解得3724a，综上所述，a的取值范围是3 75,2,2 42.8（2021河南罗山县教学研究室一模（文）已知直线2yx 分别与函数xye和lnyx的图象交于点11,A x y、22,B x y，现给出下述结论：122xx；122xxeee；1221lnln0 xxxx；122ex x，则其中正确的结论个数是（）A4 B3 C2 D1【答案】B【分析】根据函数xye和ylnx的图象关于yx对称，直线2yx 与yx垂直，可得1(A x，1)y、2(B x，2)y，关于yx对称，即可判断；
9、利用基本不等式即可判断，构造lnxyx，判断其单调性，即可判断，由1121xxxxe，判断其单调性，即可判断【详解】由题意直线2yx 与yx垂直，函数xye和ylnx的图象关于yx对称，1(A x，1)y、2(B x，2)y，关于yx对称，则122xx；正确；对于：由121222xxxxeeee，因为12xx，则122xxeee；正确；对于：构造函数 ln(0)xg xxx；则 21 lnxg xx，当()0g x 时，可得(0,)xe，函数()g x在(0,)e单调递增；当()0g x 时，可得(,)xe，函数()g x在(,)e 单调递减；1102x，212x，12121lnlnlnln2
10、32ln201222xxxx，正确；对于：1121xxxxe，1102x，令函数()xh xx e，则()(1)xh xex 当()0h x 时，可得(,1)x ，函数()h x在(0,)e单调递减；当()0h x 时，可得(1,)x ，函数()h x在(1,)单调递增；1()()22maxeh xh，122ex x 不对，即不对 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。）9（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）设有下面四个命题：1p：若复数z满足2z R，则
11、zR；2p：若复数z满足zR，则2z R；3p：若复数12,z z满足12,z zR，则1 2z zR；4p：若复数12,z z满足1 2z zR，则12,z zR.其中的真命题为（）A1p B2p C3p D4p【答案】BC【分析】根据复数的定义以及复数的分类，对命题的真假进行逐一判断即可.【详解】设i(,)zab a bR，11111(i,)zaba bR，22222(i,)zaba bR 对于1p，若2z R，即222i2iabaabbR，则0ab,当0a，0b 时，iizabbR，故1p为假命题.对于2p，若zR，则0b，即za，则22zaR，故2p为真命题.对于3p，若12,z zR
12、，则120bb，即11za，22za，则1212z za aR，故3p为真命题.对于4p，若1 2z zR，即1122121 21 22 1(i)(i)()()iababa abba ba bR，则1 22 10aba b，不能推出120bb，故12,z z不一定属于R，故4p为假命题.10（2021福建厦门一中高一期中）已知连续函数 f x满足：,x yR，则有 1f xyf xf y，当0 x 时，1f x，12f，则以下说法中正确的是（）A fx的图象关于 01，对称 B 444fxf x C fx在3,3上的最大值是 10 D不等式 23234fxf xfx的解集为2|13xx【答案】
13、ACD【分析】依题意令0 xy，求出 0f，再令yx，即可得到 2f xfx，从而判断 A；令yx得到 221fxf x，再令2xx，2yx，即可判断 B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断 C；依题意原不等式等价于2352fxfx，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】因为,x yR，则有 1f xyf xf y，令0 xy，则 0001fff，则 01f，令yx则 01ff xfx，即 2f xfx，故 f x的图象关于0,1对称，即 A 正确；令yx，则 2121fxf xf xf x，令2x代 x，2yx则 22221221fxxfxfxfx，即 42212 21
14、1fxfxf x，即 443fxf x，故 B 错误；设12,x xR且12xx，则210 xx，由 1f xyf xf y，令2xx，1yx，则 212121121f xxf xfxf xf x ，即 21211f xxf xf x，由0 x 时，1f x，得210 xx，则211f xx，所以 212110f xf xf xx，所以 21f xf x，即 fx在R上单调递减，又12f，所以 22115ff，32118fff，又 332ff，所以 32310ff，故 fx在3,3上的最大值为10，故 C 正确；由 23234fxf xfx，即 2334fxf xf xfx，即232324fx
15、fxx，即 2357 1fxfx，又因为 222ff，即 27f，所以 23521fxfxf，即2352fxfx，即2352xx，即3210 xx，解得213x，即原不等式的解集为2|13xx，故 D 正确.11（2021全国全国模拟预测）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体 ABCD 的棱长为 a，则（）A能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 a B勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为614a C勒洛四
