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1、第 04讲函数的值域与函数的最值一、知识聚焦求函数的值域与求函数的最值是有其内在联系的，解法也是相通的.在函数y=/(x)中，自变量x对应的函数值的集合/(x)l xeD 叫做函数的值域.求值域时不但要重视对应关系的作用，而且要特别注意定义域的制约作用.进一步说，函数=/(力在X。处的函数值是/(七),如果对于定义域内任意x,不等式/(力./(%0)恒成立，那 么/(%)就 是 函 数尸”X)的最小值，记作北加=/(不)；如果对于定义域内任意x ,不等式 x),/(七)恒成立，那么/(七)就是函数)=/(%)的最大值，记 作 丫 皿=/(%).求函数的值域或最值这类数学问题的技巧性较强，且常常
2、可以一题多解，关键在于变更问题和构造模型，常用的方法主要有以下几种.1 ,配方法适用于二次函数或可转化为二次函数型的函数，要特别注意自变量的取值范围.2.判别式法适用于可化为关于x的二次方程的函数y=f(x),由A.0,求出y的取值范围，要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x 值.3.均值不等式法利用均值不等式求函数值域或最值时，一定要注意满足“一正二定三相等”的原则.4 .换元法根据函数解析式的特点常用三角换元、整体代换，常可以使解析式复杂的问题转化为简单易求解的问题.当然，用换元法求函数值域或最值时，要注意新变量的取值范围.5.数形结合法从理解或构造函数的几何意义着手，看能否与距离、
3、斜率及对称问题等相通.6.函数单调性法利用函数在相应区间上的单调性，由于值域或最值是对函数的总体而言.若需对问题分段讨论，最后必须加以整合.7 .导数法设 y=/(x)的导数为/(X)，由r(x)的符号确定区间上的单调性.由/(x)=O 可求得极值点坐标，若函数定义域为 a，b ,则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.在实际数学问题中，求函数的最值或值域，提问的角度不同，解答方式也会有所差异，求函数最值时也要注意函数的定义域，若定义域为开区间，则在区间端点不可能出现最值.二、精讲与训练【核心例题1】求下列函数的值域：7 r _ 1 尸5 7 ，x e（3,4）；2 尸 亦(3)
4、y=x-4j2-x;产 K2x2 2x石+3 2r.,4 ；yx+2x2-x 尸(7)y=-;/r+2+2(8)y=k)g(12x27 x2)；3(9)y=|2x 1|x 1|；(10)y=3(4v+4-v)-1 0(2v+2-v).【解题策略】求函数值域的主要方法有以下几种.形如产叱4 4*0）的函数，常用配方法，如 第 、第、第 问，分离常数后可用配方法.第Q0）问换元后可用配方法.ZT V）,形 如 尸（叱0）的函数，常用反函数法或分离常数法.如第问.cxrta形如y=ax2+bx-cdxr+bxr-c的函数，常用判别式法或分离常数法.如 第 问.形如y=x）+J函 的 函 数（/（X）
5、是常数或x的一次式，g（x）是一次或二次式），常用换元法（代数或三角换元）或平方法.如第问.(5)换元法可以使一些复杂的函数转化为简单函数求值域.如第(7)、第(1 0)问.(6)利用函数的性质、特别是单调性在求函数值域中的运用.如第(5)、第(8)问.(7)利用均值不等式可以求一些函数的值域.如第问.(8)对于绝对值型函数可用分类讨论法.如第(9)问.【解】(1)(反函数法)3yx+y=2x-,x e(3,4),1 7一,-2 1 3(2)(分离整式并利用指数函数性质)由、=1一5 7工7 可得函数的值域y 0,1).2 十 1 I y ，(3)(换元法)设t=0,即 x -2时，y=-t+
6、-21当且仅当f=l,即x=l时y取得最大值一,2故 函 数 的 值 城 为.2（6）解 法 一：（配方法）y=l-,而f _ x+lX-x+11X 273 34 4.o1x2-x +ly 0时，y=1工 0知X1 1Y一 十 一x 2)+4,由；.一1 y 0;当 x 0,可得所给函数的定义域为(3,9).又函数y =l o g 1(1 2 x-2 7-%2)是由 =12X-2 7-X)与y =l o gu复合而成的复合函数，3 3并 且=1 2工-2 7-工2=一(1-6)2+9(3 工9),故0 弘,9,于是由 y =l o g,w,0 2,+8).(9)(分论讨论法)当 工.1 时，y