16、面体的截面面积的最大值为21234a D勒洛四面体的体积3326,128Vaa【答案】ABD【详解】首先求得正四面体的一些结论：正四面体ABCD棱长为a，M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，AM是高，如图 1 233323BMaa，2263AMABBMa，由222BOBMOM得22263()()33RaRa，解得64Ra，612OMR（内切球半径）正四面体ABCD的体积为23136234312ABCDVaaa，外接球体积为23466348Vaa 图 1 图 2 图 3 对于 A 选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为 a，故A
17、正确；对于 B 选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图 2，其中点 E为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，易知该球的球心 O 为正四面体 ABCD的中心，半径为 OE，连接 BE，易知 B，O，E 三点共线，且BEa，64OBa，因此66144OEaaa，故 B 正确；对于 C 选项，勒洛四面体面积最大的截面即经过四面体 ABCD 表面的截面，如图 3，则勒洛四面体的截面面积的最大值为三个半径为 a，圆心角为 60的扇形的面积减去两个边长为 a的正三角形的面积，即22213123242aaa，故 C 错误；对于 D 选项，勒洛四面体的体积介于正四面体 ABCD
18、 的体积和正四面体 ABCD 的外接球的体积之间，而正四面体 ABCD 的体积31212Va，正四面体 ABCD 的外接球的体积3268Va，故 D 正确.12（2022全国高三专题练习）对于ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论正确的是（）AOA OBOA OCOB OC B212AO ABAB C向量AH与coscosABACABBACC共线 D 过点G的直线l分别与AB、AC交于E、F两点，若AEAB，AFAC，则113【答案】BCD【分析】A：由外心的性质，结合向量数量积的几何意义判断；B：根据|cosAOOAB的几何意义即可判断正误；C：应用向量数量积的运算律及定义化简(
19、)coscosABACBCABBACC，再根据AHBC判断正误；D：根据平面向量基本定理可得1133AGAEAF，再由三点共线即可证.【详解】A：O为外心，则OAOBOC，仅当AOBAOCBOC 时才有OA OBOA OCOB OC，错误；B：由|cosAO ABAOABOAB，又|cos2ABAOOAB，故212AO ABAB，正确；C：|cos()()coscoscoscoscosABACAB BCAC BCABBCBBCABBACCABBACCABB|cos|0cosACBCCBCBCACC，即coscosABACABBACC与BC垂直，又AHBC，所以AH与coscosABACABBA
20、CC共线，正确；D：2111()3333AGADABACAEAF，又,E G F三点共线，则11133，故113，正确.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13（2021全国贵阳一中一模（理）已知 x，y 为正实数，且2xy，则11xxy的最小值为_.【答案】312【分析】应用“1”的代换将目标式转化为3144yxxy，再应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【详解】x，y是正实数，且2xy，211()112422442xyxyyxyxxyxxyxyx3311442yxxy ，当且仅当33x，31y 时，等号成立.14（2021江苏镇江一模）若2 3sin2cos
21、1xx，则5sincos 2=63xx_.【答案】732【分析】由题意可得4sin16x，令6xt，则1sin4t，6xt，化简即得解.【详解】由题意可得4sin16x，令6xt，则1sin4t，6xt，所以原式27sincos2sin(12sin)32tttt.15（2021全国全国模拟预测）已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，过1F作倾斜角为 30的直线，与以坐标原点O为圆心椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点1F），与椭圆C在第一象限交于点B，若212212AFFFBF，则椭圆C的离心率为_.【答案】312【分析】因为212212AFFFBF，得到1AFA
22、B，求得12 3BFc，再在12BFF中，由余弦定理得22BFc，得到2 322cca，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为212212AFFFBF，所以A为线段1FB的中点，所以1AFAB，又因为12FF为圆O的直径，所以1290F AF，在12Rt AF F中，122FFc，1230AF F，所以13F Ac，从而12 3BFc，在12BF F中，由余弦定理得 2222 322 2 32cos302BFccccc ，又由122BFBFa，所以2 322cca，解得312ca，所以椭圆C的离心率312e.16（2021吉林东北师大附中模拟预测（理）在四棱锥SABCD中，已知SA底面,/,
23、ABCD ABCD ABAD，2 2AB，4CDAD，M 是平面SAD内的动点，且满足CMDBMA，则当四棱锥MABCD的体积最大时，三棱锥MACD外接球的表面积为_.【答案】160【分析】根据题意可得2MDMA，在平面SAD内，以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设,M x y，求出点M的轨迹方程，可得当四棱锥MABCD的体积最大时，可取4,4 2M，三棱锥MACD外接球的球心在过三角形ACD外接圆圆心且垂直平面ACD的直线上，利用勾股定理可求得外接球的半径，从而可得出答案.【详解】：因为SA底面ABCD，AB面ABCD，所以SAAB，又因ABAD，ADSAA，所以AB 平面SAD，又
24、MA平面SAD，所以ABMA，同理CDMD，在Rt MAB和Rt MCD中，因为CMDBMA，所以tantanCMDBMA，所以ABCDAMMD，即2MDMA，在平面SAD内，以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设,M x y，则有222242xyxy，化简得22432xy，即M点的轨迹方程为22432xy，要使四棱锥MABCD的体积最大，只要M点的纵坐标的绝对值最大即可，令4x，则4 2 y，当四棱锥MABCD的体积最大时，可取4,4 2M，此时M到平面ABCD的距离为4 2，三棱锥MACD外接球的球心在过三角形ACD外接圆圆心且垂直平面ACD的直线上，在三棱锥MACD中，取AC的中点
25、Q，点Q即为三角形ACD外接圆的圆心，设三棱锥MACD外接球的球心为O，半径为R，设OQx，则有2228404 2Rxx，解得4 2x，所以232840R，所以三棱锥MACD外接球的表面积24160SR.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。第 17 题 10 分，其余每题 12 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（2021浙江绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）设函数()sin3cos()f xxx xR.（1）求函数24yfx的最小正周期；（2）求函数()2yf x fx在0,2上的最小值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，
26、再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，利用函数的定义域求出函数的值域，即可得解【详解】：（1）函数()sin3cos2sin()3f xxxx，所以221cos2()124sin()422cos(2)41226xyfxxx 故函数的最小正周期22T；（2）：由于()sin3cosf xxx，所以sin3coscos3sin222fxxxxx，所以()()(sin3cos)(cos3sin)2yf x f xxxxx22sincos3cos3sin3sincosxxxxxx(3cos2sin2)2sin(2)3xxx 即2sin(2)3yx；由于0,2x，所
27、以42,333x，所以3sin 2,132x，故2,3y，当232x，即12x时，函数()2yf x fx取得最小值为2 18（2021全国全国模拟预测）已知数列 na的前 n 项和为nS，且14nnSa，*Nn，11a.（1）在下列三个结论中选择一个进行证明，并求 na的通项公式.数列2nna是等差数列；数列12nnaa是等比数列；数列12nnSS是等比数列.（2）记21nnnnSbS S，求数列 nb的前 n 项和nT.注：如果选择多个结论分别证明，按第一个证明计分.【答案】（1）答案见解析；（2）2141 2nnTn.【分析】（1）若选，采用作差法可得1144nnnaaa，构造得1111
28、2222nnnnnnaaa，变形即可求证，求得2nna的通项，变形可得 na的通项公式；若选，由作差法得1144nnnaaa，构造得11222nnnnaaaa，可证12nnaa是等比数列；求得1122nnnaa，同时除以12n可得，后续方法同；若选，由1nnnaSS代换得11222nnnnSSSS，可证12nnSS时等比数列；同时除以12n可得111222nnnnSS，求出2nnS的通项公式，由14nnSa可求 na的通项公式；（2）由（1）得12nnSn，代换得1111 22114421 221 2nnnnnnnnnbnnnn，结合裂项公式可求nT.【详解】：（1）方案一：选结论.因为14n
29、nSa，11a，所以23a，当2n时，14nnSa，两式相减得，1144nnnaaa，所以11112222nnnnnnaaa，即11112222nnnnnnnnaaaa，2n，所以数列2nna是等差数列，又1122a，21231122424aa，所以11112244nnann，所以21 2nnan；方案二：选结论.因为14nnSa，11a，所以23a，当2n时，14nnSa，两式相减得，1144nnnaaa，所以11222nnnnaaaa，2n，因为2121aa，所以12nnaa是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以1122nnnaa，两边同时除以12n得，111224nnnnaa，所以