7、 =2 x -1 一 (x -1)=%,.y.1.当 J,九 1 时;y=2 x 1 +(x 1)=3x 2.一,y 1.当 5,.二 y.5.(1 0)(换元法结合配方法)令/=2*+2-一:2 0,.，2.则4+47=(2、2 T 丫-2 =/一2.(5、2 4 3.“=3,2一2)1 0 y 3产-1 0 f-6 =3 t一 一一.-1 4变式训练1求下列函数的值域：y =yfx+2y/x-+x-2y/x-；(2)y=2x-l-J1 3-4 x ；(3)y=-Jx-3+x?-3 x+2 ;(4)y =+1.变式训练2已知函数/(x)满足2/(x)/(3 +,=0,求/(x)的值域；X X
8、3 4 1 I-已知函数/(%)的值域为，求g(x)=/(x)+Jl 2/(x)的值域.核心例题2已知0,且x +g y =l,求z =x?+y 2的最值.X +(2)已知函数/(1)=,求/(x)的最值.2x-x+5(3)设 火 尸 是方程4 x 2 4/t r +m +2 =0(x e R)的两个实数根，当机为何值时，a2+/32有最小值？并求最小值.解题策略 第(1)问，求二元函数的最值，常用消元法化归为一元函数来处理；第(2)问，此类分式函数常用判削式法或利用基本不等式来处理；第(3)问，求解过程中容易忽视方程有两个实数根这一条件,即根的判刻式 2 0,当方程无实根时，仍有韦达定理成立
9、，这时不符合要求，这点应当切记.解：(1)解 法 一：由x+g y =lny=2(l-x)N 0 n 0 x l.z=x2=x1+4(l-x)2=5 x2-8 x+4 =54 丫 4x +5 j 54，在x e 0,-内递械,4 4在x e -,1内递增，显然有z1 r ax =4*3 0 =y.解 法 二：(几 何 法)&可 看 作 线 段x +=l(0 W x W l)上的点与原点的距离，易2得4蚯2,故 Z m a x =4*2=1,元 +1 x +2(2)解 法 一：由 得 丁 =/(%)=丁 一-(x e/?),2x-x+5 2x+3 x+6去分母整理得 2 y x 2+(3 y-i
10、)x+6 y 2 =0.当 y =0时，x =-2 e R,.y =0 成立；L 1 1(i i)当y/0时，由凰n 5且y/0.综合和)得为 =；，抽=一存解 法 二:y =/(x)=-2(x +2)-5(x +2)+8当 x+2=0时，y =0;(i i)当 x +2 w 0 时，y=-.2(x+2)+5x+28 广 1若 x+2 0,则 2(x +2)+-0 y-；x +2 3Q 1若x+2 v 0、则 2(X+2)H-领1 8,.-y m a x =,，Wi n =一 八J L，JL(3)方程4 x2-4 mx+m +2=0(x e R)有两个实数根，A=(-4 m)2-4 x 4(根
11、+2),/.m 2 或门，一 1.7 7 2 +2由根与系数关系，得a +B =m，a B =.4:.a2+/32(a+/3)2-2a/3=m2=当机=一1时，/+尸2有最小值最小值是g变式训练2 3(1)已 知x ,y 0,且 一+=2,求孙的最小值.x y(2)若x 0,y 0,且2X2+!=8,求x，6+2 j 的最大值.核心例题3(1)己 知 关 于x的 函 数/(x)=(I)l-(f e R)的 定 义 城 为O,若 存 在 区 间Xa.bD,使 得/(x)的 值 域 也 是a.b,则 当/变 化 时，人一。的 最 大 值是.2 x kx+10(2)已知函数y=,一-的最小值为1,求
12、实数4的值.x+4 x+6解 题 策 略 第 问，可根据函数的单调性寻求定义域与值域的对应得出。涉满足的方程.方程有两个相异实根，由()且t w O得出，的取值范围，由韦达定理得到3-。)2关于f的二次函数,运用配方法求最值.第(2)问,易出现如下有错误的解法：2x kx+10.E J,2x?l(x+10 2 .,.y=-的最小值为 1,则y =-；-.l,v r+4 x+6=(x+2)-+2 0,x-+4 x+6 x+4 x+62*2 Ux+10.x+4 x +6,即 (k+4)x +4.0,x G R,A (k+4)-16,0,解得 8蒯I 0.实数上的取值范围是一8殁灰0.以上解法似乎每