30、2nna是以1122a为首项，14为公差的等差数列，所以11112244nnann，所以21 2nnan；方案三：选结论.因为14nnSa，11a，所以24S，当2n 时，1144nnnSSS，所以11222nnnnSSSS，因为2122SS，所以12nnSS是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以122nnnSS，两边同时除以12n，得111222nnnnSS，所以2nnS是以1122S为首项，12为公差的等差数列，所以1112222nnSnn，所以12nnSn，所以21124nnnSan；（2）由（1）得，12nnSn，所以1121111221221144212212212nnnnnn
31、nnnnnnnnnnSbS Snnnnnn，所以1121111111412 22 23 2212nnnTnn21114411212nnnn.19如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E是 PC 的中点.（1）求证：PA平面 BDE；（2）若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，求二面角CPBD的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60.【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出/OEPA，由此能证明/PA平面BDE；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设ADt，根据直线
32、 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，求出t，利用向量法能求出二面角CPBD的大小【详解】：（1）证明：连结AC，BD，交于点O，连结OE，底面ABCD是矩形，O是AC的中点，点E是PC的中点，/OEPA，OE 平面BDE，PA 平面BDE，/PA平面BDE；（2）解：在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设2PDDC，设ADt，则(B t，2，0)，(0D，0，0)，(0P，0，2)，(0C，2，0)，(BDt，2，0)，(PBt，2，2)，(0PC，2，2)，设平面PBC的
33、法向量(nx，y，)z，则220220n PBtxyzn PCyz，取1z，得(0n，1，1)，直线BD与平面PBC所成角为30，2|21sin 302|42BD nBDnt，解得2t，2AD，(2B，2，0)，(2PB，2，2)，(0PD，0，2)，设平面PBD的法向量(mx，y，)z，则202220m PDzm PBxyz，取1x，得(1m，1，0)，设二面角CPBD的大小为，则|11cos|222m nmn，60，二面角CPBD的大小为60 20（2021全国全国模拟预测）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百
34、年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为 2021 年到 2025 年某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展 10 年期间年研发资金投入额ix和年盈利额iy1,2,10i 数据进行分析，建立了两个函数模型：2yx；ex ty，其中，t 均为常数，e为自然对数的底数 令2,lniiiiux vy1,2,10i，经计算得如下数据：26x，215y，680u，5.36v，2101100iixx，102122500iiuu，101260iiiuuyy，21014i
35、iyy，21014iivv，10118iiixxvv，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，y关于x的回归方程（系数精确到 0.01）（3）若希望 2021 年盈利额 y 为 500 亿元，请预测 2021 年的研发资金投入额x为多少亿元？（结果精确到 0.01）附：相关系数 r12211()()()()niiinniiiixxyyxxyy，回归直线ybxa中：121()()()niiiniixxyybxx，aybx 参考数据：ln20.693，ln51.609【答案】（1）模型ex ty的拟合程度更好；（2）0.180.68exy；（
36、3）30.74亿元【分析】（1）分别计算两个函数模型的相关系数1r和2r，比较1r和2r的大小关系即可判断；（2）由ex ty得ln yxt，即vxt，根据最小二乘法求和t的值，即可求解；（3）将500y 代入（2）中的回归方程即可求解.【详解】（1）为了判断两个函数模型：2yx；x tye，拟合程度，只需要判断两个函数模型yu，vxt拟合程度即可 设 iu和 iy的相关系数为1r，ix和 iv的相关系数为2r，由题意1011101022112600.871502iiiiiiiuuyyruuyy，101210102211180.91004iiiiiiixxvvrxxvv，显然210rr，因此从
37、相关系数的角度，模型x tye的拟合程度更好（2）先建立v关于x的线性回归方程，由ex ty得，ln yxt，即vxt，1011021180.18100iiiiixxvvxx，5.360.18260.68tvx，所以v关于x的线性回归方程为0.180.68vx，即ln0.180.68yx，所求回归方程为：0.180.68exy，（3）若 2021 年盈利额为 500 亿元，即为0.180.68500ex，ln5000.180.68x，6.2130.180.68x，解得：30.74x，所以 2021 年的研发资金投入量约为30.74亿元 21（2022全国模拟预测）已知椭圆2222:10 xya
38、bab的上顶点为0,1B，过点2,0且与x轴垂直的直线被截得的线段长为2 33.（1）求椭圆的标准方程（2）设直线1l交椭圆于异于点B的,P Q两点，以PQ为直径的圆经过点,B线段PQ的中垂线2l与x轴的交点为0(,0)x，求0 x的取值范围.【答案】（1）2213xy；（2）33,66.【分析】（1）由题设有1b 且222 32 13a求参数 a，进而写出椭圆方程.（2）讨论PQ的斜率，当斜率存在时设:PQ ykxm、1122,P x yQ xy，联立椭圆方程结合韦达定理求1212,xxx x关于,k m的表达式，再由0BP BQ，应用数量积的坐标表示列方程求参数 m，进而求线段PQ中垂线2
39、l的方程及k的范围，即可确定0 x的取值范围.【详解】：（1）由已知条件得：1b，令2x，得221ya，由题意知：222 32 13a，解得3a，椭圆的标准方程为2213xy，（2）当直线PQ的斜率不存在时，显然不合题意；当直线PQ斜率存在时，设:PQ ykxm，当0k 时，此时,P Q关于 y 轴对称，令(,),(,)P x y Qx y，(,1),(,1)BPx yBQx y 且0BP BQ，则22(1)yx，又2233xy，2201yy ，解得12y 或1y(舍)，则3131(,),(,)2222PQ符合题设.此时有00 x；当0k 时，则2233ykxmxy，得2221 36330kx
40、kmxm，223612 120km，设1122,P x yQ xy，则2233ykxmxy，得2221 36330kxkmxm，223612 120km，且122212261 3331 3kmxxkmx xk，由1 212110BP BQx xyy，即 2212121110kx xk mxxm，2222233611101 31 3mkmkk mmkk，整理得2210mm，解得112mm，（舍去），代入223612 120km 得：Rk，PQ为12ykx，得：122231,22 1 32 1 3MMxxkxykk，则线段的PQ中垂线2l为221132 1 32 1 3kyxkkk，在x轴上截距0
41、21 3kxk，而0231 3623kkxkk，03366x且00 x，综合:线段PQ的中垂线2l在x轴上的截距的取值范围是33,66.22（2022江苏盐城一模）设函数 323ln2,f xxxaxax a R.（1）求函数 fx在1x 处的切线方程；（2）若12,x x为函数 fx的两个不等于 1 的极值点，设 1122,P xf xQ xf x，记直线PQ的斜率为k，求证：122kxx.【答案】（1）1ya；（2）证明见解析.【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出 1f，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意233 230 xa x
42、 在0,上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设12xx，所以1201xx，根据两点斜率公式得到2212121213ln12232xxkxxxxxx，即证2212121211403ln122xxxxxxxx，根据对数平均不等式可得212121l63 nxxxxxx，只需证明22121216140221xxxxxx，令21xxt，依题意即证328120ttt，2,t，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证；【详解】：（1）因为 323ln2,f xxxaxax a R，所以 3213ln1 1121 1faaa ，23322fxxaxax，所以 10f，所以切点为1,1 a，切线的
43、斜率0k，所以切线方程为1ya （2）因为 23221332333223322xxa xxaxaxfxxaxaxxx 因为12,x x为函数 fx的两个不等于 1 的极值点，所以233230 xa x 在0,上有两个不等于1的正根，所以212123236032031aaxxxx，所以92 a，不妨设12xx，所以1201xx，所以 2323222211112121213ln23ln2xxxxxxxxf xf xkaxxxaaax 2222122 112121211213ln2aaxxxxx xxxxxxxxxxx221212121213ln2axxxxx xxxxxa2221212121212
44、13323ln3123xxxxxxxxxxxx 2212121213ln12232xxxxxxxx 要证122kxx即证222121211123ln122232xxxxxxxxxx，即2212121211403ln122xxxxxxxx，令2(1)()ln,(1)(1)xg xxxx，则22214(1)()(1)(1)xg xxxx x，所以当1x 时，()0g x，所以函数()g x在(1,)上单调递增，故()(1)0g xg，即2(1)ln0(1)xxx，所以ln211xxx在(1,)上恒成立，因为1201xx，所以211xx，所以212211ln211xxxxxx，即21212111ln2xxxxxxxx，即212121lln2nxxxxxx，所以212121l63 nxxxxxx，下面只需证明22121216140221xxxxxx，令21xxt，因为211xx，所以121xx，所以1222221122xxxxxx，所以2t，即证21142260ttt，2,t，即证328120ttt，2,t，令 32812g tttt，2,t，23283420g ttttt，所以 g t在2,上单调递减，所以 20g tg，得证.