13、一步都有道理，错在何处？错在把“y的最小值为1 ”与“y 21”这两个不同的概念混为一谈.故上述解法所求的不是使y的最小值为1的左值，而是使y恒不小于1的女值，从而扩大了实数上的取值范围.2解：(1)/(x)=(l f)L 是(Y O,0),(0,+8)上 单 调 递 增 函 数 a,川=(-o o,0)或x a,Z c(0,+o o).f(a)=a,t2由 单 调 性 及 题 设 得 ，是 方 程(I T)L=x)在(_o o,0)或于(b)=b,x(0,+8)上的两个不相等的实数根.即i)x +=0满足()且/w o,得一 1 /0,故3-a)m a x =|百.(2)解 法 一：已知函数
14、的定义域是HH/eR使得y的最小值为1,且对任意x e R,._ 2x?kx+10 2x 7 kx(y+10 2 d kx+10有 y =-.1.即 T-二 1 且-.1x+4 x +6 4 Ao+6 x+4 x +6于是片一伏+4)/+4 =0且 Y 伏+4)x+4.O.设 g(x)=Y-(2+4)X+4,则当 x=x()时，g(x)有最小值 0.即g(x)m in =4x4 j+4广=0,解得左=0或左=一84+Z 2 k?+8k解 法 二：尸2龙：-依 +10=+/-,(4 +5+4=+二、二、x-+4%4-6 x+4x+6 x+4x+6(X_4+A)L%函数y=21二 上10的 最 小
15、 值 为1,则 函 数m =Q-a一的最小_r+4x+6 x+4 x +6值为0.(4+”、2 1.2%2+4%+6=。+2)2+20,二 只 需 加=x-的最小值为0即I 2 J 4可.当*=二时，加 有 最 小 值 一 匚 丝，即 一 匚 竺=0,解得=0或%=一8.2 4 4变式训练1若 函 数f(x)=(-x2)(x2+a x+b)的 图 像 关 于 直 线x=2对 称，则,f(x)的最大值是.变式训练2X 4-3,X 1,已知函数/(=X 则 /(_3)=,的 最 小 值 是.lg(x2+l),xl,1*2 +4+变 式 训 练3设&为常数，求函数/(#=.的最小值.yjx2+k核
16、心 例 题4 已知a是实数，函数/(x)=/(x-a).(1)若/(1)=3,求。的值及曲线y=.f(无)在点(1,/(1)处的切线方程；.(2)求/(x)在区间 0,2上的最大值.解题策略函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得的结果，且求解函数的最值往往可以结合函数的单调性来解.利用导数是求解函数极值或最值问题的常用方法，本例首先可求导数/(X)，再解方程/(x)=0一得两个根，而两根含有参数,但不知两根的大小，因此必须分类讨论/(x)的单调区间，进而确定/(x)在给定区间上的最大值.解：(1)/(%)=3 x2-l a x,/(1)=3 -2 a =3,解得 a =0.又
17、当a =0时，/(I)=3,/(I)=1,.曲线y =/(x)在 点(1,/(1)处的切线方程为3 x-y -2 =0.(2)/(x)=3 x2-2ax,令/(x)=0,解得玉=0,%二 寸，(i)当 y 0,即 。时，/(X)在 0,2 上单调递增，从而/(X)m a x=/=8-4(i i)当 彳.2,即a.3时，/(x)在 0,2 上单调遢我 从而/(0皿=/(0)=0.(i i i)当0 2,即0a3时，由/(尤)0及噫!k 2,解得0%0及 朦k 2,解 得?%,2,/在 0,上单调递械，在?,2 上单调递增.一 ,8-4,0 2,又/(0)=0 J =8-4。.故此时/(%)_ =八。公0,2。3.8 4。，a 2.变式训练 若函数/(X)=-G：2-法-1,其中a,A eR,e=2.7 1 8 2 8 为自然对数的底数，设g(x)是函数/(x)的导函数,求函数g(x)在区间 0,1 上的最小值.